王博　周龍虎

【摘要】通過對(duì)近十年間全國卷立體幾何題中幾何法和向量坐標(biāo)法的應(yīng)用概況的統(tǒng)計(jì)，及新課標(biāo)對(duì)幾何法和向量法的目標(biāo)分析，從文、理科學(xué)習(xí)對(duì)比中彰顯教材對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的側(cè)重點(diǎn)，幾何法和向量法對(duì)比中突出向量法的便捷美，重新闡明了立體幾何命題的出發(fā)點(diǎn)及幾何問題坐標(biāo)化——算法思想的本質(zhì).

【關(guān)鍵詞】立體幾何；幾何法；向量法

1幾何法和向量坐標(biāo)法的應(yīng)用概況

據(jù)統(tǒng)計(jì)，近十年來，全國卷對(duì)理科立體幾何的考查基本上定位在兩類問題上——位置關(guān)系及度量關(guān)系.第一類大多以證明題的形式考查線線、線面、面面間的位置關(guān)系問題（常是垂直或平行）；第二類大多以計(jì)算題的形式考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算問題.

以2016年各地理科數(shù)學(xué)卷的立體幾何的考查情況為例，做一個(gè)簡單的統(tǒng)計(jì)介紹.首先介紹全國卷Ⅰ、Ⅱ、III卷，還有浙江卷、四川卷、山東卷這幾個(gè)省份的立體幾何題目類似.第一問均為線面平行、垂直以及面面垂直的證明題，多以幾何法證明；第二問均為求線面角和二面角問題，常采用向量坐標(biāo)法解決，也有少量可以采用幾何綜合法證明.其次介紹江蘇卷第一問證明線面平行，第二問證明面面平行，均可采用幾何法證明.再次介紹上海卷第一問求三棱錐體積，采用三棱錐體積公式即可求得（即幾何法），第二問求異面直線，采用幾何法求解.最后介紹北京卷和天津卷，它們均有三小問，其中北京卷第一問證明線面垂直，采用幾何法，第二問求線面角，采用向量坐標(biāo)法，第三問探索性問題，證明線面平行，采用的向量坐標(biāo)法.而天津卷第一問證明線面平行，第二問求二面角，第三問求線面角，均以向量坐標(biāo)法解決.

綜上，各地區(qū)針對(duì)立體幾何的考查仍是保持往年一貫的出題習(xí)慣，無論是傳統(tǒng)的幾何法還是向量坐標(biāo)法，似乎都是不偏不倚，第一問側(cè)重幾何法，第二問傾向于向量坐標(biāo)法.

2新課標(biāo)做何要求

傳統(tǒng)高考對(duì)立體幾何的考查，側(cè)重于證明空間線面位置關(guān)系和相關(guān)數(shù)量關(guān)系.以平行、垂直、角、距離、面積、體積為主要考查點(diǎn).而在新課標(biāo)引入空間向量以后，立體幾何的考查發(fā)生了變化，主要是證明線面平行、垂直以及面面平行、垂直，計(jì)算線面角、面面角，特別地以多面體和球?yàn)檩d體的線面位置關(guān)系的論證與計(jì)算.

高中新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)立體幾何中向量坐標(biāo)法的應(yīng)用有如下要求：理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系；能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）；能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.

向量方法與立體幾何的高度融合，是數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典范例，但不一定要是向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的字母運(yùn)算（即線性運(yùn)算）也是不能忽視的一大方法.甚至可以說，向量的字母運(yùn)算背后有豐富的物理背景和幾何意義、演繹過程中有強(qiáng)大的運(yùn)算律，它才是向量的核心內(nèi)容.坐標(biāo)運(yùn)算只是一種運(yùn)用，一種表達(dá)罷了！我們難免會(huì)有疑惑：“是否是我們的高考命題導(dǎo)向跑偏了呢？”其實(shí)不然，細(xì)心的老師應(yīng)該會(huì)發(fā)現(xiàn)，教材選修21中為了引導(dǎo)學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)立體幾何中的向量方法——“三步曲”是如何具體使用的，設(shè)置了4個(gè)例題，前兩個(gè)例題都是用向量的字母運(yùn)算解決的，第三、四個(gè)是用建系、用坐標(biāo)運(yùn)算解決的，并且在例3的后面有一個(gè)探究——“不建立坐標(biāo)系，如何解決這個(gè)問題？”，實(shí)則用向量的字母運(yùn)算要更簡單！教材是花了濃墨的，至于高考不太待見，可能是向量的字母運(yùn)算涉及的運(yùn)算量要低些，也可能是抽象程度更高些.

3幾點(diǎn)思考

3.1從對(duì)比中窺探端倪

對(duì)于文科立體幾何，不少一線教師仍會(huì)教授向量方法在其中的應(yīng)用，效果有多好呢，也未曾見得.編寫教材的專家們?yōu)楹螀^(qū)別對(duì)待文理科生的教學(xué)，相信一定有令人信服的理論和實(shí)踐支撐，我個(gè)人認(rèn)為是數(shù)學(xué)教學(xué)真正在踐行“以人為本，尊重學(xué)生主體地位”的教育理念.

