周小東

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有目的地通過問題情境的設(shè)置，以問題的形式來呈現(xiàn)出對于概念的理解與靈活的應(yīng)用，可以強(qiáng)化概念，達(dá)到對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)性認(rèn)識(shí).在問題的解決過程中，不斷地滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，使學(xué)生享受成功的體驗(yàn)，從而提高分析問題與解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】概念；能力；思維

數(shù)學(xué)能力的核心是數(shù)學(xué)思維能力，數(shù)學(xué)思維能力的提高，必須以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，而數(shù)學(xué)概念的掌握，正是進(jìn)行判斷、推理，建立定理的基礎(chǔ)，因此，清晰的概念是正確思維的前提.數(shù)學(xué)概念的掌握，遵循螺旋上升的認(rèn)識(shí)的規(guī)律性，需要經(jīng)過大腦系統(tǒng)的反復(fù)比較、判斷、甄別等復(fù)雜過程的過濾，在運(yùn)用中得以提升.因此，在教學(xué)中，應(yīng)該不失時(shí)機(jī)地選擇一些具有代表性的問題進(jìn)行訓(xùn)練，不僅能夠更好、更快地理解概念，而且也有利于培養(yǎng)分析問題解決問題的能力，從而達(dá)到提高思維能力的目的.

一、準(zhǔn)確理解題意的能力

精心選擇合適的問題，著意培養(yǎng)學(xué)生理解概念，以及運(yùn)用概念分析問題與解決的能力.即能對給出的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行認(rèn)真的閱讀，理解題意，把握其中的內(nèi)涵.

例1已知函數(shù)f（x）=3sin2πx2+1，使f（x+c）=f（x），對于任意x∈R都成立的正整數(shù)c的最小值是.

分析把對題意的理解和函數(shù)周期性定義進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)本題的目的就是要求函數(shù)的最小正周期.故函數(shù)可等價(jià)于f（x）=3sinπx2+1的周期，或者函數(shù)可變形為f（x）=32（1-cosπx）+1=52-32cosπx，從而得周期為2.

二、構(gòu)建概念的能力

由于數(shù)學(xué)概念的抽象性以及認(rèn)識(shí)的螺旋性，因而，對于數(shù)學(xué)概念的把握，如果能通過問題形式的呈現(xiàn)，那么對數(shù)學(xué)概念的理解將會(huì)由感性認(rèn)識(shí)達(dá)到理性認(rèn)識(shí)，從字面上的識(shí)記達(dá)到與函數(shù)及圖像結(jié)合的動(dòng)態(tài)性效果，從而完整準(zhǔn)確地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念.

例2若函數(shù)f（x）=13x3-x在（a，10-a2）上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

分析這是對函數(shù)最值問題的具體化.該函數(shù)在開區(qū)間上必有極小值，并且這極小值就是函數(shù)f（x）的最小值.因此，先求出函數(shù)f（x）在開區(qū)間上的極小值，并且將端點(diǎn)處的函數(shù)值與極小值進(jìn)行大小比較，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.通過對該問題的解決，不僅加深了對函數(shù)最值概念的理解，有助于澄清函數(shù)的極值問題與最值問題之間的區(qū)別與聯(lián)系，而且對最值概念的理解也經(jīng)歷了動(dòng)態(tài)化思維方式以及直觀化的思維形式，從而達(dá)到對概念的建構(gòu).同時(shí)，借助于圖形的直觀，可以使得數(shù)的問題的解決在數(shù)形結(jié)合中得到優(yōu)化.

三、簡化運(yùn)算的能力

提高運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)目標(biāo)之一，準(zhǔn)確運(yùn)用相關(guān)的概念，可以簡化運(yùn)算過程，達(dá)到快速準(zhǔn)確的目的，同時(shí)，也有利用于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

例3已知f（x）=4×2x+22x+1+ln（x+1+x2），若f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值分別為M，N，則求M+N的值.

分析從給出的函數(shù)解析式來看，這是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，我們無法畫出其圖像，但從函數(shù)定義在對稱的閉區(qū)間上，我們就可以從函數(shù)的性質(zhì)，即奇偶性方面分析探索其解題的思路.通過此問題，我們可以將奇偶性的知識(shí)激活，借助于恒等變形，將所求的問題的運(yùn)算得到簡化，并且也強(qiáng)化了概念的運(yùn)用.

四、化歸的能力

化歸的能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)最重要的能力之一.善于利用化歸的數(shù)學(xué)思想，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題來求解，是提高數(shù)學(xué)思維能力的核心能力，也是高考中必考的重要的數(shù)學(xué)思想方法.

例4若函數(shù)f（x）=4xx2+1在區(qū)間（m，2m+1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)定義的等價(jià)形式，將所求的問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題，利用導(dǎo)數(shù)中求函數(shù)單調(diào)性的方法來求解，也體現(xiàn)了知識(shí)與解法的與時(shí)俱進(jìn)性.先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

f′（x）=4xx2+1′=4[x2+1-2x2]（x2+1）2=4（1-x2）（x2+1）2，

令f′（x）>0，得-1

五、嚴(yán)密的推理能力

數(shù)學(xué)的嚴(yán)密推理能力在新課標(biāo)中以及高考考綱中，都很明確且占據(jù)了很重要的地位.如何提高嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理能力，除了幾何與代數(shù)方面的培養(yǎng)以外，運(yùn)用定義，也可以強(qiáng)化此項(xiàng)能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)體系的嚴(yán)密性和數(shù)學(xué)論證的無懈可擊性，即數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)有了理解，能夠運(yùn)用概念去分析與解決問題而獲得成功體驗(yàn)時(shí)，那么他對數(shù)學(xué)及其應(yīng)用就會(huì)發(fā)生興趣，想要進(jìn)一步學(xué)習(xí)更新、更深的東西，就會(huì)形成較好的動(dòng)機(jī)，從而促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生正確的信念，將會(huì)極大地提高數(shù)學(xué)能力與解題水平.

數(shù)學(xué)概念的靈活運(yùn)用建立在對它充分地理解的基礎(chǔ)之上，要純熟運(yùn)用它，形成思維的策略，還需要在問題解決的過程中多思考、多實(shí)踐，以求簡的思維意識(shí)貫穿于解題過程的始終，精誠所至，數(shù)學(xué)簡約思維的模式終將形成.