楊鑫波

(重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400065)

高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的博弈分析

楊鑫波

(重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400065)

針對(duì)高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中存在的一些問(wèn)題，利用博弈論方法建立模型并求解，結(jié)合模型結(jié)果提出解決策略。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)；博弈論

博弈論是研究決策主體的行為發(fā)生直接相互作用時(shí)的決策，以及這種決策的均衡問(wèn)題的理論，它既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支，也是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科。1944年，馮·諾依曼和摩根斯坦在其《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》中首次對(duì)博弈理論進(jìn)行了系統(tǒng)化和形式化的描述，標(biāo)志著博弈論作為一門(mén)學(xué)科的建立。1951年，納什博士論文《非合作博弈》的發(fā)表，為博弈論的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。根據(jù)博弈論參與人之間是否合作，博弈可以分為合作博弈和非合作博弈?！昂献鞑┺暮头呛献鞑┺牡膮^(qū)別在于相互發(fā)生作用的當(dāng)事人之間有沒(méi)有一個(gè)具有約束力的協(xié)議，如果有，就是合作博弈，如果沒(méi)有，就是非合作博弈。非合作博弈是策略導(dǎo)向的，它研究的是參與博弈的決策主體如何產(chǎn)生所期望的行為，是對(duì)博弈所發(fā)生事情的精確描述，因此非合作博弈是研究微觀層面的理論。而合作博弈是成果導(dǎo)向的，它研究的是參與博弈的決策主體在哪些方面能達(dá)成一致，如何能達(dá)成一致以及在形成聯(lián)盟時(shí)如何分配他們的共同收益。合作博弈關(guān)心的是參與人可行的結(jié)果，而不是關(guān)心這些結(jié)果是如何產(chǎn)生的，因此合作博弈是研究宏觀層面的理論?！盵1]非合作博弈在研究不對(duì)稱(chēng)信息情況下市場(chǎng)機(jī)制的效率問(wèn)題上發(fā)揮了重要作用，從而使非合作博弈相對(duì)于合作博弈在經(jīng)濟(jì)學(xué)中占據(jù)了主流地位。經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的研究和拓展，博弈論已經(jīng)成為整個(gè)社會(huì)科學(xué)特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心，是一種重要的研究方法和工具。新建本科院校主要是由高職院校升本，成人本科院校改制，院校合并或新建獨(dú)立學(xué)院等形式所建立的新的本科院校。與其他辦學(xué)歷史比較悠久、學(xué)科專(zhuān)業(yè)發(fā)展比較成熟、服務(wù)對(duì)象比較穩(wěn)定、人才培養(yǎng)模式大致定型的院校相比，新建本科院校必須錯(cuò)位發(fā)展，找準(zhǔn)自己的“市場(chǎng)”定位。盡管這類(lèi)高校的學(xué)科及專(zhuān)業(yè)建設(shè)抓住了一些戰(zhàn)略機(jī)遇，得到長(zhǎng)足發(fā)展，但隨著發(fā)展的深入，存在的問(wèn)題也比較明顯，有些問(wèn)題嚴(yán)重影響教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)質(zhì)量是學(xué)校的生命線，關(guān)系學(xué)校能否在普通本科院校里站住腳，關(guān)系學(xué)校的興衰成敗。筆者作為一名基層教師，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)諸多影響教學(xué)質(zhì)量的問(wèn)題，并試圖解決。本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，試圖利用博弈論工具，從教學(xué)過(guò)程視角對(duì)師生博弈進(jìn)行分析，提出提高教學(xué)質(zhì)量的建議。

一、課堂教學(xué)存在的問(wèn)題

提高教學(xué)質(zhì)量，課堂教學(xué)過(guò)程尤為重要。一些新建本科院校部分專(zhuān)業(yè)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)存在許多問(wèn)題，對(duì)教學(xué)效果有著嚴(yán)重影響。