立體幾何這一內(nèi)容至少承載三大功能：培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范表達(dá)能力.文科生空間感較弱、邏輯性不強(qiáng)，其培養(yǎng)重心應(yīng)在第一、二個(gè)上，而理科生書寫規(guī)范較差，其培養(yǎng)重心則應(yīng)在第三個(gè)上.這樣就不難理解文理有別了！談及此就不得不談不分文理科后數(shù)學(xué)高考如何在此處命題的問題，設(shè)置選做題（一題傾向于用幾何法解決，一題傾向于用向量坐標(biāo)法解決），要求二選一，是一種做法，尋找“中間地帶”，設(shè)置一個(gè)兩法皆易操作的題也不是不可以.當(dāng)然，這要取決于教材的編寫.3.2以思想方法論論道

數(shù)學(xué)方法論主要研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則.它應(yīng)該是我們實(shí)施任何教育舉措的靈魂所在、準(zhǔn)繩所依、理論根本.對(duì)于錯(cuò)綜多變的立體幾何問題，我們已經(jīng)掌握了一套行之有效的萬能辦法——向量坐標(biāo)法，一個(gè)需要?jiǎng)幽X筋的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)不需要?jiǎng)幽X筋的問題，這不是進(jìn)步是什么.

立體幾何常用方法中，一是傳統(tǒng)的幾何法，需要學(xué)生有很強(qiáng)的空間想象能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，這種方法無論是證明還是求解都要經(jīng)歷“作——證”的過程，對(duì)很多基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說都是很困難的；另一種是向量坐標(biāo)法，這種方法不需要很強(qiáng)的空間想象能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?，只需要掌握向量坐?biāo)夾角公式，通過純粹的代入運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

未引入向量法之前，學(xué)生都是很怕立體幾何問題的，怕作輔助線和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?向量法的引入，為立體幾何解題提供了新的工具，無論是對(duì)線面或者是面面的垂直、平行的論證，亦或者對(duì)線面角和面面角的求解，都可以擺脫掉“作——證”過程，由代數(shù)運(yùn)算完成，這樣的幾何問題代數(shù)化的轉(zhuǎn)化，大大降低了立體幾何中的論證、解題的難度.

3.3以課程目標(biāo)為向?qū)?/p>

數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)不是培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，是培養(yǎng)具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的公民，以滿足個(gè)人的發(fā)展與社會(huì)的進(jìn)步.而從命題到解題不能總盯著鍛煉學(xué)生的思維這個(gè)層面看，也應(yīng)該注重其他方面的能力培養(yǎng)，比如運(yùn)算能力的培養(yǎng).很多學(xué)生的運(yùn)算水準(zhǔn)直接制約了數(shù)學(xué)能力，不能合理運(yùn)用估算、精算、巧算，不注重算理，要么“死算無果”，要么“一算就死”.

用傳統(tǒng)幾何法求距離和夾角時(shí)，要滿足三個(gè)步驟“作——證——求”，而其中的兩個(gè)步驟“作——證”卻是成了不少學(xué)生的攔路虎，談之色變.因?yàn)檫@兩個(gè)步驟不僅要求學(xué)生有很強(qiáng)的空間想象能力，更要有嚴(yán)密的邏輯思維能力.然而相對(duì)于傳統(tǒng)幾何法受到學(xué)生排斥，向量坐標(biāo)法則更受學(xué)生青睞.向量坐標(biāo)法需要學(xué)生建立合理的空間坐標(biāo)系，運(yùn)用向量夾角坐標(biāo)公式，進(jìn)行求解即可，直接回避了立體幾何中的錯(cuò)綜復(fù)雜的位置關(guān)系的演化，變成了純粹的計(jì)算，大大降低了思維難度.

3.4工具意識(shí)與創(chuàng)新

能夠用好工具，能規(guī)范作業(yè)才是立體幾何的最終出發(fā)點(diǎn).傳統(tǒng)幾何法在論證、求解立體幾何問題時(shí)需要有繁瑣的分析，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，?duì)很多學(xué)生來說難度較大.向量坐標(biāo)法只需思路簡單，過程清晰規(guī)范，計(jì)算結(jié)果正確即可，但往往又有很多學(xué)生做題不規(guī)范.向量坐標(biāo)法的規(guī)范作答的一般要求：①建立空間直角坐標(biāo)系，必須滿足相交于一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線，沒有的需要構(gòu)造出這樣的三條直線，同時(shí)需要注意建系要滿足右手法則；②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題目中的線段與平面信息，表示出所需的各點(diǎn)坐標(biāo)；③計(jì)算出相關(guān)的直線的方向向量以及平面的法向量；④結(jié)合向量的線線共線、垂直公式進(jìn)行論證平行與垂直關(guān)系，利用數(shù)量積公式計(jì)算空間角與距離問題；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

當(dāng)然，工具優(yōu)而用，也可以有些微創(chuàng)新.如求二面角所成平面角，不僅限于轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角（或補(bǔ)角），也可根據(jù)二面角的定義，轉(zhuǎn)化為求兩平面內(nèi)與交線垂直的向量的夾角（或補(bǔ)角）.3.5立足整體以滲透思想

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，空間幾何又著重于研究位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.新教材遵循“空間幾何體→點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系→空間向量與立體幾何”的展開方式，第一個(gè)過渡體現(xiàn)了從具體到抽象的研究思路，屬于抽象的第一步，為以后學(xué)習(xí)n維空間、距離空間等更抽象的空間奠定基礎(chǔ)；第二個(gè)過渡不僅體現(xiàn)了向量的工具性，更有效地滲透了坐標(biāo)化的思想.如立體幾何問題中的圓錐曲線軌跡問題就是一類很好的問題，又比如解析幾何的本質(zhì)便是坐標(biāo)化，很多問題都可以坐標(biāo)化.坐標(biāo)化讓“算”變的無所不能，讓每一個(gè)元素都找到自己的位置，位置關(guān)系的精確化就是量化.

作者簡介

王博（1987—），男，河南省漯河市人，中學(xué)二級(jí)，主要研究方向是中學(xué)數(shù)學(xué)教育.工作中一直致力于高中數(shù)學(xué)教學(xué)教研和高考試題的研究.多篇教學(xué)案例和課件榮獲市級(jí)及以上獎(jiǎng)項(xiàng)，有多篇論文發(fā)表.