陳富奎

[摘 要] 幾何語言是幾何學(xué)科的重要組成部分，是學(xué)生與幾何學(xué)科相銜接的橋梁. 在教學(xué)過程中，教師需要從圖形語言、文字語言與符號(hào)語言三方面入手，深化學(xué)生對(duì)幾何語言的理解，強(qiáng)化相關(guān)概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)圖轉(zhuǎn)換的能力，同時(shí)還要將這三者聯(lián)系起來綜合運(yùn)用，使之融會(huì)貫通.

[關(guān)鍵詞] 幾何語言；文字語言；符號(hào)語言；圖形語言；理解；聯(lián)系

什么是幾何語言？筆者發(fā)現(xiàn)很多同行存在理解上的誤區(qū)，比如有人認(rèn)為“在教學(xué)時(shí)經(jīng)常將圖形以語言的形式進(jìn)行使用，因此稱其為圖形語言”，這就易使圖形語言等同于一般所說的“描述圖形所用的文字語言”. 事實(shí)上，這里的“語言”是廣義的，幾何語言包括幾何作圖過程中圖形所展示的信息，即圖形語言，也包括描述幾何現(xiàn)象時(shí)用的文字語言，還包括用于推理、表述幾何關(guān)系的幾何符號(hào)語言. 初中生雖然在小學(xué)里已經(jīng)學(xué)過幾何知識(shí)，但由于小學(xué)生抽象邏輯思維能力不足，所以安排在初中階段才學(xué)習(xí)規(guī)范的幾何語言. 幾何語言是學(xué)習(xí)幾何的基本功，也是培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣、提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的渠道，所以教師對(duì)此要引起足夠的重視.

現(xiàn)實(shí)中，很多教師到學(xué)生快畢業(yè)了才感到問題的嚴(yán)重，因?yàn)閷W(xué)生的推理過程表達(dá)中張冠李戴、前言不搭后語的現(xiàn)象屢見不鮮，很多學(xué)生還不會(huì)對(duì)畫圖過程進(jìn)行口頭描述，甚至不能根據(jù)規(guī)范的符號(hào)語言作出相應(yīng)的圖. “萬丈高樓平地起”，幾何語言在幾何教學(xué)中的重要性不言而喻，所以從初一時(shí)就開始進(jìn)行幾何語言的系統(tǒng)訓(xùn)練非常重要.

在理解的基礎(chǔ)上運(yùn)用文字語言

幾何概念、定理、性質(zhì)一般都是通過語言來敘述的，它的特點(diǎn)是用詞精確、表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)，不能隨意改動(dòng). 學(xué)生學(xué)習(xí)幾何性質(zhì)與定理要防止死記硬背. 對(duì)于這些文字語言，應(yīng)該讓學(xué)生首先理解其義，防止產(chǎn)生理解上的歧義. 對(duì)于文字語言的教學(xué)，我們應(yīng)該在理解上下功夫.

1. 分解語義

同一種幾何語言往往包含多層意思，這時(shí)我們要對(duì)語言進(jìn)行分解. 比如“過直線外一點(diǎn)有且只有一條已知直線的平行線”，這句話表達(dá)了什么含義？學(xué)生分析后，教師可以通過多項(xiàng)選擇題的方式讓學(xué)生選擇“有且只有一條”的意思：①過直線外一點(diǎn)可以作一條已知直線的平行線；②過直線外一點(diǎn)只可以作一條已經(jīng)直線的平行線；③過直線外一點(diǎn)可以作無數(shù)條已知直線的平行線. 很明顯，這里包含了上面①與②兩項(xiàng)的含義.

2. 補(bǔ)充場(chǎng)景

教材對(duì)有些語言作了簡(jiǎn)縮處理，比如初一教材中的“對(duì)頂角相等”，其實(shí)應(yīng)該是“兩條直線相交后所產(chǎn)生的兩對(duì)對(duì)頂角分別相等”. 這樣學(xué)生更易理解“對(duì)頂角”所指的場(chǎng)景是“兩條直線相交”，而不是“三角形的其中兩個(gè)角”，也不是“內(nèi)錯(cuò)角”，這樣能有效防止張冠李戴.

