劉小寶

數(shù)學(xué)是對客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具，是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)是指數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而數(shù)學(xué)思維能力中最重要的就是抽象概括能力。那么，究竟如何解讀數(shù)學(xué)的“抽象概括”？如何培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力呢？下面就分別從以下三個(gè)方面進(jìn)行闡述。

一、關(guān)于數(shù)學(xué)“抽象概括”的解讀

數(shù)學(xué)的抽象和概括是形影相隨的一對概念，有數(shù)學(xué)抽象，就必然少不了對抽象的數(shù)學(xué)“概括”。數(shù)學(xué)抽象概括是對現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工以提煉出其共同的本質(zhì)屬性，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過程。

數(shù)學(xué)抽象概括在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中無處不在。任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念、法則、公式、規(guī)律等的學(xué)習(xí)，都要用到抽象概括。如“人教版”《數(shù)學(xué)》四年級下冊（以下同版本教材只標(biāo)明年級和冊數(shù)）對三角形概念的引出與定義，是由建筑腳手架、自行車的三角架、紅領(lǐng)巾等學(xué)生常見的生活中的三角形直觀引入，然后抽象得出數(shù)學(xué)意義上的三角形，再來引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言概括出三角形的定義：由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連）叫做三角形。

數(shù)學(xué)抽象概括是有層次的，數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出逐步抽象的過程。例如，數(shù)的發(fā)展，從結(jié)繩計(jì)數(shù)得到1，2，3……等有限的自然數(shù)，再通過加法的運(yùn)算，得到后繼數(shù)，形成了無限的正整數(shù)序列：1，2，3……n……在此基礎(chǔ)上形成了正整數(shù)集合N；再如，整數(shù)→小數(shù)→分?jǐn)?shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)；又如，算術(shù)中的數(shù)（1等）→代數(shù)中的常量（a）→變量（x），體現(xiàn)的都是數(shù)學(xué)抽象概括的層次性。

研究表明：小學(xué)低年級的學(xué)生尚處于直觀形象的概括階段。他們需要建立在豐富的感性材料基礎(chǔ)上，并運(yùn)用直觀形象的語言來描述事物的特點(diǎn)；小學(xué)中年級處于是從直觀形象向抽象概括的過渡環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠初步分清觀察對象的主要和次要、本質(zhì)和非本質(zhì)的屬性，逐步接近科學(xué)的概括，初步形成概念的系統(tǒng)；小學(xué)高年級學(xué)生已經(jīng)具有初步的抽象概括能力，能夠?qū)λ鶎W(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行抽象概括，能比較科學(xué)地對所學(xué)的概念進(jìn)行定義。但限于學(xué)生的知識(shí)水平、思維能力，即使是小學(xué)高年級的學(xué)生在抽象概括方面仍需要一定的感性材料和已有的經(jīng)驗(yàn)作支撐，沒有一定的感性材料為基礎(chǔ)，任何抽象化或形式化皆無助于學(xué)生抽象概括能力的培養(yǎng)。

抽象概括在數(shù)學(xué)中無處不在，但是在到處是情境的數(shù)學(xué)教育時(shí)代，往往容易被忽略。在執(zhí)教一年級上冊《10的認(rèn)識(shí)》時(shí)，多數(shù)教師會(huì)結(jié)合計(jì)數(shù)器、點(diǎn)子圖、小棒等直觀教具幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到9添上1是10，然后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)10的組成及加減法，沒有引導(dǎo)學(xué)生思考：10與前面學(xué)習(xí)的0～9這些數(shù)有什么不同？這里實(shí)際上隱含一個(gè)非常重要的思想方法——數(shù)學(xué)抽象，它比8和9的抽象水平更高。因?yàn)?0不僅是對任何數(shù)量是10的物體的抽象，它還體現(xiàn)了十進(jìn)位制計(jì)數(shù)原理的存在。

二、如何培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力

為培養(yǎng)學(xué)生抽象概括這一高層次的數(shù)學(xué)思維能力，筆者認(rèn)為可以從以下兩方面入手：

（一）以數(shù)學(xué)核心概念為載體，體現(xiàn)“具體→抽象→具體”的認(rèn)知過程？

首先，從整體上把握數(shù)學(xué)核心概念的體系。對于一個(gè)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生要先認(rèn)識(shí)其特殊、具體的形式，從具體、感性的認(rèn)識(shí)逐步過渡到對概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，然后再運(yùn)用概念解決問題，起到鞏固和應(yīng)用概念的作用。但是，對這個(gè)問題的理解和認(rèn)識(shí)不應(yīng)該局限在某一節(jié)概念教學(xué)課上，也不應(yīng)該孤立地看待教學(xué)過程的各個(gè)環(huán)節(jié)，而是應(yīng)該用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，把一個(gè)（或一組）具有完整意義的概念作為一個(gè)整體，從普遍聯(lián)系上認(rèn)識(shí)其形成的規(guī)律和教學(xué)中應(yīng)采取的對策。這就要求教師從總體上把握教學(xué)目標(biāo)，從整體上確定教學(xué)方法。這樣學(xué)生就能在概念的形成過程中逐步養(yǎng)成抽象概括的思維習(xí)慣。

