何文勝

【摘要】生活中的優(yōu)化問題集函數(shù)應用于一身，解決相關(guān)問題不僅能較好地提高學生分析問題、解決問題的能力，而且使學生了解數(shù)學在實際生活中的應用，具有非常好的現(xiàn)實意義.如何提高其課堂教學實效？反思整個教學實踐歷程，采取“導學案”形式分散重難點，注重課堂生成，可以提高課堂效率.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；優(yōu)化問題；合理安排；課堂生成；課堂效率

本著既尊重教材和課標要求，又從學生實際出發(fā)，遵循學生的認知規(guī)律，創(chuàng)造性地使用教材的理念，筆者對教材進行二度開發(fā).本文就此做一介紹，以期拋磚引玉.

一、引導學生深入閱讀教材，提煉有效信息，激發(fā)求知欲

應用題主要的難點就在于，題目背景復雜，數(shù)學信息隱藏在繁雜的文字材料中.從最近幾年的全國各地的高考原題看，一道應用題的閱讀量都在200字左右.所以，在教學時，要引導學生認真閱讀教材中的數(shù)學材料，并深入理解其中的內(nèi)涵，準確把握句段之間的緊密聯(lián)系，并學會用數(shù)學符號、圖形、圖表等數(shù)學語言來理解數(shù)學概念、公式、定律中的深刻意義，并且還要善于聯(lián)系生活中的實際案例來論證教材中的各項定律、法則、公式等，從而深刻地理解教材中的數(shù)學閱讀材料，掌握數(shù)學知識的內(nèi)涵與外延，逐漸訓練學生的數(shù)學解題思維.

在“生活中的優(yōu)化問題舉例”的教學中，為了更好地解決內(nèi)容多、課時少，努力提高課堂效率.采用“導學案”形式，讓學生課前按教師要求預習相應內(nèi)容，帶著問題進課堂，師生共同解決問題出課堂，教學中重視學生在課堂教學中的“參與度”.

課前，學生按要求閱讀探究教材.教師給出依據(jù)教材內(nèi)容編制的思考提綱引導學生怎樣獲取有效數(shù)學信息，學生憑借已有知識和技能初步了解教材中的基本內(nèi)容，它不僅能使學生步入認知領(lǐng)域，而且能引發(fā)學生向情感領(lǐng)域探求的欲望，培養(yǎng)自學能力.“生活中的優(yōu)化問題”思考提綱主要引導學生思考兩個方面的問題：一是引導學生讀題、審題，找出未知與已知的關(guān)系，建立數(shù)學模型，寫出解析式；二是引導學生求解所列函數(shù)的最值.

二、以問題為主線，串聯(lián)學生思維

從復雜的文字背景材料中獲取數(shù)學信息，對學生來說本身就是一大困難.（附教材P101例1學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳.現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128 dm2，上、下兩邊各空2 dm，左、右兩邊各空1 dm.如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？）為分解難點，突出重點，設(shè)計問題鏈，課前發(fā)給學生的閱讀思考提綱如下.

1.四周空白面積S與整個矩形面積和版心面積有何關(guān)系？設(shè)計海報的尺寸即確定其高和寬.

2.教材中設(shè)版心的高為x dm后，是如何列出函數(shù)解析式的？定義域是如何確定的？

3.你能總結(jié)利用導數(shù)求函數(shù)S（x）=2x+512x+8，x>0的最小值的步驟嗎？

4.你還可以利用什么方法求上述函數(shù)的最小值？

課堂生成1以閱讀思考提綱為載體，生生之間、師生之間共同討論，澄清疑點，教師板書重點及注意點.本節(jié)課教師引導學生歸納知識要點，板書如下.

1.幾何中的優(yōu)化問題，常用幾何圖形的周長、面積、體積公式或其他性質(zhì)建立函數(shù)解析式，定義域由線段的長大于0而得.

2.利用導數(shù)求最值的步驟是：求f′（x）→由f′（x）的正負→確定f（x）的增減→結(jié)合f（x）的圖像求最值.

3.利用基本不等式求最值應注意：一正、二定、三相等.

課堂生成2即有層次的題組練習.教師依據(jù)教材中的各類習題或相關(guān)資料，精心選編、改編或創(chuàng)編由淺入深、循序漸進的課堂練習題，以滿足所有學生（特別是基礎(chǔ)較差的學生）的成功欲，使學生在教師引導下的解題中提高興趣，逐步形成技能.為了使學生進一步掌握幾何中的優(yōu)化問題的解題技巧，逐個出示如下練習題，并提問學生口答或板演，讓學生暴露思維弱點，為教師講解準備素材.

問題1要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則其高為（）.

A.2033 cm B.100 cm C.20 cm D.203 cm

解析設(shè)高為x cm，則在Rt△ABO中，

BO=400-x2.

由圓錐的體積公式得

V（x）=13π（400-x2）·x，

即V（x）=-13πx3+400π3x（0

所以V′（x）=-πx2+400π3，

由V′（x）=0得x=2033∈（0，20），選A.

