張秋爽++蘇娜

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅是要學(xué)習(xí)那些由前人抽象概括形成的數(shù)學(xué)知識，同時還要學(xué)習(xí)抽象概括的方法。反思我們的課堂，為什么有時學(xué)生會出現(xiàn)學(xué)習(xí)知識時無法抽象概括，應(yīng)用知識時無法舉一反三的現(xiàn)象？教師又該如何讓學(xué)生經(jīng)歷過程，提升他們的抽象概括能力呢？

一、經(jīng)歷直觀形象的過程，在認(rèn)知沖突中提升

計算教學(xué)，要讓學(xué)生理解算理，掌握算法，處理好算理直觀和算法抽象之間的關(guān)系。以“人教版”《數(shù)學(xué)》三年級下冊《除數(shù)是一位數(shù)的除法》為例，教師總不能直接告訴學(xué)生：豎式的除法計算，從高位除起……為什么加法、減法和乘法的計算都是從個位開始算起，而除法要從高位開始算起呢？作為教師，應(yīng)該先創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實情境，讓學(xué)生理解除法的運算意義；接著讓學(xué)生分小棒；最后把分小棒的過程記錄下來就是豎式計算的過程。具體過程如下：

師：有42本故事書，要分給三年級的兩個班，每個班分多少本？

生1：42÷2。

師：每個班分多少本？請你用手中的小棒擺一擺。

生2：我先分單根的，把2根平均分成2份，每份是1根；再拿出4捆，每份2捆，合起來是21根。

生3：我先分整捆的，把4捆平均分成2份，每份2捆，也就是2個十；再分單根的，2根平均分成2份，每份是1根，最后分的結(jié)果是21根。

師：有的人先分整捆的，有的人先分單根的，都得出了分的結(jié)果。誰能把你們分小棒的過程記錄下來。

生4：40÷2=20，2÷2=1，20+1=21。

師：你是用口算記錄的，還可以用豎式記錄，你們試試看。（學(xué)生自己嘗試，教師講解。）請看下面的豎式，記錄的是先分整捆的，再分單根的操作過程：先分整捆的，把4捆平均分，每人2捆，商是20，2寫在十位上。分走了40，整捆的就沒有了，還剩下2根，每人1根，1寫在個位上，分走了2根，2-2=0，0表示分完了。

（教師邊說分的過程，邊寫豎式，讓學(xué)生明白每一步的含義。）

生5：先分單根的也可以用豎式記錄嗎？

師：大家覺得呢？請看下面的豎式，記錄的是先分單根再分整捆的操作過程：

對于42÷2，可以先分整捆的，也可以先分單根的，計算上沒有什么差別。如果有52本故事書，要分給三年級的兩個班，每個班分多少本呢？

有的學(xué)生先分整捆，分小棒過程如下，也可以用豎式記錄分的過程。

除了先分整捆的以外，也有學(xué)生按照自己先前的經(jīng)驗，先分單根再分整捆的，把2根平均分成2份，每份是1根；再拿出4捆，每份2捆；還剩下一捆，平均分成2份，每份是5根，合起來就是26根。用豎式記錄如下：

此時產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，計算42÷2時，先分整捆的，或者，先分單根的，豎式記錄沒有影響，而計算52÷2時，先分單根再分整捆的，豎式記錄出現(xiàn)了麻煩，所以，學(xué)生自然而然地接受了除法豎式計算從高位算起。

二、經(jīng)歷概念形成的過程，在例證中提升

多舉例證，使學(xué)生在抽象過程中學(xué)會舉一反三。在執(zhí)教《平均分》時，一位年輕的教師以分花的情境導(dǎo)入：把8朵花放在兩個花瓶里，可以怎么分？學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗，有了四種不同的分法：8可以分成1和7；8可以分成2和6；8可以分成3和5；8可以分成4和4。像這樣，每瓶都放4朵，放得同樣多就是平均分。

師：誰能說說什么是平均分？

生1：把8朵花放在兩個花瓶里，每個花瓶放4朵就是平均分。

師：誰還能說說什么是平均分？

（這個回答，能看出學(xué)生認(rèn)真聽講了，但教師還期待新的例子。）

生2：把8朵花放在兩個花瓶里，每個花瓶放4朵，同樣多就是平均分。

師：誰還能說說什么是平均分？

（教師心里不高興，期待的舉一反三沒有出現(xiàn)。）

生3：把8朵花放在兩個花瓶里，每個花瓶放4朵，同樣多就是平均分……

下課了，這名教師開始和師傅抱怨：我們班的學(xué)生為什么就不會舉一反三呢？師傅告訴她：建立概念的過程需要多舉實例，除了正例、反例外，還要有變式。所以，你還需要補充例子：

有9個蘋果，平均分給3個小朋友，每人分幾個？

有50本書，平均分給50個小朋友，每人分幾本？

有10個蘋果，平均分給4個小朋友，會有怎樣的結(jié)果？

教師多舉了幾個例子后，學(xué)生就能漸漸領(lǐng)悟分什么都可以，分多少份都行，只要每份同樣多就是平均分。學(xué)生經(jīng)歷了不完全歸納的過程，自然而然地抽象概括，并能用自己的話表達(dá)對概念的理解。

