劉延革　王雅薇

教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第107～108頁。

教學(xué)目標(biāo)：

（1）在探究圖形和數(shù)的問題中，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形互助解決問題的方法。

（2）在觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，幫助學(xué)生積累數(shù)形結(jié)合思考問題的經(jīng)驗(yàn)，滲透歸納推理和極限思想。

（3）體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)和生活中的廣泛應(yīng)用，感受數(shù)形結(jié)合的價(jià)值，初步形成數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

教學(xué)過程：

一、談話導(dǎo)入

師：同學(xué)們，一提到數(shù)學(xué)你們就會(huì)想到什么？

生1：我會(huì)想到數(shù)，如0、1、2、3等自然數(shù)，0.1、2.5等小數(shù)。

生2：我會(huì)想到“加、減、乘、除”等運(yùn)算符號(hào)。

生3：我會(huì)想到如何進(jìn)行運(yùn)算、有趣的數(shù)學(xué)問題等。

生4：我會(huì)想到三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等幾何圖形。

師：如果把同學(xué)們說的這些知識(shí)進(jìn)行分類，可以分成兩類。一類是由數(shù)、運(yùn)算符號(hào)、運(yùn)算方法組成的“數(shù)”；另一類是由點(diǎn)、線、面、體組成的“形”。“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩大類對(duì)象?！皵?shù)”和“形”有沒有關(guān)系呢？

生1：有關(guān)系，如圓這個(gè)圖形和π有關(guān)系。

生2：我沒有想過這個(gè)事情。

師：大多數(shù)同學(xué)沒有想過“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，今天我們就來研究。（板書：數(shù)與形）

評(píng)析：從學(xué)生學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識(shí)入手，引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要領(lǐng)域——數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域和空間與圖形領(lǐng)域，以“‘?dāng)?shù)和‘形之間有沒有關(guān)系”這一問題為突破口，引發(fā)學(xué)生思考，有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣。

二、體會(huì)形中有數(shù)，數(shù)中有形

1.例1教學(xué)

課件出示：

師：你發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律了嗎？（學(xué)生觀察）按照規(guī)律第四個(gè)圖形應(yīng)該是什么樣子的？

評(píng)析：教師沒有直接把四幅圖一并出示，而是逐次出現(xiàn)。目的是給學(xué)生時(shí)間，讓學(xué)生感受變化，在體會(huì)變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律想象出圖形，既培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力，又為將圖形與算式建立聯(lián)系做好準(zhǔn)備。

生：如果把每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)看作是“1”，第四個(gè)圖形應(yīng)該是邊長(zhǎng)為4的大正方形。

課件出現(xiàn)：

師：你能用數(shù)或式子表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

（學(xué)生思考、表達(dá)、匯報(bào)）

作品一：1、4、9、16

師：你能明白每個(gè)數(shù)表示的意思嗎？

生：第一個(gè)有1個(gè)正方形，第二個(gè)有4個(gè)正方形，第三個(gè)有9個(gè)正方形，第四個(gè)有16個(gè)正方形。

作品二：1×1、2×2、3×3、4×4

問：這些算式是什么意思？

生：1是邊長(zhǎng)，1x1是第一個(gè)圖形的面積；2×2、3×3、4×4分別表示圖形的面積。

作品三：1、1+3、1+3+5、1+3+5+7

問：什么意思？

學(xué)生解釋算式中每個(gè)數(shù)字在圖形中的位置。如下圖：

師：同一個(gè)圖形，觀察出的規(guī)律不一樣，每個(gè)規(guī)律是從什么角度觀察的？

生：作品一觀察的是圖形中小正方形的總個(gè)數(shù)，作品二觀察的是圖形的邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系，作品三反映的是圍繞左下角的正方形，外圈的正方形數(shù)逐漸增加。

師：雖然觀察角度不同，但是我們都能從圖形中找到算式中的數(shù)。

評(píng)析：教師為學(xué)生提供了充分的時(shí)間和空間，放手讓學(xué)生自主觀察、探究，多次安排從圖形中找數(shù)，旨在讓學(xué)生深刻感受到形中蘊(yùn)含著數(shù)，為學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教師及時(shí)獲取學(xué)生的信息，并對(duì)學(xué)生的信息進(jìn)行了分類、分層處理，處處緊扣“數(shù)”與“形”的結(jié)合。