強調(diào)：在實際問題中，由f′（x）=0得到一個解，若這個解在f（x）的定義域內(nèi)，則這個根處的函數(shù)值就是所求f（x）的最值.

問題2如圖，要設(shè)計一個矩形廣告牌，含有大小相等的左右兩個矩形欄目，這兩欄目的面積之和為18 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄目之間的中縫空白的寬度為5 cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸（單位：cm），才能使矩形廣告牌面積最小.

解析設(shè)廣告牌的高為x cm，寬為y cm，

則（x-20）·y-252=9000y=18000x-20+25，

所以廣告牌面積為

S（x）=xy=x18000x-20+25=18000xx-20+25x，x>20.

解法一（利用導數(shù)求解）

因為S′（x）=18000（x-20）-18000x（x-20）2+25

=-36000（x-20）2+25=25（x+100）（x-140）（x-20）2.

由S′（x）>0得，x>140，

所以S（x）的單增區(qū)間為（140，+∞），同理，S（x）的單減區(qū)間為（20，140），

所以當x=140時，即廣告牌的高為140 cm，寬為175 cm時，廣告牌的面積最小.

解法二（利用基本不等式求解）

因為S（x）=18000xx-20+25x=36000x-20+25（x-20）+18500，

而x>20，即x-20>0，

所以S（x）≥236000×25+18500=24500，

當且僅當36000x-20=25（x-20），即x=140時等號成立.

所以當x=140時，S（x）的最小值為24500 cm2.

問題3（2011年江蘇高考）請你設(shè)計一個包裝盒.如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點.設(shè)AE=FB=x（cm）.

（1）若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應取何值？

（2）某廠商要求包裝盒的容積V（cm3）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

解析注意引導學生立體幾何平面化，即從左邊平面圖形中求得右邊立體圖形所要的線段長.

（1）因為EF=60-2x，所以陰影部分的等腰直角三角形直角邊長為60-2x2，在Rt△BFG中，F(xiàn)G=2x，

所以包裝盒的側(cè)面積為

S=4×60-2x2×2x=-8x2+240x.

由EF=60-2x>00

因為拋物線開口向下，且對稱軸x=24016=15∈（0，30），

所以當x=15時，側(cè)面積S最大.

（2）包裝盒的容積為

V=（2x）2·60-2x2=-22x3+602x2，0

所以V′=-62x2+1202x=-62x（x-20）.

當00，V單增，當20

所以當x=20時，V取最大值，此時，高與底面邊長的比值為60-2x2∶2x=12.

課堂完成，師生共同進行課堂小結(jié).其目的是培養(yǎng)學生歸納小結(jié)能力，及時復習所學知識.

三、總結(jié)歸納，提升思維品質(zhì)

本節(jié)課可引導學生做如下小結(jié).

1.幾何中的優(yōu)化問題，常用幾何圖形的周長、面積、體積公式或其他性質(zhì)建立函數(shù)解析式，定義域由多條線段的長大于0（即保證實際問題有意義）求得.

2.求函數(shù)的最值時，可根據(jù)所列函數(shù)解析式靈活選擇二次函數(shù)法、基本不等式法及導數(shù)法求解，不過導數(shù)法求解是通性通法.

解決問題的具體步驟：

（1）通過閱讀，明確題目的目標；

（2）找出數(shù)量關(guān)系，對得到的數(shù)學關(guān)系進行分析、聯(lián)想，抽象出一個或幾個數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；

（3）列出函數(shù)關(guān)系；

（4）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的不同類型，求出函數(shù)的最值.

利用“導學案”的教學方式，能較好地體現(xiàn)學生的主動性、主體性，教師的主導性與之相融合，從簡單到復雜依次遞進推出有階梯的題組，遵循學生的認知規(guī)律，讓學生首先能理清思路、找出題目的目標要求，逐漸能找出題目中的數(shù)量關(guān)系，進而列出函數(shù)關(guān)系，最終能根據(jù)不同類型的函數(shù)表達式求出最值.

同時，使學生在知識與技能方面也經(jīng)歷了四個階段：一是誘導階段，即通過“課前有目的性預習”使學生初步了解教材中的基本內(nèi)容；二是解決問題階段，即通過“課堂生生、師生討論”讓學生在教師的逐步引導下自己解決問題，進一步理解、掌握教材中的重、難點內(nèi)容；三是內(nèi)化階段，通過在教師的引導下走模式化途徑解決實際問題，最后能擺脫固有模式，化有形于無形內(nèi)化成自己的能力；四是發(fā)展提升階段，即通過“變式練習、小結(jié)提升”發(fā)展學生的技能，使得學生的能力得到質(zhì)的飛躍.在引導和講解過程中，也做到了時刻關(guān)注學生疑難點、易錯點，以問題為主線，以學生為主體，進而提高學生的應用題學習效率.

【參考文獻】

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修1-1教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]張雷.三維設(shè)計：高中新課標同步課堂數(shù)學選修1-1[M].?？冢耗戏匠霭嫔?，2012.