河北南宮中學(xué)(055750) 霍忠林

巧用直線(xiàn)參數(shù)方程妙解高考題

河北南宮中學(xué)(055750) 霍忠林

解析幾何中動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,是高考中一種常見(jiàn)的題型.這類(lèi)問(wèn)題切入點(diǎn)寬、靈活度大、計(jì)算繁瑣、耗時(shí)費(fèi)力.不少學(xué)生常常缺乏解題策略,導(dǎo)致考場(chǎng)上半途而廢,得分率很低.本文巧用直線(xiàn)的參數(shù)方程求解2016年高考數(shù)學(xué)的幾道壓軸題,過(guò)程簡(jiǎn)潔,易于接受.下面,舉例說(shuō)明直線(xiàn)參數(shù)方程的巧妙應(yīng)用.

一、知識(shí)回顧

(1)過(guò)定點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為θ(0≤θ≤π)的直線(xiàn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為,其中|t|表示直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)M0(x0,y0)的距離,即：|MM0|=|t|.

(2)過(guò)定點(diǎn)M0(x0,y0)的直線(xiàn)(t為參數(shù))與二次曲線(xiàn)f(x,y)=0相交于A,B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB,則弦長(zhǎng)|AB|=|tA-tB|.

(3)過(guò)定點(diǎn)M0(x0,y0)的直線(xiàn)參數(shù)方程的一般形式為(t為參數(shù),a,b/=0),其中|t|表示直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)M0(x0,y0)的距離的倍,即：.

(4)過(guò)定點(diǎn)M0(x0,y0)的直線(xiàn)(t為參數(shù),a,b/=0)與二次曲線(xiàn) f(x,y)=0相交于A,B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 tA和 tB,則弦長(zhǎng).

(5)過(guò)定點(diǎn)M0(x0,y0)斜率為k的直線(xiàn)參數(shù)方程可設(shè)為.

二、應(yīng)用舉例

1.用于證明命題

例題1 (2016年四川高考理科 20題)已知橢圓E:=1(a＞ b＞ 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線(xiàn)l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.

(I)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(II)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

例題2 (2016年四川高考文科 20題)已知橢圓E:=1(a＞ b＞ 0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓E上.

(I)求橢圓E的方程;

解析(I).

同理可得：

所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.證畢

2.用于求弦長(zhǎng)

例題3 (2016年新課標(biāo)乙卷(理科)20題)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;

(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1,直線(xiàn)l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.