(1)生源質(zhì)量有所下降，教學(xué)難度加大。高校擴(kuò)招后，生源質(zhì)量下降，學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和習(xí)慣差。大多數(shù)學(xué)生沒(méi)有課前預(yù)習(xí)的習(xí)慣，上課時(shí)直接帶著教材就來(lái)，有的甚至連教材都不帶。上課時(shí)不少學(xué)生精力難以集中，不認(rèn)真聽(tīng)講，也不怎么做筆記，對(duì)黑板上教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的重要內(nèi)容，也只是心不在焉地拿出手機(jī)拍張照片?？梢韵胍?jiàn)，學(xué)生在課堂上對(duì)有詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程的結(jié)論都漠不關(guān)心，課后更不會(huì)去草稿本上對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行推演。有的學(xué)生上課躲在最后幾排玩手機(jī)，有的課后或者晚上玩手機(jī)，沒(méi)有休息好，上課來(lái)補(bǔ)覺(jué)，有的直接曠課，這種“混世魔王”的比例有逐年遞增的趨勢(shì)。筆者也反思過(guò)是不是因?yàn)樗v的數(shù)學(xué)知識(shí)太過(guò)乏味，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，嘗試在教學(xué)過(guò)程中多講一些名人軼事或知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。當(dāng)講趣事時(shí)大多數(shù)學(xué)生的表現(xiàn)是，講故事可以，講數(shù)學(xué)就沒(méi)興趣，仍有個(gè)別學(xué)生依舊不以為然。由于生源質(zhì)量下降，對(duì)教學(xué)效果帶來(lái)嚴(yán)重沖擊。

(2)高等數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)被削減，教學(xué)過(guò)程倉(cāng)促。有的院校為更好地培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用實(shí)踐能力，在培養(yǎng)方案中削減理論教學(xué)課時(shí)。在保證知識(shí)夠用的前提下，對(duì)教材中理論性強(qiáng)的內(nèi)容做了刪減，剩下的內(nèi)容都是淺顯的基礎(chǔ)知識(shí)。另外，學(xué)校時(shí)常動(dòng)員高年級(jí)學(xué)生考研，而考研對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求比較高，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)太差也不會(huì)貿(mào)然考研。作為任課教師希望學(xué)生以后能更好地發(fā)展，盡量多講些知識(shí)以培養(yǎng)考研的苗子。由于課時(shí)量非常緊張，教師在把教材內(nèi)容全部覆蓋的前提下，很多教學(xué)章節(jié)的內(nèi)容只能把開(kāi)始幾節(jié)的入門(mén)內(nèi)容講完，后面的只能略講，根本沒(méi)時(shí)間展開(kāi)，導(dǎo)致所講內(nèi)容偏簡(jiǎn)單，對(duì)教學(xué)質(zhì)量有一定影響。如果學(xué)生上課時(shí)不積極配合，或者曠課，教學(xué)效果會(huì)更糟，有考研想法的學(xué)生人數(shù)就會(huì)減少。

(3)教學(xué)資源不足。由于應(yīng)用型本科院校主要重視培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用能力，數(shù)學(xué)師資的配備相對(duì)不足，普遍采用合班教學(xué)，大班上課(許多重點(diǎn)大學(xué)數(shù)學(xué)課也是上大課)。這種教學(xué)方式本身沒(méi)有問(wèn)題，但由于新建普通本科院校學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性相對(duì)較差，學(xué)生會(huì)利用大班上課這種方式逃課，或者上課玩手機(jī)，看其他書(shū)籍等。上課考勤是很有必要的，如果教師總是不考勤，會(huì)助長(zhǎng)學(xué)生曠課的不良風(fēng)氣。由于人數(shù)眾多，多個(gè)班級(jí)學(xué)生混坐，考勤至少10分鐘。本來(lái)教學(xué)課時(shí)量減少后，對(duì)教學(xué)任務(wù)的完成帶來(lái)挑戰(zhàn)，所以教師只有在能保證完成教學(xué)任務(wù)的前提下，有多余時(shí)間再抽查學(xué)生的出勤情況，對(duì)缺席的學(xué)生進(jìn)行監(jiān)控和警告。目前來(lái)看，學(xué)生出勤情況不理想，有的學(xué)生常以考駕照或參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)名義請(qǐng)假，還有的學(xué)生多次曠課，屢教不改，家長(zhǎng)也無(wú)能為力。數(shù)學(xué)本身是邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密。個(gè)別同學(xué)因?yàn)橐淮稳毕?，課后又不去補(bǔ)習(xí)，導(dǎo)致后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)不能理解，從此一蹶不振。

二、課堂教學(xué)中的師生博弈模型

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，需要社會(huì)、學(xué)校、家庭、班主任、任課教師以及學(xué)生來(lái)共同解決。接下來(lái)將任課教師與學(xué)生的教學(xué)關(guān)系用博弈論中的嚴(yán)格監(jiān)督博弈來(lái)描述。

