金仁監(jiān)

[摘 要] 在“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)中，基于對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法的分析，從教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)、標(biāo)準(zhǔn)方程構(gòu)建、變式訓(xùn)練與實際問題的解決等角度，進行了詳細的教學(xué)設(shè)計與實施. 基于本內(nèi)容的教學(xué)進行反思，發(fā)現(xiàn)對教學(xué)內(nèi)容的定位，在學(xué)生實際與評價要求之間尋找平衡點，以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要重點關(guān)注的事項.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；教學(xué)設(shè)計；教學(xué)反思

“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是人教版高中數(shù)學(xué)（必修）教材第二冊的內(nèi)容. 作為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典內(nèi)容，學(xué)生在此前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積累了大量的關(guān)于圓的經(jīng)驗與知識. 到了高中階段，從方程的角度來描述圓，對學(xué)生的思維方式提出了新的挑戰(zhàn)，從而本內(nèi)容的教學(xué)也就成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有一定標(biāo)桿意義的事件. 在日常教學(xué)中，筆者對本課的教學(xué)進行了深入的思考，現(xiàn)結(jié)合本課的教學(xué)設(shè)計，談?wù)劰P者對本課教學(xué)的研究與感受.

[?] 教學(xué)內(nèi)容分析

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在解析幾何內(nèi)容中具有重要的基礎(chǔ)作用，同時具有承上啟下的地位. 從知識構(gòu)建的角度來看，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其他圖形方程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是二次曲線學(xué)習(xí)的起始知識，直線與圓的關(guān)系、圓錐曲線等知識，均需在此基礎(chǔ)上進行構(gòu)建. 從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，由于圓是學(xué)生研究最多的基本圖形之一，因此學(xué)生對圓有著豐富的感性認識，也有著豐富的數(shù)學(xué)知識作為支撐，也因此對其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，可以打開學(xué)生學(xué)習(xí)其他曲線方程的思路，可以為后面知識的學(xué)習(xí)形成一種較高思維水平的定式作用（思維定式并不總是消極的，很多時候?qū)W生的學(xué)習(xí)之所以沒有障礙，正是一定水平上的思維定式作用的結(jié)果）. 從這個角度講，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)課的教學(xué)，需要花大氣力進行基礎(chǔ)作用的奠基. 但是需要看到的是，解析幾何中對圓的研究，畢竟不同于學(xué)生此前的學(xué)習(xí)方式，尤其是通過方程來描述像圓這樣的曲線，學(xué)生在思維方式上就有困難，這種困難往往會影響學(xué)生構(gòu)建對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程認識時的學(xué)習(xí)心理，因此在教學(xué)設(shè)計中需要重視這一因素. 從問題解決（數(shù)學(xué)知識應(yīng)用）的角度來看，本課需要結(jié)合高考要求，在讓學(xué)生運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決數(shù)學(xué)問題及實際問題的過程中，形成一種良好的直覺，即對于一些基本的與之相關(guān)的問題，要能夠在第一時間反映出其與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有關(guān)，需以之為工具實現(xiàn)問題的求解. 如上面所分析的一樣，這種基礎(chǔ)性的知識，只有成為良好的直覺，才能成為有效的解題工具.

結(jié)合基本的教學(xué)經(jīng)驗，在教學(xué)目標(biāo)的確定上，筆者以為本課的內(nèi)容可以在協(xié)調(diào)好三維目標(biāo)的基礎(chǔ)上具體制定這樣的教學(xué)目標(biāo)：①掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能夠根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程反映出圓心坐標(biāo)與半徑；②在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立的過程中形成數(shù)形結(jié)合思想，深刻體驗用代數(shù)方法解決幾何問題的過程；③在用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程描述圓的過程中體驗數(shù)學(xué)的簡潔美與對應(yīng)美. 關(guān)于這樣的目標(biāo)界定，筆者重點解釋一下第三個目標(biāo)：從傳統(tǒng)的角度看，情感態(tài)度價值觀這一目標(biāo)往往容易虛化，在實際教學(xué)中不容易得到真正的關(guān)注. 在筆者看來，就圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一教學(xué)而言，更實在的是讓學(xué)生在對圓的圖形的認識中發(fā)現(xiàn)其是最簡潔的基本圖形之一，而描述其的標(biāo)準(zhǔn)方程亦具有對稱、簡潔的特征，認識到這兩點即可，不需要追求過多、過空的所謂情感態(tài)度.

