北京豐臺(tái)二中(100071) 甘志國(guó)

數(shù)學(xué)文化高考題舉隅(II)*

北京豐臺(tái)二中(100071) 甘志國(guó)

1.5 勾股定理

題目22(1979年高考全國(guó)卷文科、理科第4題)敘述并證明勾股定理.

解勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

下面給出三種證法：

證法1 (中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽給出的證明)簡(jiǎn)述如下：

圖18

證法2 (美國(guó)第二十任總統(tǒng)JamesAbramGarfield(1831～1881)于 1881年給出的證明)簡(jiǎn)述如下：

圖19

證法3 如圖20所示,圓O是Rt△ABC的內(nèi)切圓,有.

圖20

圖21

注由證法3的思路,還可給出余弦定理的證明(2011年高考陜西卷文科、理科第18題就是“敘述并證明余弦定理”)：

在△ABC中,分C為銳角、直角、鈍角及S△ABC=.

圖22

圖23

1.6 蝴蝶定理

題目23 (2003年高考北京卷理科第 18題)如圖24,橢圓的長(zhǎng)軸A1A2與x軸平行,短軸B1B2在y軸上,中心為M(0,r)(b＞r＞0).

圖24

(1)寫出橢圓的方程,求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率;

(2)直線y=k1x交橢圓于兩點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2) (y2＞0).直線y=k2x交橢圓于兩點(diǎn)G(x3,y3),H(x4,y4) (y4＞0).求證：;

(3)對(duì)于(2)中的C,D,G,H,設(shè)CH交x軸于點(diǎn)P,GD交x軸于點(diǎn)Q.求證：|OP|=|OQ|.

(證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形.)

解(1)橢圓方程為,左、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(-√a2-b2,r),F2(√a2-b2,r),離心率

評(píng)析本題的背景是蝴蝶定理.蝴蝶定理最先是作為一個(gè)征求證明的問題,刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》(Gentleman’sDiary)第39-40頁上;而“蝴蝶定理”這個(gè)名稱最早出現(xiàn)在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號(hào),由于其幾何圖形形象奇特,貌似蝴蝶,便以此命名.

蝴蝶定理的內(nèi)容是：如圖25所示,圓O的弦PQ的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M任作兩弦AB,CD,弦AD與BC分別交弦PQ于點(diǎn)X, Y,則M為線段XY的中點(diǎn).

有意思的是,直到1972年以前,人們對(duì)蝴蝶定理的證明都并非初等且十分繁瑣.至于初等數(shù)學(xué)的證法,在國(guó)外出現(xiàn)的資料中,一般都認(rèn)為是由一位中學(xué)教師斯特溫首先給出的面積法證明.1985年,在河南省《數(shù)學(xué)教師》創(chuàng)刊號(hào)上,杜錫錄(1941～1994)教授以《平面幾何中的名題及其妙解》為題,載文向國(guó)內(nèi)介紹蝴蝶定理,從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開.

圖25

下面介紹一種較為簡(jiǎn)便的初等證法：

如圖26所示,作OS⊥AD于 S,OT⊥BC 于 T,連 結(jié)OX,OY,MS,MT,OM.

圖26

再由M是弦PQ的中點(diǎn),可得OM⊥XY,所以M為線段XY的中點(diǎn).

實(shí)際上,還可把蝴蝶定理推廣到任意的圓錐曲線中：

若過圓錐曲線Γ的弦AB的中點(diǎn)M 任作兩條弦CD,EF,直線CE,DF與直線AB分別交于點(diǎn)P,Q,則|MP|=|MQ|.

證明如圖 27所示,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AB為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xMy.

圖27

可設(shè)圓錐曲線Γ的方程為ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.再設(shè)A(0,t),B(0,-t)(t＞0),得t,-t是關(guān)于y的方程cy2+ey+f=0的兩個(gè)根,所以c/=0,e=0.