3. 正反貫通

在幾何概念中，有不少概念與其性質(zhì)之間是充要條件的關(guān)系，此時(shí)不妨把概念與性質(zhì)之間來個(gè)正反聯(lián)系，提升學(xué)生的理解層次.

比如，“如果一個(gè)角是直角，那么它等于90°”，也可以反過來說，即“如果有一個(gè)角等于90°，那么它是直角”. 再如，“如果兩個(gè)角的和是90°，那么這兩個(gè)角互余”，也可以反過來說，即“如果兩個(gè)角互余，那么這兩個(gè)角之和等于90°”. 這樣不但能使學(xué)生充分理解概念與其性質(zhì)的關(guān)系，而且能防止概念的外延與內(nèi)涵發(fā)生偏差.

4. 聯(lián)系生活

幾何是抽象的，但它離不開生活實(shí)例. 聯(lián)系生活是為了促使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)，促進(jìn)幾何語言的深入理解與運(yùn)用. 比如“兩點(diǎn)之間，線段最短”，我們可以舉一個(gè)生活中的事例：“每次上體育課回教室的時(shí)候，總有那么幾個(gè)同學(xué)看到教室面前那塊草坪不肯沿邊框走，而是從草地上直接跨過去，請(qǐng)你對(duì)此發(fā)表看法：（1）他們?yōu)楹芜@樣做？（2）他們這樣做有什么后果？”具體討論為何這樣做的時(shí)候，可以讓學(xué)生通過畫圖來分析，找到“兩點(diǎn)”之間可以走的幾條路線，然后用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來得出結(jié)論.

作圖過程中對(duì)于圖形語言的規(guī)范操作

圖形語言是通過識(shí)圖、作圖來表達(dá)幾何特征，圖形語言比文字語言更直觀、易于理解，更便于學(xué)生進(jìn)行直觀學(xué)習(xí)與研究.

1. 避免只作出特殊情況

由于一般圖形中往往包含著特殊的情形，所以在幾何研究過程中，圖形的作圖方式會(huì)干擾研究的結(jié)果. 比如對(duì)于角的教學(xué)，由于舉生活中的例子時(shí)，教師可能借用了桌子角、黑板角的現(xiàn)象，如果把畫一個(gè)角畫成直角，就會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生角等于90°的觀念. 再如，“找到線段上的一點(diǎn)”不要去找中點(diǎn)，畫三角形時(shí)不要畫成等腰三角形，畫長(zhǎng)方形時(shí)不要畫成正方形等.

2. 教會(huì)學(xué)生識(shí)別復(fù)雜的圖形信息

自己或別人作好了圖，就要學(xué)會(huì)識(shí)圖，一般的圖形識(shí)別是不存在問題的，對(duì)于部分復(fù)雜的圖，要學(xué)會(huì)用特殊的方法來認(rèn)識(shí)與理解它. 比如畫一條線段，然后在線段中再找三個(gè)點(diǎn)，此時(shí)一共有幾條線段？教師可以引導(dǎo)學(xué)生用分類的方法去找，這時(shí)分類的方法能使學(xué)生更好地識(shí)別圖形信息，有助于圖形語言能力的升華.

3. 對(duì)于作圖過程表達(dá)的規(guī)范性

作圖以后，能把作圖過程表示出來是一項(xiàng)基本功. 比如“連接A，B兩點(diǎn)”“畫過A，B兩點(diǎn)的直線”，這是兩種過程，要學(xué)會(huì)區(qū)分，作圖時(shí)的表達(dá)不能隨意亂用. 再如“延長(zhǎng)AB交CD于點(diǎn)E”“延長(zhǎng)AB，使BC等于AB”“以點(diǎn)C為圓心、3 cm長(zhǎng)為半徑畫圓，與直線AB交于點(diǎn)E”之類的表達(dá)語言都需要與實(shí)際操作對(duì)應(yīng)起來，字母與相應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)并形成規(guī)范.

學(xué)會(huì)符號(hào)表達(dá)

用符號(hào)表達(dá)圖形信息比用文字表達(dá)更簡(jiǎn)潔、明了、嚴(yán)謹(jǐn)而實(shí)用，不同的符號(hào)有不同的含義，需要科學(xué)規(guī)范地運(yùn)用. 初中生由于剛涉及幾何符號(hào)，所以往往會(huì)犯一些錯(cuò)誤，這時(shí)便需要教師經(jīng)?；⒖茖W(xué)化地進(jìn)行提醒.