2.算式1+3+5+7+9+11+13對(duì)應(yīng)的圖形

師：如果沿著“1+3+5+7”這個(gè)規(guī)律繼續(xù)往下想，1+3+5+7+9+11+13這個(gè)式子對(duì)應(yīng)的圖形是什么樣子7

生：我是用數(shù)的方法。一共7個(gè)數(shù)相加，所以邊長(zhǎng)是7。

師：誰理解他的意思了，到圖形上給大家數(shù)一數(shù)，7指的是哪？（學(xué)生到黑板上指圖形說明）

師：那么，1+3+5+7+9+11+13+15+17+19這個(gè)算式對(duì)應(yīng)的圖形又是什么樣子？

課件驗(yàn)證：

1+3+5+7+9+11+13

師：如果1+3+5+7+9+11+13+15+17+19對(duì)應(yīng)的圖形是什么？

生：對(duì)應(yīng)的圖形是邊長(zhǎng)為10的正方形。

師：為什么？

生：10個(gè)數(shù)相加。

3.小結(jié)

師：回顧我們研究的過程，我們從圖中找到數(shù)，又在數(shù)中想到了形，數(shù)與形有著緊密的關(guān)系。

評(píng)析：給算式想圖形的樣子，旨在讓學(xué)生感受數(shù)的規(guī)律也能用圖形表示出來，隨著數(shù)的個(gè)數(shù)逐漸增加，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和空間想象能力。小結(jié)前一段的學(xué)習(xí)時(shí)，教師沒有把著力點(diǎn)放在“規(guī)律”的總結(jié)上，而是重點(diǎn)讓學(xué)生感受數(shù)與形的關(guān)系，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“數(shù)中有形，形中有數(shù)”的理解與體會(huì)。

三、體會(huì)以形助數(shù)、以數(shù)解形，數(shù)形互助

1.體會(huì)以形助數(shù)

出示：

師：省略號(hào)是什么意思？

生：省略號(hào)表示一直加下去，有無數(shù)個(gè)。

師：猜測(cè)一下和是多少？（學(xué)生有些迷茫，不知道和是多少）的微妙之處。

3.出示以前學(xué)習(xí)中數(shù)形互助的例子

課件出示：

評(píng)析：借助學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)素材，進(jìn)一步感受圖形的直觀特點(diǎn)和數(shù)精確、精準(zhǔn)的特點(diǎn)，提升對(duì)以往學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)高度，進(jìn)一步理解、體會(huì)數(shù)形結(jié)合的好處。

師：數(shù)和形的關(guān)系非常密切，它們各有各的優(yōu)勢(shì)，數(shù)和形有機(jī)結(jié)合才能更好地幫助我們解決問題。

四、深入體會(huì)“數(shù)無形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”

