劉 鋒, 何 卓**, 譚祥勇

(1.重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400054;2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院, 上海 200433)

Richards模型與Logistic模型在人口預(yù)測(cè)中的比較*

劉 鋒1, 何 卓1**, 譚祥勇2

(1.重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400054;2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院, 上海 200433)

Logistic模型是常用的人口預(yù)測(cè)模型，在Logistic模型的基礎(chǔ)上再添加一個(gè)參數(shù)，得到一個(gè)含有4個(gè)參數(shù)的非線性s型增長(zhǎng)模型，即Richards模型；分別通過(guò)Logistic模型和Richards模型對(duì)1985—2014年的中國(guó)人口進(jìn)行了預(yù)測(cè)，建立了人口預(yù)測(cè)模型；通過(guò)與實(shí)際人口相比，結(jié)果表明，Richards模型比Logistic模型擬合效果更好。

Logistic模型；Richards模型；人口預(yù)測(cè)；非線性

人口預(yù)測(cè)是制定和順利實(shí)施社會(huì)經(jīng)濟(jì)各項(xiàng)戰(zhàn)略設(shè)想的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，所以精確的人口預(yù)測(cè)非常重要。預(yù)測(cè)人口的方法很多，如自然增長(zhǎng)率[1]、年齡移除算法[2]、S型種群增長(zhǎng)數(shù)學(xué)模型法[3]等。前兩種方法受到人口政策、社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、文化教育和醫(yī)療衛(wèi)生的影響，所以預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際往往有一定的差距。S型種群增長(zhǎng)數(shù)學(xué)模型主要用來(lái)描述在環(huán)境資源受到限制的情況下，生物種群的增長(zhǎng)規(guī)律。

在生物、醫(yī)藥、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，常有因變量隨自變量呈現(xiàn)S型或反S型曲線變化趨勢(shì)，稱具有這種趨勢(shì)的數(shù)學(xué)模型為S型種群增長(zhǎng)模型。常見(jiàn)的S型曲線有Logistic，Gompertz，Richards等。本文采用S型種群增長(zhǎng)模型法中的Richards模型和Logistic模型來(lái)預(yù)測(cè)中國(guó)人口數(shù)量。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 Logistic模型理論基礎(chǔ)

Logistic曲線模型方程如下：

(1)

y(t)表示t時(shí)刻種群的數(shù)量，γ是種群的相對(duì)增長(zhǎng)率(即出生率減去死亡率)，β為初始值參數(shù)，N為環(huán)境能容納最大種群數(shù)量。

此模型含有3個(gè)未知參數(shù)，通過(guò)曲線直線化[4]可以得到參數(shù)值，但是這樣的值并不是很好，把曲線直線化得到參數(shù)值設(shè)為初始值，再運(yùn)用最小二乘法[5]得到最優(yōu)參數(shù)估計(jì)值。

對(duì)式(1)進(jìn)行變換，可得：

(2)

對(duì)式(2)等號(hào)兩邊進(jìn)行自然對(duì)數(shù)變換，則有

(3)

z=β-γx

(4)

由上述計(jì)算部分可知，確定合適的N值后，即可對(duì)Logistic曲線方程進(jìn)行一定的變換，使其轉(zhuǎn)化為直線回歸方程(4)。N是環(huán)境最大容納量，設(shè)N=200,得到β(直線回歸方程的截距值)和γ(直線回歸方程的斜率值的相反數(shù))的值，這樣就得到了N，β和γ的初始值；然后借助R編程軟件，用非線性最小二乘法得到擬合曲線模型。

1.2Richards模型理論基礎(chǔ)

Richards曲線模型的方程如下：

(5)

y(t)表示t時(shí)刻種群的數(shù)量，γ是種群的相對(duì)增長(zhǎng)率(即出生率減去死亡率)，β為初始值參數(shù)，N為環(huán)境能容納的種群的最大數(shù)量，δ為曲線形狀參數(shù)，當(dāng)δ=1時(shí), 式(5)即為L(zhǎng)ogistic曲線模型。所以Logistic曲線模型可視為Richards曲線模型的一個(gè)特殊情況。

