陜西省西安中學(xué)(710018) 陳昭亮

一道最值問題的多角度思考及教學(xué)啟示

陜西省西安中學(xué)(710018) 陳昭亮

題目如圖所示,A是一座小島,海岸線上一點(diǎn)P的正東方向12km處是城鎮(zhèn)Q,AP⊥PQ, AP=2km,假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為3km/h,人在海岸線上步行的速度為5km/h,試問此人從小島A出發(fā)到城鎮(zhèn)Q所用的最短時(shí)間是多少?

圖1

對(duì)于這道最值問題,常規(guī)的解題思路是通過建立函數(shù)模型,并求出最值.但解題時(shí)有兩個(gè)制約學(xué)生思維的“關(guān)隘”,一是要選擇合適的變?cè)鳛樽宰兞?二是在得出函數(shù)解析式后,用什么方法求出這個(gè)函數(shù)的最值.經(jīng)過筆者的研究發(fā)現(xiàn),本題的解題入口寬,方法多,是考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題能力的一道好題,具有較高的研究價(jià)值.本文就此題進(jìn)行了多角度的思考并談幾點(diǎn)教學(xué)啟示.

1試題的多角度思考

思路1 本題最容易想到的是選擇線段長為自變量.設(shè)此人在海岸點(diǎn)B處靠岸,點(diǎn)B到點(diǎn) P的距離BP=xkm,則BQ=(12-x)km,,又設(shè)小島到城鎮(zhèn)所需要的時(shí)間為t小時(shí).則t與x間的函數(shù)關(guān)系式為,即.這是一個(gè)無理函數(shù)的最值問題,我們要想辦法把解題障礙—根號(hào)去掉,以實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)換.我們可設(shè),這樣當(dāng)y取最小值時(shí),t最小.由得,兩邊平方整理得

因方程有實(shí)根,所以有

思路2 對(duì)于思路1中求無理函數(shù)

的最值這一難點(diǎn),我們也可以考慮用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行.考慮

又本題在0＜x＜12內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),據(jù)題意本題有最小值,故當(dāng)x=時(shí),.下同思路1.

思路3 本題中點(diǎn) B的運(yùn)動(dòng),除了用思路 1中的設(shè)BP=xkm之外,我們還可以看到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)也導(dǎo)致了∠PAB的大小變化,所以也可設(shè)∠PAB=x,則 PB=2tanx,,從而BQ=12-2tanx,故

思路4對(duì)于思路3中的核心步驟求函數(shù)的最小值,觀察這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)是比值型,就聯(lián)想到斜率公式的模型,該式可看做是經(jīng)過點(diǎn)M(-cosα,3sinα),N(0,5)的直線斜率,因?yàn)棣翞殇J角,所以點(diǎn)M(-cosα,3sinα)位于橢圓落在第二象限的曲線上.

如圖2可知,當(dāng)直線MN與橢圓相切時(shí),斜率最大,又橢圓在點(diǎn)M(-cosα,3sinα)處的切線方程為9x(-cosα)+3ysinα=9,又因?yàn)榇饲芯€經(jīng)過點(diǎn)N(0,5),將點(diǎn)N(0,5)的坐標(biāo)代入得 sinα =,所以tanα=,所以PB=2tanα=時(shí),tmin=.

圖2

2解題給我們的教學(xué)啟示

2.1 重視通性通法,淡化特殊技巧

高中數(shù)學(xué)新課程理念告訴我們：要與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”.我國的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng),新世紀(jì)的高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)發(fā)揚(yáng)這種傳統(tǒng).與此同時(shí),隨著時(shí)代的發(fā)展,數(shù)學(xué)課程設(shè)置和實(shí)施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力的內(nèi)涵,形成符合時(shí)代要求的新的“雙基”.因此,我們?cè)诮虒W(xué)中要注重通性通法,淡化特殊技巧,力求讓學(xué)生熟練掌握解決數(shù)學(xué)問題的常規(guī)方法.

思路1和2看似計(jì)算復(fù)雜,但在考試中可能是最容易想到的很自然的思路,同時(shí),我們看到此解法也恰恰體現(xiàn)了試題對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)基本思想方法和運(yùn)算求解能力的考查.因此,我們不能借口高考從“知識(shí)立意”轉(zhuǎn)變?yōu)椤澳芰α⒁狻倍鲆暬A(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法.尤其在試題的講評(píng)與訓(xùn)練時(shí),要讓學(xué)生充分體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法,熟練掌握解決一些常規(guī)數(shù)學(xué)問題的通性通法.

2.2 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì),提升應(yīng)變能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求,但是我們不能只限于形式化的表達(dá),更要強(qiáng)調(diào)讀懂?dāng)?shù)學(xué),其實(shí)就是強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋里.此題如果學(xué)生能清晰地理解解析幾何的本質(zhì),那么想到思路4的也就顯得很自然.數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科,學(xué)生只有在思維的過程中才能加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.我們的教學(xué)如何才能以不變應(yīng)萬變,這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中要充分揭示數(shù)學(xué)思維的全過程,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題后的反思和拓展,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì),以提升學(xué)生的思維品質(zhì).

2.3 關(guān)注知識(shí)交匯,提升綜合能力

思路3當(dāng)看到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng),也導(dǎo)致了∠PAB的大小變化,所以設(shè)∠PAB=x,從而把問題轉(zhuǎn)為三角函數(shù)的最值問題.真是聯(lián)想豐富,解法有創(chuàng)意.近年來體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)交匯處的試題經(jīng)常出現(xiàn),這類題目對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力要求較高.例如,我們把代數(shù)中求函數(shù)值域的問題可以轉(zhuǎn)化到幾何中求距離或斜率的問題;幾何中的距離或最值問題也可以通過三角問題或函數(shù)的知識(shí)來解決;立體幾何中空間角、距離可以通過空間向量的方法來解決;解析幾何常常與平面向量結(jié)合在一起.所有這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中各個(gè)分支其實(shí)是一個(gè)有機(jī)的整體.因此,我們?cè)诮虒W(xué)中要重視設(shè)計(jì)知識(shí)交匯處的例習(xí)題,充分挖掘知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵,通過變換條件、結(jié)論來設(shè)計(jì)一題多變、一題多問、一題多解,創(chuàng)設(shè)開放性數(shù)學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮聯(lián)想,從多角度、多維度去考察問題,提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

2.4 突出數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：“數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)課程改革的基本理念,在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí),掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能以及它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),對(duì)數(shù)學(xué)有較為全面的認(rèn)識(shí),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).”數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),使學(xué)生能用數(shù)學(xué)的思考方式去觀察問題、分析問題和數(shù)學(xué)地解決問題.