趙文強, 張一進

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶 400067；2.重慶郵電大學(xué) 理學(xué)院,重慶 400065)

無窮序列空間上緊性問題探討*

趙文強1, 張一進2

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶 400067；2.重慶郵電大學(xué) 理學(xué)院,重慶 400065)

緊性概念是泛函分析的重要內(nèi)容,在現(xiàn)代分析學(xué)中應(yīng)用廣泛；考慮lp,p≥2空間上的集合緊性問題,證明了M?lp為預(yù)緊集的重要條件是M一致有界且一致收斂,并給出了一個應(yīng)用實例.

無窮序列空間;預(yù)緊集;ε-網(wǎng);一致收斂

無窮序列空間：

具有范數(shù)：

其中p>0,是一類重要的Banach空間,在各種泛函分析教程中被廣泛應(yīng)用.文獻[1]討論了特殊序列空間l2和c0上有界線性算子的矩陣表示.文獻[2]研究了序列空間上的有界逼近和有界緊逼近性質(zhì).這里考慮一般情形lp(p>0)空間上集合的緊性問題,給出緊性的充要條件.

首先,給出緊集的相關(guān)定義和結(jié)果.

定義2 設(shè)X為度量空間,M?X為X的子集,N?M,ε>0.若對任意的x∈M,總存在y∈N,使得x∈U(y,ε),那么稱N是M的一個ε網(wǎng)；如果N還是一個有限集合,則稱N是M的一個有限ε網(wǎng).

為了便于判斷集合的緊性,在度量空間中有下面的等價命題[3-5].

引理2 設(shè)X為完備度量空間,M?X為X的子集,則M是X中的相對緊集的充要條件是對任意的ε>0,M在X中存在有限ε-網(wǎng).

所以B不是緊的,同時也不是相對緊的.

定理1 設(shè)2≤p<∞,M為lp的子集,則M為預(yù)緊集的充要條件是：

(1)

其中U(ξj,ε)為ξj的ε領(lǐng)域,j=1,2,…,s.令

(2)

于是,對任何的ξ=(ξ1,ξ2,…)∈M,根據(jù)式(1)知存在某個ξj,1≤j≤s,使得ξ∈U(ξj,ε),從而

(3)

故利用式(2)和式(3),及三角不等式立即得到：

因此,令ε=1就證明了條件(a).另一方面,對上述的有限ε-網(wǎng){ξ1,ξ2,…,ξs},顯然可以找到共同的i0=i(ε)>0,使得當(dāng)i≥i0時,有

(4)

這表明對充分小的ε,有

(5)

于是,條件(b)得證.

充分性.對任意的ε>0,根據(jù)條件(b),存在i0=i(ε)>0,當(dāng)i≥i0時,對任意的ξ=(ξ1,ξ2,…)∈M,有

(6)

所以M*是Ri0中的有界集.于是,M*是Ri0中的預(yù)緊集.因此,由引理2知,存在有限個點ξ1*,ξ2*,…,ξs*∈M*,使得對任意的ξ*=(ξ1,ξ2,…,ξi0)∈M*,存在某個ξj*,j=1,2,…,s,使得

(7)

(8)

現(xiàn)在零延拓ξ1*,ξ2*,…,ξs*.即令

(9)

則這樣得到的有限個無窮序列ξ1,ξ2,…,ξs屬于lp.因此,根據(jù)式(5)和式(7),對任意的ξ=(ξ1,ξ2,…)∈M,有

即按式(8)定義的元素構(gòu)成的集合{ξ1,ξ2,…,ξs}為M在lp中有限ε-網(wǎng).再一次運用引理2，充分性得證. 證畢.

作為上述定理的應(yīng)用,這里給出一個例子.

例1 取M為可數(shù)個無窮序列構(gòu)成的集合.即M={Tn:n=1,2,…},其中

(10)

下面證明M滿足定理1的條件(a)和(b).事實上,利用不等式當(dāng)x>0時,ln (1+x)≤x,對于p≥2,可得：

(11)

于是,當(dāng)i≥i0時,對所有的n成立：

[1] 李嘉,李揚榮.關(guān)于序列空間上的有界線性算子的教學(xué)探討[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,37(6):25-229

LI J,LI Y R.A Discussion on Bounded Linear Operators on Sequences Spaces[J].Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition),2012,37(6):225-229

[2] 林貴華.序列空間中的逼近性質(zhì)[J].大連理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1996,36(1):1-5

LIN G H.Approximation Properties in Sequences Spaces[J].Journal of Dalian University of Technology(Natural Science Edition),1996,36(1):1-5

[3] 程其襄,張奠宙.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社,2003

CHENG Q X,ZHANG D Z.Basis of Real Variable Function and Functional Analysis[M].Beijing:Higher Education Press,2003

[4] 郭懋正.實變函數(shù)與泛函分析[M].北京：北京大學(xué)出版社,2005

GUO M Z.Real Variable Function and Functional Analysis[M].Beijing:Peking University Press,2005

[5] 李國禎.實分析與泛函分析引論[M].北京：科學(xué)出版社,2004

LI G Z.An Introduction to Real Analysis and Functional Analysis[M].Beijing:Science Press,2004

責(zé)任編輯：李翠薇

Discussion on the Compactness in Space of Infinite Sequences

ZHAO Wen-qiang1, ZHANG Yi-jin2

(1. School of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China;2. School of Science, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China)

The notion of compactness, which is an important content in functional analysis, is widely used in modern analytical science. In this article, the compactness of set is discussed inlp,p≥2. It is proved thatM?lpis pre-compact set inlpif and only ifMis uniformly bounded and uniformly convergent. As an application, an example is presented here.

space of infinite sequences; pre-compact set;ε-net; uniform convergence

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0001.009

2016-04-16;

2016-05-20.

重慶市自然科學(xué)基金(CSTC2014JCYJA00035);重慶市教委科技項目(KJ1400430).

趙文強(1969-),男,四川南江人,博士,副教授,從事泛函分析及其應(yīng)用研究.

O177.3

A

1672-058X(2017)01-0045-03