當(dāng)直線CD,EF的斜率有不存在的情形時(shí),可得欲證結(jié)論成立.

1.7 楊輝三角

題目24 (2006年高考湖北卷理科第15題)將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成,就得到一個(gè)如圖28所示的分?jǐn)?shù)三角形,成為萊布尼茨三角形,從萊布尼茨三角形可看出,其.

圖28

答案.

評(píng)析顯然該題有數(shù)學(xué)史背景,萊布尼茨(Gottfriend WilhelmvonLeibniz,1646～1716)是德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家,同英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家牛頓并稱為微積分學(xué)的創(chuàng)始人,他所創(chuàng)造的微分和積分符號(hào)一直沿用至今.楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家,楊輝三角是楊輝(?～1298)的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)含了許多優(yōu)美的規(guī)律.而高中生對(duì)這些大數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)有所了解.

本題重在考查考生的觀察能力和用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解題.

題目25 (2007年高考湖南卷理科第15題)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖29所示的0-1三角數(shù)表.從上往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,...,第n次全行的數(shù)都為1的是第___行;第61行中1的個(gè)數(shù)是____.

圖29

解2n-1,32.

由不完全歸納法知,全行都為1的是第2n-1行;因?yàn)?6-1=63,所以第63行共有64個(gè)1,逆推知第62行共有32個(gè)1,并且是101010···01(共63個(gè)數(shù))的形式(也可用不完全歸納法),再歸納出第61行是11001100···110011(共62個(gè)數(shù))的形式,知共有32個(gè)1.

評(píng)析本題難度較大,考查不完全歸納法.要想徹底弄清每個(gè)組合數(shù)的奇偶性是很困難的.

題目26 (2004上海春季高考第11題)如圖30,在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中,第____行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2:3.

圖30

答案34.

1.8 多邊形數(shù)

題目27 (2009年高考湖北卷文科、理科第10題)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：

圖31

圖32

他們研究過圖31中的1,3,6,10,···,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似的,稱圖32中的1,4,9,16,···這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( )

A.289 B. 1024 C.1225 D. 1378

答案C.

題目28 (2012年高考湖北卷文科第17題)傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖31所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3,6,10,···記為數(shù)列{an},將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}.可以推測(cè)：

(1)b2012是數(shù)列{an}中的第____項(xiàng);

(2)b2k-1=____.(用k表示)

答案(1)5030;(2).

題目29 (2013年高考湖北卷理科第14題)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6,10,···,第n個(gè)三角形數(shù)為.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n,

······

可 以 推 測(cè) N(n,k)的 表 達(dá) 式,由 此 計(jì) 算N(10,24)=___.

答案1000.

評(píng)析這三道高考題都涉及古希臘人研究過的多邊形數(shù).且題目27、題目28均源于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5·必修·A版》(人民教育出版社,2007年第3版)(下簡(jiǎn)稱《必修5》)第28頁.題28和題29主要考查考生的觀察、猜想、驗(yàn)證的解題能力.

小學(xué)生也可解答題27這道選擇壓軸題：只需考查m2(m∈N?)及1+2+···+n=n(n+1)(n∈N?)的2倍n(n+1)的個(gè)位數(shù)字便可用排除法求解.

若解答此題的一般情形,還需要用到不定方程中的佩爾方程[3]知識(shí).

1.9 祖暅原理

題目30 (2013年高考上海卷理科第13題)在xOy平面上,將兩個(gè)半圓弧(x-1)2+y2= 1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥ 3)、兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D,如圖33中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω,過(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面面積為4π,試?yán)米鏁溤?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體,得出Ω的體積值為____

圖33

解2π2+16π.由幾何體為Ω的水平截面面積為,它由兩部分組成.

由祖暅原理可得,幾何體Ω中對(duì)應(yīng)部分的體積就是該圓柱體的體積,即2π2.

