廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

利用曲線(xiàn)的切線(xiàn)解題

廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

切線(xiàn)是曲線(xiàn)割線(xiàn)的極限位置,它反映了曲線(xiàn)的局部的幾何性質(zhì).如果我們能夠利用曲線(xiàn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)的幾何位置關(guān)系,則能為我們的解題帶來(lái)極大的方便,本文舉例加以說(shuō)明,展示切線(xiàn)的作用.

一、利用切線(xiàn)構(gòu)造函數(shù)不等式

我們知道：若f(x)在區(qū)間[a,b]上為凸函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)位于函數(shù)f(x)圖像的上方(除切點(diǎn)外);若f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)位于函數(shù)f(x)圖像的下方(除切點(diǎn)外).

例1.考慮函數(shù)y=ex在x=0處的切線(xiàn)：y=x+1,結(jié)合函數(shù)y=ex為凹函數(shù)可得不等式：ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào);進(jìn)而可得ln(x+1)≤x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).又如考慮函數(shù)y=xlnx在x=1處的切線(xiàn)：y=x-1,結(jié)合函數(shù)y=lnx為凹函數(shù)可得不等式：xlnx≥x-1,即≤lnx,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào);從而有≤ln(x+1),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).于是可得經(jīng)典不等式：≤ln(x+1)≤x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

又如函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=tanx在x=0處的切線(xiàn)：y=x;在區(qū)間上,函數(shù)y=sinx為凸函數(shù),函數(shù)y=tanx為凹函數(shù),故有不等式：若,則 sinx＜x＜tanx.

二、利用切線(xiàn)證明不等式

例2.已知a+b+c=1,求證：.

例3.(2013全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)＞0.

證明函數(shù)y=ex在x=1處的切線(xiàn)方程為y=x+1,從而有ex≥x+1,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立;而函數(shù)y=ln(x+m)在x=1-m處的切線(xiàn)方程為y=x+m-1,函數(shù)y=ln(x+m)為凸函數(shù),從而ln(x+m)≤x+m-1,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1-m時(shí)成立;因?yàn)閙 ≤ 2,故ln(x+m)≤x+m-1≤x+1≤ex,等號(hào)不同時(shí)成立,從而ln(x+m)＜ex.

三、利用切線(xiàn)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

例4.已知函數(shù)f(x)=x2-alnx(a∈R),討論方程f(x)=0解的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

解方程 f(x)=x2-alnx=0的解的個(gè)數(shù) ??x2=alnx的解的個(gè)數(shù) ??函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).設(shè)函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx在點(diǎn)P(x0,y0)處有相同的切線(xiàn)(公切線(xiàn)),則,從而a=e.作出函數(shù)y=x2與函數(shù)y=elnx的圖像如圖所示,它們?cè)邳c(diǎn)處相切.由此可見(jiàn)：當(dāng)a∈[0,e)時(shí),函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像無(wú)交點(diǎn),方程f(x)=0無(wú)解;當(dāng)a＜0或a=e時(shí),函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像有一個(gè)交點(diǎn),方程f(x)=0有惟一解;當(dāng) a＞e時(shí),函數(shù)y=x2與函數(shù)y=alnx的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),方程f(x)=0有兩解.

圖1

四、利用切線(xiàn)求參數(shù)的取值范圍

例5.設(shè)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)-k|x|=0有三個(gè)不等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )

A. (e,2e) B. (e,+∞) C. (1,e) D. (-2e,e)

解方程f(x)-k|x|=0有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 ?? 函數(shù)f(x)圖像與函數(shù)y=k|x|圖像有三個(gè)交點(diǎn).作出它們的圖像如圖所示,可以看出,當(dāng)x＜0時(shí),若y=k|x|=-kx圖像位于曲線(xiàn)y=-x2-2ex在x=0處的切線(xiàn)y=-2ex的下方,即-k＞-2e時(shí),在y軸左側(cè)總有一個(gè)交點(diǎn);而當(dāng)x≥0時(shí),若y=k|x|=kx圖像位于曲線(xiàn)y=ex過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)y=ex的上方,即k＞e時(shí),在y軸右側(cè)總有兩個(gè)交點(diǎn).綜上,所求實(shí)數(shù)k的取值范圍為e＜k＜2e.

圖2

五、利用切線(xiàn)求最值

例6. 直線(xiàn)y=a分別與曲線(xiàn)y=x2-lnx和直線(xiàn)y=x-2交于點(diǎn)P,Q,則|PQ|最小值為( )

解如圖3,過(guò)點(diǎn)P作PM垂直直線(xiàn)y=x-2于點(diǎn)M,由于直線(xiàn)y=x-2的傾斜角為45°,故|PQ|=|PM|,從而只需求出曲線(xiàn)y=x2-lnx上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x-2的距離的最小值.我們將直線(xiàn)y=x-2平移至與曲線(xiàn) y=x2-lnx相切時(shí),切點(diǎn)P即為所求.于是y′=2x-=1=? x=1,即P(1,1),從而.

圖3