再如，教學(xué)《萬以內(nèi)數(shù)加法的豎式計算》，教師需要舉多個例子：“123+38”，體會個位相加滿十向十位進(jìn)一；“346+183”，體會十位相加滿十向百位進(jìn)一；“666+444”，體會百位相加滿十向千位進(jìn)一……當(dāng)然，教師也可以舉連續(xù)進(jìn)位的例子，讓學(xué)生在邊計算邊總結(jié)中逐步總結(jié)出“哪一位的數(shù)相加滿十就要向前一位進(jìn)一”的算法。雖然教師有時舉了很多例子，學(xué)生也不一定能順利總結(jié)，教師也要堅持多舉實例，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象概括的過程。

三、經(jīng)歷自我建構(gòu)的過程，在新舊知識聯(lián)系中提升

《乘法分配律》的學(xué)習(xí)需要從乘法意義——“幾個幾”這個舊知識出發(fā)，與新知識建立聯(lián)系，從而在多個例證中抽象出乘法分配律。

第一步——從乘法意義入手

一共有多少塊瓷磚？（2個6）

一共有多少塊瓷磚？（3個6）

一共有多少塊瓷磚？

學(xué)生可以用兩種方法來解答：4×9+6×9=90塊，或者（6+4）×9=90（塊）。所以，4×9+6×9=（6+4）×9。學(xué)生從關(guān)注結(jié)果到關(guān)注相等的關(guān)系。為什么相等？4個9加上6個9，合起來就是10個9。

第二步——生活情境中的數(shù)量關(guān)系

讓學(xué)生根據(jù)自己畫的圖和列的算式來講解，說出先求什么，再求什么。教師出示列表：

205×4+95×4=（205+95）×4。左邊求的是205個4與95個4的和，右邊求的是300個4，所以結(jié)果是相等的。

第三步——自己舉例子，結(jié)構(gòu)和上述兩個例子相同，呈現(xiàn)正例、反例和變式。

生1：我們曾經(jīng)學(xué)過長方形的周長：（長+寬）×2=長×2+寬×2，符合今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

生2：（35+25）×4=35×4+25。

生3：我認(rèn)為不對，右邊的算式中25也應(yīng)該乘以4。

生4：我們可以從乘法意義來考慮，左邊是60個4相加，右邊是35個4與25的和，所以兩個算式不相等。

舉了大量例證后，學(xué)生抽象概括出乘法分配律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把所得的積加起來。還可以用公式（a+b）×c=a×c+b×c來表示。

四、經(jīng)歷問題解決的過程，在釋疑中提升

問題是數(shù)學(xué)的心臟，讓學(xué)生從習(xí)以為常的生活現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題。在解決問題中獲得對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，從而提升抽象概括能力。

六年級教學(xué)“圓的特征”時，教師可以設(shè)計如下問題讓學(xué)生展開探究、討論：為什么車輪子一般都做成圓形的，做成橢圓的不行嗎？為什么馬路中間放圓形的井蓋，用正方形做井蓋不行嗎？為什么籃球場上的三分罰球線是半圓的，三角形的不行嗎？新年游藝會，請你設(shè)計一個套圈游戲的方案，畫出草圖。

隨著四個問題的解決，學(xué)生能體會到圓是“一中同長”，其它圖形都不是“一中同長”。車輪子做成圓形的，行進(jìn)時平穩(wěn)、舒服，做成橢圓形或其它形狀的，就會顛簸，不舒服；馬路中間的井蓋做成圓形的，不論汽車怎樣軋，萬一翹起來也不會從對角線所在位置掉下去，這樣更安全，而做成正方形的井蓋，就有可能從對角線的位置掉下去，存在安全隱患；籃球場上的三分罰球線是半圓的，保證在罰球線上的每個位置投球的距離都是一樣的，體現(xiàn)了公平性。“圓，一中同長”的本質(zhì)在生活中有著廣泛的應(yīng)用：為了舒適、為了安全、為了公平……這就是知識的價值，讓學(xué)生在解決問題中應(yīng)用知識，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)。

教學(xué)中還可以采用類比抽象，幫助學(xué)生提升抽象概括能力。類比抽象就是進(jìn)行類比的兩類事物，一要了解它們的不同點；二要尋找它們的相同點，從相似點出發(fā)，找出解決新問題的方法；三要注意驗證。

長方形和長方體是圖形家族的成員，它們之間是否有類似的性質(zhì)呢？

①長方形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)；長方體是特殊的平行六面體，它具有平行六面體的所有性質(zhì)。

②長方形的鄰邊互相垂直，對邊互相平行；長方體的鄰邊互相垂直，相對兩面互相平行。

③長方形的對角線互相平分且相等；長方體的對角線互相平分且相等。

④若長a，寬b，對角線l，則有l(wèi)2=a2+b2；若長方體的長是a，寬是b，高是c，對角線是l，那么l2=a2+b2+c2。

⑤長方形的面積=長×寬；長方體的體積=長×寬×高。

任何一個數(shù)學(xué)概念都離不開抽象概括。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式及其本質(zhì)屬性在思維中的反映。要重視過程，處理好過程和結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀和抽象的關(guān)系；要重視經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗的關(guān)系。讓學(xué)生經(jīng)歷操作、體驗、聯(lián)系、困惑、猜想、驗證、釋疑、推理、應(yīng)用的過程，有助于提升他們的抽象概括能力。