比如對(duì)于角的表示有多種方法，教師在教給學(xué)生以后要進(jìn)行強(qiáng)化，可進(jìn)行一些分類的改錯(cuò)訓(xùn)練，如①字母標(biāo)識(shí)位置不清或者沒標(biāo)識(shí)；②類似∠1，∠α的表示沒有在圖上標(biāo)出相關(guān)數(shù)字或字母；③點(diǎn)A處有多個(gè)角，所寫的∠A不知是哪個(gè)角. 通過訓(xùn)練，在今后的教學(xué)中，教師還要不斷地讓學(xué)生檢查是否表達(dá)有錯(cuò)，在書寫完畢后對(duì)照?qǐng)D形再讀一次，使所學(xué)知識(shí)及時(shí)化為相應(yīng)技能.

貫通三種幾何語言

以上我們分別從文字語言、圖形語言與符號(hào)語言三個(gè)角度分析了學(xué)生幾何語言運(yùn)用中需要注意的教學(xué)問題，事實(shí)上，三種幾何語言在形式上雖有不同，其內(nèi)涵卻是一致的. 教學(xué)中還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)互譯，達(dá)到融會(huì)貫通.

首先，要嘗試將三種幾何語言達(dá)成含義上的一致，能不斷轉(zhuǎn)換. 比如文字形式的表述“CD垂直于AB，交點(diǎn)是O”用圖形語言來表示即為圖1，用符號(hào)語言表示則是“CD⊥AB，垂足為點(diǎn)O”.

其次，要學(xué)會(huì)用既符合要求又不會(huì)導(dǎo)致誤解的圖形來準(zhǔn)確表達(dá)幾何關(guān)系. 如對(duì)于補(bǔ)角的概念，很多學(xué)生總認(rèn)為補(bǔ)角必須是在一起且拼起來成為一個(gè)平角的兩個(gè)角（即鄰補(bǔ)角），于是教師讓學(xué)生嘗試畫出∠1+∠2=180°，很多學(xué)生畫出了鄰補(bǔ)角的情形，這時(shí)教師通過幾何畫板拖動(dòng)∠2使兩角分開后，問此時(shí)∠1與∠2是否互為補(bǔ)角，學(xué)生經(jīng)過思考后認(rèn)為還是，這樣就可以強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)角拼成平角是兩個(gè)角互補(bǔ)的一種特殊情況，這種特殊情況下的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角的關(guān)系，這樣學(xué)生就修正了概念的內(nèi)涵，擴(kuò)大了概念的外延，獲得了準(zhǔn)確的概念，而且學(xué)生也懂得了畫圖時(shí)盡量畫一般情況，避免特殊情況對(duì)幾何學(xué)習(xí)的干擾的道理.

另外，學(xué)生要學(xué)會(huì)用不同的文字語言形式表示同一種圖的意思，從而強(qiáng)化理解. 比如“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)可以完整地說成“等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高與頂角的平分線三線合一”. 但具體理解的時(shí)候，還有以下說法：“等腰三角形頂角的平分線垂直平分對(duì)邊”“等腰三角形底邊上的高平分底邊與頂角”“等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊且平分頂角”. 通過不斷的訓(xùn)練，可以有效地增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力，培養(yǎng)學(xué)生幾何語言的表達(dá)能力，而且能深化對(duì)這一性質(zhì)的理解.

總之，幾何語言并非傳統(tǒng)意義上“語言文字”中的語言，而是包括了圖形信息在內(nèi)的綜合的廣義的語言. 雖然借助幾何語言可以直觀地表示幾何圖形的關(guān)系，并沒有其他符號(hào)語言那樣抽象難懂，但要掌握好這一語言也并非易事，它需要教師在教學(xué)過程中不斷地轉(zhuǎn)換提問形式，讓學(xué)生在實(shí)踐中不斷強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果，最終形成幾何語言的良好感覺，這樣才能在實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)無意識(shí)的自然幾何語言轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)幾何學(xué)習(xí)的智能升華.