李娜　孫海燕

【摘要】 本文結(jié)合幾道典型的線性代數(shù)例題，針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)的分析和研究，并進(jìn)行總結(jié)和歸納.

【關(guān)鍵詞】 線性代數(shù)；范德蒙德行列式；行階梯形；行最簡(jiǎn)形

線性代數(shù)是大學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科，這門課的特點(diǎn)是公式多、式子大、符號(hào)繁，對(duì)相當(dāng)一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)入門難，學(xué)起來(lái)困難較多.下面就學(xué)生容易出錯(cuò)的地方做一分析.

乍一看，沒(méi)有錯(cuò)，但仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)用范德蒙德行列式計(jì)算該題時(shí)，公式中是后項(xiàng)減前項(xiàng)的乘積，而不是前項(xiàng)減后項(xiàng)的乘積. 正解 由范德蒙德行列式

有人會(huì)認(rèn)為，兩種做法過(guò)程不同，但結(jié)果相同，沒(méi)必要過(guò)多追究這個(gè)細(xì)節(jié).

但是看這個(gè)題： 1 1 12 4 54 16 25

（1） 1 1 12 4 54 16 25 =（2-4）（2-5）（4-5）=-6.

（2） 1 1 12 4 54 16 25 =（4-2）（5-2）（5-4）=6.

兩個(gè)過(guò)程得到的結(jié)果剛好相差一個(gè)負(fù)號(hào)，這是怎么回事呢？

下面證明一下這個(gè)結(jié)論.

證明 用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.當(dāng)n=2時(shí)，

所以當(dāng)n=2時(shí)（）式成立.

現(xiàn)在假設(shè)（）式對(duì)n-1階范德蒙德行列式成立，下證（）式對(duì)n階范德蒙德行列式也成立.

2.一個(gè)非零矩陣的行階梯形與行最簡(jiǎn)形有什么區(qū)別與聯(lián)系？

答：首先，任何一個(gè)矩陣都可經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯形和行最簡(jiǎn)形；

其次，行最簡(jiǎn)形一定是行階梯形，但行階梯形不一定是行最簡(jiǎn)形.其區(qū)別在于，行最簡(jiǎn)形需在滿足行階梯形的基礎(chǔ)上增加兩條：（1）非零行的首非零元為1；（2）首非零元所在列的其他元素為零.

3.在求解關(guān)于矩陣 A 的問(wèn)題時(shí)，什么時(shí)候只需化為行階梯形，什么時(shí)候需化為行最簡(jiǎn)形？

答：一般情況下，在求矩陣 A 的秩和求矩陣 A 的列向量組的最大無(wú)關(guān)組時(shí)，需要把矩陣 A 化為行階梯形.用初等行變換求矩陣 A 的逆、求矩陣方程 A X= B 、求解線性方程組的通解或基礎(chǔ)解系時(shí)，需要把矩陣 A 化為行最簡(jiǎn)形.

例如，解線性方程組

在線性代數(shù)這門課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，若仔細(xì)體會(huì)某些基本知識(shí)點(diǎn)，雖有一字之差，但含義卻相差甚遠(yuǎn).因此，在學(xué)習(xí)這門課時(shí)一定要足夠細(xì)心、足夠認(rèn)真才行.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，工程數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，第六版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]胡顯佑.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]趙樹嫄.線性代數(shù)（第3版）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004.