（出示：超市2014年銷售某種餅干的數(shù)量）

1.以形助數(shù)，解決生活中的銷售問題

課件出示：

月份：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二

銷量：72 62 79 68 77 69 82 71 89 89 99 105

師：這是某種餅干2014年的銷售量，超市下一年是否還繼續(xù)進(jìn)貨這種餅干？

生：進(jìn)吧（個(gè)別）。

師：如果把這些數(shù)據(jù)制成折線統(tǒng)計(jì)圖，你們?cè)賮砀惺芤幌隆?/p>

課件出示：

生：進(jìn)！（齊聲，堅(jiān)定）因?yàn)殇N售量越來越多，是上升的趨勢(shì)！

師：在解決這個(gè)問題的時(shí)候，是誰幫助了誰呢？生：圖在幫助數(shù)?。R答）

2.以數(shù)解形，解決生活中的運(yùn)輸問題

課件出示：

師：如果這樣一輛卡車，想把這個(gè)沙坑里的沙子拉走，能不能一次性把沙子全部拉完呢？我們把車廂的形狀和沙坑里的形狀提取出來，同學(xué)們判斷一下。

生：（集體沉默2、3秒鐘）不知道！老師能給我們具體數(shù)據(jù)嗎？

課件出示：車廂長(zhǎng)2.5，寬4，高1.5；沙坑長(zhǎng)3，寬7，深0.7。

生：能拉走！車廂的容積是15，沙坑的容積是14.7。

師：解決這個(gè)問題時(shí)，誰幫了誰？

生：數(shù)幫了形。

師：同學(xué)們思考一下，在數(shù)與形互助的過程中，數(shù)的優(yōu)勢(shì)是什么？形的優(yōu)勢(shì)是什么？

生：數(shù)是準(zhǔn)確的，形一目了然。

師：“數(shù)”能更精準(zhǔn)地表達(dá)，“形”能更直觀地表達(dá)事物。其實(shí)，華羅庚老爺爺很早就說過這樣一句話：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！蹦隳芾斫馄渲械暮x嗎？

生：只有數(shù)沒有形，看不出來；只有形沒有數(shù)，難算出來。

師：難算出來就是不具體，不能精確地表達(dá)！所以后面還有一句話，同學(xué)們讀一讀。

生：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。

師：對(duì)！如果把數(shù)、形分家什么事都做不來。

評(píng)析：借助生活中的兩個(gè)典型素材，再一次讓學(xué)生體會(huì)數(shù)和形各自的特點(diǎn)，形能直觀呈現(xiàn)數(shù)的抽象。數(shù)能精確描述形的模糊，深刻理解華羅庚先生關(guān)于數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典之詞。

總評(píng)：

本節(jié)課圍繞數(shù)形結(jié)合，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)了一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生親歷活動(dòng)過程，在活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。具體如下：

1.利用學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

本節(jié)課開始部分，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容“數(shù)與代數(shù)”和“幾何圖形”，進(jìn)而抽象出“數(shù)”與“形”。因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)這兩個(gè)領(lǐng)域時(shí)是分別進(jìn)行的，很少有學(xué)生能夠把兩者聯(lián)系起來，這與學(xué)生的思維習(xí)慣形成了強(qiáng)烈的矛盾反差，于是引發(fā)了學(xué)生的好奇心，激發(fā)了學(xué)生思考的興趣。

2.整體把握教學(xué)內(nèi)容，凸顯數(shù)形結(jié)合的思想

本節(jié)課安排了兩個(gè)例題，例1引導(dǎo)學(xué)生從圖形中發(fā)現(xiàn)“數(shù)”，通過數(shù)想象圖形，凸顯“形中有數(shù)”“數(shù)中有形”的關(guān)系。例2引導(dǎo)學(xué)生利用圖形解決計(jì)算問題，以及“以數(shù)解形”的妙處，進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)形互助”的關(guān)系。教學(xué)中教師還補(bǔ)充了大量數(shù)形結(jié)合的實(shí)例，如統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)描述沙坑、車廂的大小等。這些素材很好地詮釋了華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！?/p>

3.核心活動(dòng)設(shè)計(jì)為學(xué)生積累了數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗(yàn)

本節(jié)課通過兩個(gè)核心活動(dòng)，一是讓學(xué)生看圖寫數(shù)，看數(shù)想形；二是讓學(xué)生借助圖形和數(shù)的推理來完成計(jì)算。在這兩個(gè)活動(dòng)中，每個(gè)學(xué)生有自己獨(dú)立思考的空間和時(shí)間，不斷經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、抽象、概括的過程，還經(jīng)歷了想象、推理、解釋的過程。在組織學(xué)生匯報(bào)交流中，教師也給予每個(gè)學(xué)生展示思維過程的權(quán)利，促進(jìn)了學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不斷提升。

4.教師尊重學(xué)生，促進(jìn)了辯證唯物主義世界觀的形成

教學(xué)中教師尊重學(xué)生的思維習(xí)慣和現(xiàn)狀，允許學(xué)生對(duì)極限思想的暫時(shí)不理解，引導(dǎo)學(xué)生從“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)側(cè)面體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想，并把這種觀點(diǎn)延伸到自然界中事物之間的聯(lián)系，有效地促進(jìn)了學(xué)生用辯證唯物主義觀點(diǎn)看待事物的思想方法的形成。