其次，引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)感知、由表及里揭示概念的本質(zhì)。數(shù)學(xué)概念往往是以文字形式描述出來的，較為抽象，學(xué)生難以理解，這就需要教師在概念教學(xué)中適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)感知，啟發(fā)他們由表及里去揭示概念的本質(zhì)，架起“生動(dòng)的直觀”到“抽象的概括”的橋梁，促進(jìn)他們?nèi)嬲_地理解概念的本質(zhì)，洞悉概念的內(nèi)涵和外延。以五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)為例，教師除了要充分利用學(xué)生在三年級學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)積累的感性經(jīng)驗(yàn)外，還要讓學(xué)生利用學(xué)具動(dòng)手操作，把一個(gè)長方形平均分成2份，把一個(gè)圓平均分成3份，把一條線段平均分成5份，分別表示其中的1份；接著，讓學(xué)生把一個(gè)長方形平均分成3份，把一個(gè)圓平均分成5份，把一條線段平均分成7份，分別表示其中的2份、3份、5份；然后，再用課件演示——把4個(gè)蘋果、6面紅旗各看成一個(gè)整體，分別表示它們的[14]、[13]。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出“單位1”“平均分”“若干份”的意義，進(jìn)而概括出分?jǐn)?shù)的意義。

最后，引導(dǎo)學(xué)生逐級抽象，提高概括水平。數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象概括的產(chǎn)物，具有逐級提高、逐步深化的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)抽象概括能力的培養(yǎng)，必須循序漸進(jìn)。在平時(shí)的教學(xué)中，教師要有意識(shí)地從教材和學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，由低級到高級逐步進(jìn)行抽象概括，逐步提高學(xué)生抽象概括的水平。例如，在教學(xué)《三角形的特性》時(shí)，教師可以先利用課件出示直線、射線、曲線和線段，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)它們各自的特征；接著出示圓和三角形，讓學(xué)生在觀察比較中找出兩者的區(qū)別——圓是由曲線圍成，而三角形是由線段圍成的，完成初步抽象；此時(shí)讓學(xué)生試著概括三角形的概念，當(dāng)有學(xué)生把其概念概括為“由三條線段組成的圖形是三角形”時(shí)，教師不要急于糾正，可以適時(shí)地利用課件給他們提供一些反面的素材（如，某兩條線段不封口或交叉等），讓學(xué)生在否定對比的過程中得出三角形的正確含義；最后再來列舉生活中的三角形。這樣，按照“圖形→圍成圖形→三條線段圍成的圖形→每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連的三條線段圍成的圖形”這一次序，由淺入深，逐級抽象出三角形的概念。這是一個(gè)由“直觀概括→具體形象概括→形象抽象概括→本質(zhì)抽象概括→具體化”的過程。隨著抽象概括進(jìn)程的不斷深入，學(xué)生的抽象概括能力也在不斷提高。

（二）以數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用為主要手段，突出遷移訓(xùn)練和對比訓(xùn)練？

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及能力的形成，是在教師的指導(dǎo)下，通過嚴(yán)格的訓(xùn)練逐步積累起來的。有意識(shí)地對學(xué)生進(jìn)行的遷移訓(xùn)練，是提升學(xué)生抽象概括能力的有效途徑。

此外，數(shù)學(xué)教學(xué)中的對比訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和知識(shí)運(yùn)用能力的有效手段和方法。某些數(shù)學(xué)問題的解決，初看有多種解題思路或解題方法，但有的解題思路和方法在實(shí)際解題過程中相當(dāng)復(fù)雜，有的則簡單易行，這就需要教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、抽象、概括，通過一道題，找到最佳的解題路徑，打通一類題。

三、教學(xué)中的幾點(diǎn)建議

不能拋開教材“鬧革命”。數(shù)學(xué)本身具有高度的抽象性，教師只有結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，充分地挖掘教材可以培養(yǎng)抽象概括能力的因素，在傳授知識(shí)的同時(shí)，有計(jì)劃、有目的地進(jìn)行能力培養(yǎng)，才能切實(shí)地幫助學(xué)生學(xué)會(huì)抽象概括的方法，養(yǎng)成抽象概括的習(xí)慣。

不能學(xué)習(xí)“啞巴”數(shù)學(xué)。語言是思維的外殼，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開思維的碰撞，更離不開語言的交流與表達(dá)。在培養(yǎng)小學(xué)生初步的抽象概括能力的同進(jìn)，切不可忽視學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的培養(yǎng)。因?yàn)闆]有正確、清晰的表述，就不可能抽象地概括出明確、清晰的數(shù)學(xué)概念。

注重學(xué)習(xí)興趣、信心的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、信心是影響學(xué)習(xí)效率、效果最主要的因素，它們牽動(dòng)著學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)：學(xué)習(xí)興趣濃→主觀能動(dòng)性強(qiáng)→學(xué)習(xí)效率高→成績好→信心更足→興趣更濃，從而形成良性循環(huán)。因此，數(shù)學(xué)教師要善于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，為學(xué)生營造具有競爭意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)的氛圍，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中真正體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功感，分享學(xué)習(xí)的樂趣，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。