為了建模和分析問(wèn)題方便，假設(shè)模型中的字母均大于零，含義解釋如下：

a：表示學(xué)生努力學(xué)習(xí)帶給教師的效用大小，相反如果學(xué)生不努力，教師的效用為-a；

c：表示教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格監(jiān)督時(shí)所需付出的成本；

R：表示教師嚴(yán)格監(jiān)督的條件下，學(xué)生努力學(xué)習(xí)的收益；

S表示教師不嚴(yán)格監(jiān)督的條件下，學(xué)生努力學(xué)習(xí)的收益(S

F：表示由于教師的嚴(yán)格監(jiān)督激勵(lì)學(xué)生，教師獲得的教學(xué)效果的增加(F>c)；

T：教師在嚴(yán)格監(jiān)督過(guò)程中，對(duì)不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生采取的處罰，造成學(xué)生效用損失；

W：表示教師課堂監(jiān)督不嚴(yán)，學(xué)生可用時(shí)間增多而獲得的其他成就。

圖1是課堂上師生雙方教學(xué)的博弈支付矩陣。

圖1 博弈支付矩陣

由假設(shè)條件和支付矩陣可知，此博弈不存在純策略均衡，即決策者的最優(yōu)決策都要依賴(lài)于對(duì)方的行動(dòng)，任何一個(gè)純策略組合都有一個(gè)參與者會(huì)單獨(dú)改變策略，故模型是不穩(wěn)定的。教師采取嚴(yán)格監(jiān)督方式時(shí)，學(xué)生就會(huì)努力學(xué)習(xí)，當(dāng)學(xué)生努力學(xué)習(xí)時(shí)，教師會(huì)放松監(jiān)督，這將節(jié)省教師的成本，教師監(jiān)督不嚴(yán)，學(xué)生容易偷懶，所以教師的最優(yōu)選擇是實(shí)行嚴(yán)格監(jiān)督。根據(jù)納什均衡存在定理：每一個(gè)有限博弈至少存在一個(gè)納什均衡，因此該博弈存在混合策略納什均衡。用λ表示教師嚴(yán)格監(jiān)督的概率，1-λ為不嚴(yán)格監(jiān)督的概率，θ表示學(xué)生努力學(xué)習(xí)的概率，1-θ為不努力的概率?？傻媒處熀蛯W(xué)生的期望收益函數(shù)

π(1，θ)=θ(a-c)+(1-θ)(-a-c+F)

π(0，θ)=θa+(1-θ)(-a)

這里，這個(gè)混合策略是教師的最優(yōu)選擇，則教師選擇嚴(yán)格監(jiān)督和不嚴(yán)格監(jiān)督是無(wú)差異的，即

π(1，θ)=π(0，θ)

同理，若教師的混合策略為(λ，1-λ)，學(xué)生選擇努力學(xué)習(xí)(θ=1)和不努力學(xué)習(xí)(θ=0)的期望收益如下：

π(λ，1)=λR+(1-λ)S

π(λ，0)=λ(-S-T)+(1-λ)(-S+W)

由π(λ，1)=π(λ，0)

三、提高課堂教學(xué)質(zhì)量的幾點(diǎn)建議

通過(guò)上面的博弈分析，可以發(fā)現(xiàn)，教師為了讓學(xué)生努力學(xué)習(xí)，提高教學(xué)效果，可采用以下措施。

(1)降低教師的監(jiān)督成本。比如學(xué)校加大投入，增加師資配備，小班教學(xué)，或配備助教協(xié)助教學(xué)等。這樣可以使教師不必顧慮出勤率，或?qū)W生上課是否認(rèn)真聽(tīng)講。在監(jiān)督成本不高的情況下，還可以設(shè)計(jì)階段性小測(cè)驗(yàn)，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，促使學(xué)生加強(qiáng)課余學(xué)習(xí)。比如借助互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，建立與課程配套的網(wǎng)站資源，讓學(xué)生在線提前預(yù)習(xí)教師所講內(nèi)容或完成課后練習(xí)，系統(tǒng)自動(dòng)評(píng)閱，并把結(jié)果反饋給學(xué)生和任課教師，讓教師時(shí)刻掌握全班同學(xué)的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，根據(jù)學(xué)生的總體情況因材施教，提高教學(xué)質(zhì)量。這樣教師可以用更多的精力去備課，組織研討，提升自我素養(yǎng)，進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量。

