胡嫻

【摘 要】方程是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一個(gè)提煉過(guò)程，一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過(guò)程。方程思想的核心在于建模。對(duì)五年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們解應(yīng)用題習(xí)慣了用算術(shù)方法，若要突然地插入改變這種習(xí)慣的新方法，必須讓他們感受到這種新方法的優(yōu)越性。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，滲透代數(shù)模型的思想，體會(huì)用方程解題的優(yōu)越性，應(yīng)當(dāng)是初學(xué)列方程解決實(shí)際問(wèn)題的重心。

【關(guān)鍵詞】列方程解決實(shí)際問(wèn)題；建模思想；算術(shù)方法；方程方法；代數(shù)模型

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）01-0006-03

列方程解決實(shí)際問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)教學(xué)內(nèi)容之一，是構(gòu)建代數(shù)模型的啟蒙。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)，方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。因此，列方程解決實(shí)際問(wèn)題不僅僅是為了解題，更重要的是數(shù)學(xué)建模思想的滲透。

一、思維定式，算術(shù)方法“順理成章”

通過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)于剛剛接觸方程的五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，選擇用方程解決實(shí)際問(wèn)題并非易事。

【案例】在學(xué)習(xí)蘇教版五年級(jí)第一單元例7“列一步計(jì)算方程解決實(shí)際問(wèn)題”后，完成書(shū)P11第2題：

學(xué)生毫不猶豫地用算式：36+16算出答案。

在學(xué)習(xí)蘇教版五年級(jí)第一單元例8“列兩步計(jì)算方程解決實(shí)際問(wèn)題”后，完成書(shū)P11第7題：

難度加大了，但仍有學(xué)生用綜合算式：（110-20）÷2算出答案。

【分析】是孩子們沒(méi)有學(xué)懂？還是由于思維定式的影響，用算術(shù)方法“順理成章”？通過(guò)與孩子們交流以及和同事們的討論，筆者認(rèn)識(shí)到列方程解決實(shí)際問(wèn)題是在學(xué)生掌握用算術(shù)方法解決問(wèn)題，初步學(xué)會(huì)解簡(jiǎn)易方程的基礎(chǔ)上教學(xué)的。小學(xué)階段運(yùn)用列方程解答的問(wèn)題一般都不太復(fù)雜，學(xué)生多半能用算術(shù)方法解決，列方程解題步驟多、書(shū)寫(xiě)麻煩，感覺(jué)很煩瑣，所以不喜歡、不習(xí)慣用。

二、滲透建模，體會(huì)方程解題的優(yōu)越性

張奠宙先生打過(guò)一個(gè)比方，如果將要求的答案比喻為在河對(duì)岸的一塊寶石，那么算術(shù)方法好比是摸著石頭過(guò)河：從我們知道的岸邊開(kāi)始，一步一步摸索著接近要求的目標(biāo)；代數(shù)方法卻不同，好像是將一條帶鉤的繩子甩過(guò)河，鉤住對(duì)岸的未知數(shù)（建立了一種關(guān)系），然后利用這根繩子（關(guān)系）慢慢地拉過(guò)來(lái)，最終獲得這塊寶石。兩者的思維方向相反，但是結(jié)果相同。學(xué)生初學(xué)列方程解題時(shí)，容易受到列算式解題的思維定式影響。因此，教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生克服思維定式，滲透建模思想，使其體會(huì)用方程解題的優(yōu)越性。

1. 合理設(shè)問(wèn)

要使學(xué)生對(duì)“新方法”——方程的優(yōu)越性有親身感受，合理的問(wèn)題設(shè)計(jì)很重要。一開(kāi)始可以設(shè)計(jì)一些需要逆向思考的問(wèn)題，如：張大爺用 420 米的籬笆圍一塊長(zhǎng)方形的菜地，如果這塊菜地的長(zhǎng)是 70 米，那么寬是多少米？這題和以往告知長(zhǎng)和寬要求周長(zhǎng)的題目不同，是需要逆向思維的，這在一定程度上迫使學(xué)生積極思考：列算式解題時(shí)，未知數(shù)始終作為一個(gè)“目標(biāo)”，不參與列式，并在腦中進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的變換，因而造成列式上的煩瑣。而列方程解題打破了列算式時(shí)只能用已知數(shù)“長(zhǎng)” 和“周長(zhǎng)”的限制，可以根據(jù)需要用字母表示未知數(shù)“寬”，根據(jù)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系，列出含有未知數(shù)的等式（即方程），題目中怎樣敘述就怎樣列式，一般不需逆思考。因此，列方程要比列算式思考起來(lái)更便捷，有更多的優(yōu)越性。

2. 滲透感悟

列方程解決實(shí)際問(wèn)題的重點(diǎn)是根據(jù)題目中數(shù)量之間的相等關(guān)系，運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言建立數(shù)學(xué)模型——方程，這需要有一定的知識(shí)基礎(chǔ)，比如：多邊形面積公式。書(shū)中出現(xiàn)了這樣的習(xí)題：

在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生很順利地用長(zhǎng)方形、正方形面積、周長(zhǎng)公式列方程解決了。但對(duì)學(xué)生而言，不論用方程還是算術(shù)方法都很簡(jiǎn)單，并不能立刻感受方程的優(yōu)越性。所以，接著教師設(shè)計(jì)了下面這組題：

先請(qǐng)學(xué)生自由選擇解法，再比較利用面積公式列方程求高和用算術(shù)方法求高，讓學(xué)生感受到用算術(shù)方法解題，每一步都要進(jìn)行具體分析并給出合理的解釋?zhuān)y度大且易出錯(cuò)。而一旦將未知量用字母表示并和已知量一樣參加運(yùn)算，就很容易建立方程，逆向思維的過(guò)程被解方程的程式化步驟所替代，無(wú)須“步步為營(yíng)地逼近未知量”，只要理順題中已知量與未知量的關(guān)系，用字母代替未知量即可，思維難度大大降低。這樣，使方程思想進(jìn)一步滲透到學(xué)生的知識(shí)體系中，讓學(xué)生感悟到方程解題的必要性和優(yōu)越性。