圖34

圖35

第二部分為定值8π.如圖35所示,圖35表示底面積為8π、高為2的長(zhǎng)方體(其體積為8π·2=16π).由祖暅原理可得,幾何體Ω中對(duì)應(yīng)部分的體積就是該長(zhǎng)方體的體積,即16π.所以幾何體Ω的體積為2π2+16π.

評(píng)析祖暅 (公元前 5～6世紀(jì)),字景爍,祖沖之(429～500)之子,范陽郡薊縣(今河北省淶源縣)人,南北朝時(shí)代偉大的科學(xué)家.他繼承劉徽(約225～295)和祖沖之的工作,解決了球體積的計(jì)算問題,與其父共著《綴術(shù)》.在天文學(xué)方面,曾測(cè)量日影長(zhǎng)度,發(fā)現(xiàn)北極星與北天極不動(dòng)處相差一度有余,糾正了北極星就是北天極不動(dòng)處的錯(cuò)誤觀點(diǎn).主要著作有《漏刻經(jīng)》一卷、《天文錄》三十卷(均已失傳).

祖暅在數(shù)學(xué)上的突出貢獻(xiàn)是他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上,于5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理(祖暅原理)：“冪勢(shì)既同,則積不容異”.“勢(shì)”即是高,“冪”是面積.意思是,如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.祖暅提出上面的原理,要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年.在歐洲直到17世紀(jì),才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利提出上述結(jié)論.(見《必修2》第30-31頁.)

1.10 錯(cuò)位數(shù)

題目31 (1)(2004年高考湖北卷文科第11題)將標(biāo)號(hào)為1,2,···,10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1,2,···,10的10個(gè)盒子里,每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球,恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為( )

A. 120 B. 240 C. 360 D. 720

(2)(2004年高考湖北卷理科第 14題)將標(biāo)號(hào)為1,2,···,10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1,2,···,10的10個(gè)盒子內(nèi),每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球,則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法共有____種.(以數(shù)字作答)

答案(1)B.(2)240.

評(píng)析這兩道小題實(shí)質(zhì)相同,背景都是“錯(cuò)位數(shù)”[4](數(shù)學(xué)家歐拉和丹尼爾·伯努利(DanielBernoulli,1700～1782)都研究過錯(cuò)位數(shù)).記n個(gè)元素的錯(cuò)位數(shù)為Dn,可得D1=0,D2=1,D3=2,D4=9.這兩道題有相同的解法：.

1.11 歐拉公式

題目32 (2014年高考陜西卷理科第14題)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：

多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱5 6 9五棱錐6 6 10立方體6 8 12

猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是___.

答案F+V-E=2.

評(píng)析本題考查合情推理中的歸納.歐拉是瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家.生于瑞士的巴塞爾,在俄國(guó)圣彼得堡去逝.13歲時(shí)入巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí),是約翰·伯努利(JohannBernoulli, 1667～1748)的學(xué)生,15歲大學(xué)畢業(yè),16歲獲得碩士學(xué)位.歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一,他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn),更把整個(gè)數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域.他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家,平均每年寫出八百多頁的論文,還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本,《無窮小分析引論》《微分學(xué)原理》《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)界中的經(jīng)典著作.歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究如此之廣泛,因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.此外,歐拉還涉及建筑學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)等領(lǐng)域.瑞士教育與研究國(guó)務(wù)秘書CharlesKleiber曾表示：“沒有歐拉的眾多科學(xué)發(fā)現(xiàn),今天的我們將過著完全不一樣的生活.”法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Pierre-SimonLaplace,1749～1827)則認(rèn)為：讀讀歐拉,他是所有人的老師.

1.12 割圓術(shù)

題目33 (2010年高考湖北卷理科第7題)如圖36所示,在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,再作正六邊形的內(nèi)切圓,又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去.設(shè)Sn為前n個(gè)圓的面積之和,則=( ) A. 6πr2B. 4πr2C.D. 2πr2

圖36

圖37

答案B.