此模型含有4個(gè)參數(shù)，參數(shù)的估計(jì)同理Logistic模型。

對(duì)式(5)進(jìn)行變換，可得：

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行自然對(duì)數(shù)變換，可得：

(7)

z=β-γx

(8)

由上述計(jì)算部分可知，確定合適的N和δ值后，即可對(duì)Richards曲線方程進(jìn)行一定的變換，使其轉(zhuǎn)換為直線回歸方程。參數(shù)δ依據(jù)不同的實(shí)際數(shù)據(jù)可能有不同的取值，無(wú)法簡(jiǎn)單地得出其確切值。此時(shí)可考慮確定δ的取值范圍，借助R軟件，得到擬合效果最優(yōu)的曲線模型。

2 模型的應(yīng)用

在國(guó)家統(tǒng)計(jì)年鑒上獲得我國(guó)歷年人口基本數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)選取于1985—2014年，選擇這30年相應(yīng)的人口數(shù)據(jù)為觀測(cè)數(shù)據(jù)：y1=105.851，y2=107.507，…，y30=136.782 ，人口單位是千萬(wàn)。令1985年起始年為1,1986年為2，依次類推。

2.1Logistic模型的應(yīng)用

通過(guò)曲線直線化，得到參數(shù)的初始值，N=200β=-0.160 573 4,γ=0.021 932 6；再利用非線性最小二乘法得到最優(yōu)參數(shù)值，即β=-0.156 696 9,γ=0.022 213 2；則中國(guó)人口Logistic模型增長(zhǎng)預(yù)測(cè)公式為

(9)

利用此公式可估算中國(guó)1985—2014年的人口數(shù)量，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 基于Logistic模型中國(guó)1985—2014年人口預(yù)測(cè)對(duì)比

此模型的殘差平方和為61.088 300 73.

2.2 Richards模型的應(yīng)用

通過(guò)曲線直線化，得到參數(shù)的初始值，N=200，β=-0.961 35，δ=0.522 49；再利用非線性最小二乘法得到最優(yōu)參數(shù)值，即β= -0.970 75，γ= 0.019 973，δ=0.518 35；則中國(guó)人口Richards模型增長(zhǎng)預(yù)測(cè)公式為

(10)

利用此公式可估算中國(guó)1985—2014年的人口數(shù)量，結(jié)果見(jiàn)表2。此模型的殘差平方和為55.974 046 77。

表2 基于Richards模型的中國(guó)1985—2014年人口預(yù)測(cè)對(duì)比

3 結(jié) 論

殘差平方和表示的是實(shí)際值與模型擬合值之間差值的平方和。殘差平方和越小，說(shuō)明實(shí)際值與模型擬合值之間的差異越小，模型更具代表性。根據(jù)兩模型對(duì)中國(guó)1985—2014年的人口預(yù)測(cè)可以看出，Richards模型的殘差平方和55.974 046 77比Logistic模型的殘差平方和61.088 300 73要小，說(shuō)明Richards模型比Logistic模型擬合效果要好，更適合用來(lái)預(yù)測(cè)中國(guó)人口。

利用Richards模型分別對(duì)我國(guó)2020、2030、2050年人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 Richards模型對(duì)中國(guó)未來(lái)人口預(yù)測(cè)

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責(zé)任編輯：李翠薇

Comparison of Richards Model and Logistic Model in Population Prediction

LIU Feng1, HE Zhuo1, TAN Xiang-yong2

(1.School of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China; 2. School of Statistics and Management, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai 200433, China)

Logistic model is a commonly used population prediction model, and a nonlinear s-type growth model containing four parameters, Richards model, is obtained by adding a parameter to Logistic model. Chinese population during 1985—2014 is predicted by Logistic model and Richards model respectively, and the population prediction model is constructed. By comparing with the real population, the results show that Richards model is better than Logistic model in fitting effect.

Logistic model; Richards model; population prediction; nonlinearity

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0000.002

2016-09-11；

2016-10-30.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471060).

劉鋒(1973-)，男，湖南新化人，副教授，博士，從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)研究.

** 通訊作者：何卓(1991-)，女，四川遂寧人，碩士研究生，從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)研究.E-mail:984624328@qq.com.

O212

A

1672-058X(2017)01-0006-01