江西省信豐中學(xué)(341600) 何春良

處理含雙參平面向量問題的五大策略

江西省信豐中學(xué)(341600) 何春良

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,它與代數(shù)、幾何以及三角等知識聯(lián)系緊密,它作為高考的重要考點(diǎn),經(jīng)常出現(xiàn)在選擇與填空的壓軸題中,尤其是含雙參的平面向量問題,在近幾年高考命題中考查的頻率比較高,考生在處理這類問題時,經(jīng)常感到無助,不知從何處入手.作為教學(xué)一線的高中數(shù)學(xué)教師,筆者對近幾年各省有關(guān)含雙參平面向量問題的高考題與?？碱}進(jìn)行了系統(tǒng)的整理,歸納出了處理這類問題的五大策略,以供大家參考,以饗讀者.

策略一、直角坐標(biāo)法

直角坐標(biāo)法是處理平面向量問題的主要方法,只要能夠建立直角坐標(biāo)系,把點(diǎn)的坐標(biāo)確定下來,進(jìn)而向量的坐標(biāo)就可以表示出來,那么含雙參平面向量問題就可以通過向量關(guān)系式得以解決.

例1(2015年撫州?？碱})已知四邊形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn).若,則λ+μ=___.

解可將本題四邊形ABCD特殊化為直角梯形,建立直角坐標(biāo)系求解,如右圖所示.設(shè)AB=2a,AD= b,則CD=a(a＞ 0,b＞ 0),所以.又因?yàn)?所以,則有解得所以λ+μ=.

圖1

策略二、向量基底法

若問題不適宜建立坐標(biāo)系解決,則不妨嘗試運(yùn)用向量基底法,它也是處理含雙參平面向量問題的主要方法,所謂向量基底法就是根據(jù)平面向量基本定理,選擇好向量基底,再把題中所給向量全部用基底表示出來,最后把題目翻譯所給的向量關(guān)系式.

例2(2014年天津卷 ?理)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC, DF=μDC.若=1,,則λ+μ=( )

圖2

策略三、三角代換法

當(dāng)平面向量語言所表述的幾何元素為點(diǎn)時,且這樣的點(diǎn)具有明顯的圓(圓弧)的幾何特征,那么我們就可以根據(jù)三解函數(shù)定義,把圓(圓弧)上的各個點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來,即相應(yīng)向量的坐標(biāo)就出來了,最后代入題設(shè)中的向量關(guān)系式,問題就得以解決.

例3(2009年安徽卷?理)給定兩個單位向量和,它們的夾角為120°,如圖3所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的弧AB上運(yùn)動,若,其中x,y∈R,則 x+y的最大值為____.

解如圖3所示,以O(shè)A所在直線為x軸,以垂直于OA的直線為y軸,點(diǎn)O為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)∠AOC=α,則由三角函數(shù)定義,得A(1,0),

圖3

策略四、構(gòu)造線性規(guī)劃模型

有些含雙參平面向量問題經(jīng)常與解析幾何知識交匯在一起,其最值問題的求解是通過建立直角坐標(biāo)系,假設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo),利用已知向量的等價關(guān)系,把兩個參數(shù)用未知量表示出來,從而構(gòu)建出目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題來求解.

例4(2013年黃岡?？碱})如圖4,四邊形OABC是邊長為1的正方形,OD=3,點(diǎn)P為△BCD內(nèi)(含邊界)的動點(diǎn),設(shè)(α,β∈R),求α+β的最大值.

解如圖4所示,以 OD 為 x軸, OC為y軸,O為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè) P(x,y),而 C(0,1),D(3,0),則,由已知條件,進(jìn)而可得,所以.這就轉(zhuǎn)化成了線性約束條件為△BCD區(qū)域(含邊界),目標(biāo)函數(shù)為的線性規(guī)劃問題,由線性規(guī)劃知識,易得B(1,1)為最優(yōu)解,則.

圖4

策略五、補(bǔ)形法

利用補(bǔ)形法來解決平面向量問題的實(shí)質(zhì)是根據(jù)平面向量的基本定理及平行四邊形法則,構(gòu)造出平面幾何模型,結(jié)合共線向量定理與解三角形的相關(guān)知識對問題加以解決.

例5(2009年湖南卷?理)如圖5所示,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起,若,則x=___, y=____.

圖5

圖6

解在圖5中,過D點(diǎn)作AB延長線的垂線DG,垂足為G,再過D點(diǎn)作DF⊥AC,垂足為F,如圖6所示.易知,四邊形AGDF為矩形.由向量加法運(yùn)算的平行四邊形法可得：.在圖6中不妨設(shè)BC=DE=2a,則

在Rt△CAB中,AB=AC=BCsin45°=;

在Rt△DBE中,BD=DEsin60°=;

在Rt△DGB中,易知∠DBG=45°;

由上可見,對含雙參平面向量的問題,由于與其交匯的數(shù)學(xué)知識較多,解題的方法也比較靈活多變.上述介紹的幾種解題策略是比較常用的,但由于問題的形式千變?nèi)f化,考題也常考常新,所以這個問題的求解策略還需要我們不斷地去挖掘、探究與總結(jié).

[1]何春良.處理平面向量模長問題的五大策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(上半月),2016(3)：12-14.

[2]徐惠.平面向量問題的六大處理方法[J].數(shù)學(xué)通訊(上半月), 2015(7-8)：99-101.