[?] 教學(xué)方法分析

教學(xué)有法，教無定法，貴在得法！對于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一內(nèi)容而言，采用什么樣的教學(xué)方法，是教學(xué)中需要高度重視的問題. 結(jié)合筆者此前的教學(xué)經(jīng)驗，同時注意學(xué)生主體作用的發(fā)揮，筆者在此內(nèi)容的教學(xué)中確定這樣的兩個教學(xué)方法：一是問題驅(qū)動（其中包括數(shù)學(xué)探究等環(huán)節(jié)），促進學(xué)生的數(shù)學(xué)建模；二是通過任務(wù)驅(qū)動的方法，促進學(xué)生應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的知識解決問題.

對于這兩個教學(xué)方法的確定，筆者的思考是這樣的：一方面，本知識的基礎(chǔ)性作用，決定了其在學(xué)生的考試評價中需要發(fā)揮重要作用，因此首先必須考慮到考試的需要，因而用問題驅(qū)動可以讓學(xué)生不斷地突破最近發(fā)展區(qū)，從而形成一種較好的數(shù)學(xué)思維方式與學(xué)習(xí)習(xí)慣. 教學(xué)經(jīng)驗表明，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中之所以感覺困難，就是因為沒有一種良好的數(shù)學(xué)意識與思維習(xí)慣，而像圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這樣的基礎(chǔ)性知識，必須成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識與思維習(xí)慣的良好載體. 另一方面，任務(wù)驅(qū)動可以在問題驅(qū)動的基礎(chǔ)上更好地發(fā)揮學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，從而讓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的運用能夠真正成為學(xué)生的良好直覺，而這一思路其實也呼應(yīng)了第一點對教學(xué)目標(biāo)的闡述.

需要注意的是，教學(xué)方法的確定原則上只是宏觀角度對學(xué)生學(xué)習(xí)過程預(yù)設(shè)基礎(chǔ)上的，對教學(xué)行為判斷的產(chǎn)物. 在具體的教學(xué)過程中還需要根據(jù)細節(jié)進行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，如果將教學(xué)方法（包括教學(xué)過程）模式化，那這樣的教學(xué)方法確定是沒有意義的.

[?] 教學(xué)過程闡述

在圓的標(biāo)準(zhǔn)方法的教學(xué)設(shè)計中，筆者確定了這樣的三個步驟，現(xiàn)結(jié)合教學(xué)過程具體說明：

第一步，創(chuàng)設(shè)情境，激活思維. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在生活中的應(yīng)用看起來并不那么直接，因此情境的創(chuàng)設(shè)需要一定程度的思考. 筆者所選擇的是汽車過隧道的例子，將隧道的截面抽象成一個半圓，給出其半徑，然后提出問題：已知某車的寬度與高度，其能否進入這個隧道？這是一個被多人選用過的情境，其好就好在能夠?qū)A的標(biāo)準(zhǔn)方程巧妙地蘊含其中，同時學(xué)生又可以在原有數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上解決這個問題.