(2)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的監(jiān)督，加大對(duì)不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生懲罰力度。教師在課堂上加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的嚴(yán)格監(jiān)督，讓所有學(xué)生都認(rèn)真聽(tīng)課，積極思考，努力學(xué)習(xí)。這項(xiàng)措施的順利實(shí)施不僅需要教師的努力，還需要學(xué)生家長(zhǎng)的配合和學(xué)校制度的支持。由于目前很多學(xué)生是獨(dú)生子女，當(dāng)教師對(duì)學(xué)生嚴(yán)格要求時(shí)，個(gè)別家長(zhǎng)不能理解教師的做法。有個(gè)別同學(xué)上課睡覺(jué)，教師對(duì)其批評(píng)教育，希望他好好學(xué)習(xí)，學(xué)生卻認(rèn)為這樣做傷害了他的自尊心，甚至提出讓教師道歉的奇葩要求。為什么會(huì)出現(xiàn)搞教育的不敢教育學(xué)生的 “窘境”？無(wú)非是教師在某種程度存在弱勢(shì)，這就需要學(xué)校和社會(huì)賦予教師更多教育的權(quán)利。另外，由于現(xiàn)在很多學(xué)校對(duì)學(xué)生考試不合格，退學(xué)的處理比較謹(jǐn)慎，導(dǎo)致很多學(xué)生覺(jué)得無(wú)論學(xué)習(xí)有多糟糕，學(xué)校一定不會(huì)讓其退學(xué)。一旦高年級(jí)的學(xué)生把這一秘密告訴給低年級(jí)的學(xué)生后，更多的學(xué)生會(huì)選擇不學(xué)習(xí)，更多“問(wèn)題”學(xué)生會(huì)對(duì)教師的嚴(yán)格監(jiān)督置之不理，并要求教師降低要求。這樣任課教師的嚴(yán)格監(jiān)督管理，都會(huì)付諸東流，教學(xué)效果就無(wú)從談起。

(3)教師應(yīng)努力提高教學(xué)質(zhì)量，改革教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生努力學(xué)習(xí)。從模型求解結(jié)果可知，教師提高教學(xué)質(zhì)量可以讓學(xué)生獲得更多知識(shí)，使學(xué)生感到努力學(xué)習(xí)的收益遠(yuǎn)高于不努力學(xué)習(xí)的情形。教師在上課之前首先要吃透教材知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容，再根據(jù)不同專(zhuān)業(yè)要求，不同學(xué)生基礎(chǔ)，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式講解相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)過(guò)程中不僅要完成教書(shū)的任務(wù)，還要實(shí)現(xiàn)育人的目標(biāo)。由于應(yīng)用型本科專(zhuān)業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)不同，因此在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)根據(jù)不同專(zhuān)業(yè)，選擇高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式。例如，對(duì)于應(yīng)用性較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，教師僅選講教材部分內(nèi)容，然后布置相關(guān)作業(yè)或任務(wù)，讓學(xué)生分小組完成，然后上臺(tái)答辯，其他小組學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)。讓學(xué)生在做任務(wù)的同時(shí)，完成對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，既培養(yǎng)了學(xué)生自學(xué)能力和團(tuán)隊(duì)合作能力，又讓整個(gè)教學(xué)過(guò)程變得更加立體生動(dòng)，形成積極互動(dòng)的良好氛圍。除此之外，還可以改變傳統(tǒng)考核方式。高等數(shù)學(xué)一般通過(guò)期末閉卷考試來(lái)考查學(xué)生學(xué)習(xí)情況，這種方式有其合理性，也有一些弊端，比如部分同學(xué)平時(shí)學(xué)習(xí)不認(rèn)真，期末突擊一下，甚至考試時(shí)作弊，考完就全忘掉。我們可以嘗試減少期末考試的權(quán)重，注重平時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)，或完成小組任務(wù)的質(zhì)量進(jìn)行綜合考評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生努力學(xué)習(xí)。

[1]董保民，王運(yùn)通，郭桂霞.合作博弈論[M].北京：中國(guó)市場(chǎng)出版社，2008.

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[責(zé)任編輯 劉江南]

2016-06-08

重慶市教育委員會(huì)項(xiàng)目“合作博弈解及其應(yīng)用研究”(KJ1501407)；重慶第二師范學(xué)院教改項(xiàng)目“基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的‘高等數(shù)學(xué)’教改探索”(JG2014212)

楊鑫波(1982— )，男，重慶永川人，講師，研究方向：最優(yōu)化理論及應(yīng)用。

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1008-6390(2017)02-0113-04