評(píng)析此題有中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽(約225～約295)的割圓術(shù)這一數(shù)學(xué)史(如圖37所示)的背景.

劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生.他終生未曾做官,故稱為“布衣”;但他人格高尚,治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn),堪稱楷模,萬世師表.他不是沽名釣譽(yù)的庸人,而是學(xué)而不厭的偉人,他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富,不愧是中國(guó)古代一位杰出的布衣數(shù)學(xué)大師[5].

本題考查的知識(shí)是求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及數(shù)列極限.

《必修3》第45-47頁介紹了割圓術(shù).

1.13 皮克公式

題目34 (2013年高考湖北卷文科第17題)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖38中△ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4.

圖38

(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是___;

(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù),若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=____.(用數(shù)值作答.)

答案(1)3,1,6.(2)79.

評(píng)析本題的背景是皮克(GeorgePick,1859～1943,奧地利數(shù)學(xué)家)公式：頂點(diǎn)是整點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn))的多邊形(可以是凸多邊形也可以是凹多邊形)的面積是S=a+-1,其中a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù),b表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù).

題目35(2014年高考湖北卷第理科21題)(2014年高考湖北卷文科第22題)π為圓周率,e=2.71828···為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(2)(文)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).

(理)將e3,3e,eπ,πe,3π,π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列,并證明你的結(jié)論.

答案(1)增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+∞).

(2)(文)所求最大數(shù)與最小數(shù)分別是3π,3e.

(理)3π＞π3＞eπ＞πe＞e3＞3e.

評(píng)析第(1)問是經(jīng)典問題,2013年高考北京卷理科第18題、1983高考全國(guó)卷理科第九題、2005年高考全國(guó)卷III理科第6題、2001年高考全國(guó)卷理科第20題都與此函數(shù)有關(guān),由此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得經(jīng)典問題“比較ab與ba的大小”的簡(jiǎn)潔結(jié)論：

(1)當(dāng)0＜a＜b≤e時(shí),ab＜ba;

(2)當(dāng)e≤a＜b時(shí),ab＞ba;

(3)當(dāng)-0＜a≤1且a＜b時(shí),ab＜ba;

(4)當(dāng)1＜a＜e且b＞e時(shí),ab＜ba,ab=ba,ab＞ba均有可能.

另外,該題中的六個(gè)冪涉及數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要常數(shù)e和π(e＜3＜π),所以本題“美麗無比”.

題目36 (1)(2015年高考安徽卷文科第7題)執(zhí)行如圖39所示的程序框圖(算法流程圖),輸出的n為( )

圖39

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

(2)(2015年高考安徽卷理科第13題)執(zhí)行如圖39所示的程序框圖(算法流程圖),輸出的n為____.

答案(1)B.(2)4.

評(píng)析本題的背景是人類歷史是發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)無理數(shù)即的無限連分?jǐn)?shù)的前四個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù).

1.15 阿基米德三角形

題目37 (2015年高考全國(guó)卷I理科第20題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:與直線l:y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點(diǎn). (1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程; (2)y軸上是否存在點(diǎn) P,使得當(dāng) k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

答案(1)和.(2)存在點(diǎn)P(0,-a)符合題意.

題目38 (2007年高考江蘇卷第19題)如圖40,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過y軸正方向上一點(diǎn)C(0,c)任作一直線,與拋物線y=x2相交于A,B兩點(diǎn).一條垂直于x軸的直線,分別與線段AB和直線l:y=-c交于點(diǎn)P,Q.

圖40

(2)若P為線段AB的中點(diǎn),求證：QA為此拋物線的切線;

(3)試問(2)的逆命題是否成立?說明理由.

答案(1)c=2.(2)略.(3)(2)的逆命題成立,理由略.

題目39 (2006年高考全國(guó)卷II理科第21題)已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且(λ＞0).過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M.

(2)設(shè)△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達(dá)式,并求S的最小值.