第二步，問題驅(qū)動，展開探究. 在上述問題的驅(qū)動之下，引導(dǎo)學(xué)生的思維對情境進行加工，并尋找問題解決的思路. 在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生起初的思路是原有知識體系的產(chǎn)物，比如說有學(xué)生試圖通過勾股定理，去算出汽車對角線的距離并與圓的半徑進行對比. 這是一種思路，也能夠體現(xiàn)學(xué)生的已有能力水平，從最近發(fā)展區(qū)的觀點來看，教學(xué)中教師要做的就是從這個水平出發(fā)，讓學(xué)生的思維向圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)展. 于是，數(shù)學(xué)探究的過程也就展開了. 此時，教師可以拋出一個問題：能否以坐標(biāo)為工具，來解決這個問題？在問題驅(qū)動下的探究過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)思路大致相同，他們首先要在坐標(biāo)上建立起隧道與汽車兩個對象（當(dāng)然這是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物），然后將相關(guān)的數(shù)據(jù)記錄其中，于是隧道被抽象為圓心在原點、具有一定半徑的半圓，而汽車被抽象為一個已知長和寬的矩形. 于是實際問題也就成為一個純粹的數(shù)學(xué)問題，最終學(xué)生要比較的也就是直角坐標(biāo)上圓的半徑與矩形對角線的長度的關(guān)系，而其中的難點又是圓的半徑的確定. 于是學(xué)生的研究重點就轉(zhuǎn)移到了坐標(biāo)系的圓上來，這個時候教師進一步提出問題：如何在直角坐標(biāo)系上描述一個圓呢？有此問題驅(qū)動，其后建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與傳統(tǒng)教學(xué)就接軌了，考慮到同行們相對熟稔，此不贅述.

第三步，變式訓(xùn)練，任務(wù)驅(qū)動. 這一步有兩個任務(wù)，一是向?qū)W生提出問題，如果圓心不在原點處，那圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何建立？二是呼應(yīng)此前的實際問題，并給出新的實際問題，以讓學(xué)生具有一個運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程去解決不同難度實際問題的機會，從而形成良好的解題直覺.

在上述三個步驟中，關(guān)鍵在于學(xué)生思路的打開，也就是教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)與其的引導(dǎo). 多年的教學(xué)經(jīng)驗讓筆者意識到，很多時候?qū)W生感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，并不完全是因為數(shù)學(xué)知識本身所謂的“難”上，而是學(xué)生入不了“境”，因而也就找不到“門”. 因此，創(chuàng)設(shè)情境非常重要，打開學(xué)生的思路亦很重要，有此兩個環(huán)節(jié)作為基礎(chǔ)，學(xué)生的思路一旦打開，后面的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)有時反而比較簡單，本節(jié)課的教學(xué)就是如此.

[?] 教學(xué)及其反思

反思本課的教學(xué)，尤其是將此次教學(xué)的整體過程與此前進行比較時，還是有所發(fā)現(xiàn)：

其一，數(shù)學(xué)內(nèi)容的定位問題. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在曲線方程中起著什么樣的作用？這樣的問題此前沒有仔細思考過，而一旦思考之后，就發(fā)現(xiàn)其在知識構(gòu)建、能力形成乃至于數(shù)學(xué)意識與學(xué)習(xí)習(xí)慣形成方面都具有重要的作用，這種作用要想真正發(fā)揮出來，只能依靠好的教學(xué)設(shè)計.

其二，教學(xué)設(shè)計要在學(xué)生的基礎(chǔ)與考試要求之間做好平衡，過于偏向前者，則滿足不了考試要求；過于偏向后者，則學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是空中樓閣. 尋找這個平衡點，往往成為評價教師教學(xué)能力的關(guān)鍵，同時也是教師自身專業(yè)成長的著力點.

其三，數(shù)學(xué)意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方向. 筆者在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)中，注意比較過數(shù)學(xué)成績好與差學(xué)生的表現(xiàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)得好的學(xué)生，他們往往有一個極好的直覺，能夠迅速地判斷出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的下一步方向，而學(xué)困生就缺乏這樣的意識. 有此觀察之后，筆者還注意研究過數(shù)學(xué)進步較快的學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，發(fā)現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)意識也挺好，這就使筆者確信數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)很重要.

以上是筆者對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計與思考，不當(dāng)之處，還請各位同行批評指正.