答案(1).(2),S的最小值是4.

題目40 (2005年高考江西卷理科第22題)如圖41,設(shè)拋物線C:y=x3的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x-y-2=0上運(yùn)動(dòng),過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).

圖41

(1)求△APB的重心G的軌跡方程;

(2)證明∠PFA=∠PFB.

答案(1)3y=4x2-x+2.(2)略.

評(píng)析題37～40的背景都是阿基米德三角形(拋物線的弦與該拋物線在該弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形叫做阿基米德三角形).阿基米德最早利用逼近思想證得了結(jié)論：拋物線的弦與拋物線圍成的封閉圖形的面積是相應(yīng)的阿基米德三角形面積的.阿基米德三角形的眾多性質(zhì)是編制高考試題的源泉,讀者可參見文獻(xiàn)[6]-[9].

1.16 方格幾何學(xué)

題目41 (2014年高考福建卷文科第12題)在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的“L-距離”定義為||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|,則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1,F2的“L-距離”之和等于定值(大于||F1F2||)的點(diǎn)的軌跡可以是( )

答案A.

題目42 (2006年高考福建卷理科第12題)對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x1-x2|+|y1-y2|.

給出下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)C在線段AB上,則||AC||+||CB||=||AB||;

②在△ABC中,若∠C=90°,則||AC||2+||CB||2= ||AB||2;

③在△ABC中,||AC||+||CB||＞||AB||.

其中真命題的個(gè)數(shù)為( )

A.0 B.1 C.2 D.3

答案B.(①正確)

題目43 (2010年高考廣東卷理科第 21題)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn),現(xiàn)定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離ρ(A,B)為ρ(A,B)= |x1-x2|+|y1-y2|,對(duì)于平面xOy上給定的不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)：

(1)若點(diǎn)C(x,y)是平面xOy上的點(diǎn),試證明ρ(A,C)+ ρ(C,B)≥ρ(A,B);

(2)在平面 xOy上是否存在點(diǎn) C(x,y),同時(shí)滿足：quan1ρ(A,C)+ρ(C,B)= ρ(A,B);②ρ(A,C)= ρ(C,B).若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn);若不存在,請(qǐng)予以證明.

答案(2)存在,即線段AB的中點(diǎn).

評(píng)析題目41～43的背景都是方格幾何學(xué).方格幾何學(xué)是由生于俄國(guó)的著名德籍?dāng)?shù)學(xué)家閔可夫斯基(Hermann Minkowski,1864～1909)最先開始研究的.文獻(xiàn)[10]簡(jiǎn)單介紹了方格幾何學(xué).

[1]張奠宙.多一點(diǎn)數(shù)學(xué)文化的考題[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2015(9)：封底

[2]甘志國(guó).高考?jí)狠S題(上)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2015.28-29

[3]甘志國(guó).湖北高考數(shù)學(xué)卷與世界名題相通[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2009(11)：46-48

[4]甘志國(guó).為2010年的高考數(shù)學(xué)湖北卷叫好[J].數(shù)學(xué)通訊,2010(8下)：46-50

[5]甘志國(guó).中國(guó)古代杰出的布衣數(shù)學(xué)大師劉徽[J].新高考(高一·數(shù)學(xué)(必修1)),2016(10)：14-15

[6]殷加興.阿基米德三角形初探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2009(12)4頁

[7]邵明志,陳克勤.高考試題中的阿基米德三角形[J].數(shù)學(xué)通報(bào), 2008(9)

[8]王學(xué)鳳,劉曉銳.悄然興起的阿基米德三角形[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué), 2009(5)

[9]丁益民.一道高考試題引發(fā)的探究與思考[J].數(shù)學(xué)通訊,2010(10下)

[10]甘志國(guó).有趣的方格幾何[J].新高考(高二·數(shù)學(xué)),2013(11)：39-40

*該文為連載文章,共有三個(gè)部分,這是其中的第II部分—編者注.