3. 體會(huì)優(yōu)越

列方程解決實(shí)際問(wèn)題存在著共同的本質(zhì)——尋找等量關(guān)系，建立方程模型，這其中蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)建模的思想。課堂教學(xué)中，教師要緊扣這一數(shù)學(xué)思想進(jìn)行滲透，讓學(xué)生體會(huì)方程解題的優(yōu)越性。如，下面這一組題：

①甲乙兩車(chē)同時(shí)從相距 480千米的兩地出發(fā)，相向而行，甲車(chē)的速度是90千米/小時(shí)，乙車(chē)的速度是70千米/小時(shí)。經(jīng)過(guò)幾小時(shí)后兩車(chē)相遇？

②甲乙兩車(chē)同時(shí)從相距 480千米的兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇。甲車(chē)的速度是90千米/小時(shí)，乙車(chē)的速度是多少？

③甲乙兩車(chē)同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，相背而行，甲車(chē)的速度是90千米/小時(shí)，乙車(chē)的速度是70千米/小時(shí)。幾小時(shí)后兩車(chē)相距 800 千米？

這組題目都是關(guān)于行程問(wèn)題的，解決這一類(lèi)問(wèn)題，思考時(shí)要緊扣行程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系：速度和×?xí)r間=總路程，來(lái)建立模型、列出方程。通過(guò)對(duì)比和討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論題目中的條件有多么復(fù)雜，用方程解決這類(lèi)問(wèn)題只需要一個(gè)等量關(guān)系，思考起來(lái)比用算術(shù)方法簡(jiǎn)單得多。這樣，在研究的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)列方程解決問(wèn)題的優(yōu)越性有了更深入的體會(huì)。

三、鞏固模型，適當(dāng)比較算術(shù)方法和方程方法

在教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)方程解法的優(yōu)越性后，又出現(xiàn)了一個(gè)新?tīng)顩r：學(xué)生會(huì)不加選擇地見(jiàn)題目就用方程來(lái)解決。所以，教學(xué)時(shí)教師不僅要通過(guò)比較讓學(xué)生體會(huì)列方程解題的優(yōu)越性，還要引導(dǎo)其感悟分別在什么情況下選擇哪種解法更簡(jiǎn)便，從而培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體情況靈活選用解題方法的能力。

【案例】在學(xué)習(xí)蘇教版五年級(jí)第一單元例8“列兩步計(jì)算方程解決實(shí)際問(wèn)題”后， “鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)”可設(shè)計(jì)這樣一道題目：

銀杏樹(shù)的棵數(shù)比楊柳樹(shù)的3倍多40棵。

（1）銀杏樹(shù)有100棵，楊柳樹(shù)有多少棵？

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)銀杏樹(shù)和楊柳樹(shù)之間的數(shù)量關(guān)系？

生：楊柳樹(shù)的棵數(shù)×3+40=銀杏樹(shù)的棵數(shù)。

① 學(xué)生獨(dú)立解題

解：設(shè)楊柳樹(shù)有X棵

3X+40=100

3X=100-40

3X=60

X=20

答：楊柳樹(shù)有20棵。

② 全班交流解法及依據(jù)（略）

師：是不是所有的應(yīng)用題都適合列方程解決呢？（出示下一問(wèn)）

（2）楊柳樹(shù)有20棵，銀杏樹(shù)有多少棵？（用你認(rèn)為簡(jiǎn)單的方法做）。

① 獨(dú)立解題

② 反饋學(xué)生答案：

生1： 解：設(shè)銀杏樹(shù)有X棵

X-40=20×3

生2： 解：設(shè)銀杏樹(shù)有X棵

X-20×3=40

生3： 20×3+40=100（棵）

③ 比較一：

師：這一問(wèn)用方程簡(jiǎn)單還是用算術(shù)方法簡(jiǎn)單？為什么？

生：用算術(shù)方法簡(jiǎn)單，因?yàn)闂盍鴺?shù)的棵數(shù)知道了，順著數(shù)量關(guān)系式，可以直接求出銀杏樹(shù)的棵數(shù)。

④ 比較二：

師：（1）（2）這兩題為什么一個(gè)適合用方程，一個(gè)適合用算術(shù)？是不是所有的應(yīng)用題都適合列方程解決呢？

生：第（1）題楊柳樹(shù)的棵數(shù)不知道，我們用未知數(shù)X代替，根據(jù)數(shù)量關(guān)系：楊柳樹(shù)的棵數(shù)×3+40=銀杏樹(shù)的棵數(shù)，可以很順暢地列出方程，思考起來(lái)比較方便。第（2）題楊柳樹(shù)的棵數(shù)知道了，順著數(shù)量關(guān)系式，可以直接求出銀杏樹(shù)的棵數(shù)。

總結(jié)提升：我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，要順著數(shù)量關(guān)系，具體題目具體分析，靈活選擇方法。

【分析】在鞏固列方程解題的練習(xí)中，筆者有意設(shè)計(jì)了第（2）問(wèn)，讓學(xué)生自己嘗試用算術(shù)方法或方程方法來(lái)解，通過(guò)比較逐步分清兩種解法的思路有什么不同，并能根據(jù)題目不同特點(diǎn)，靈活選擇解法。一般來(lái)說(shuō)，順向思維的題目宜用算術(shù)方法；逆向思維的題目宜用方程方法。當(dāng)然，要讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)這些不是一蹴而就的，也并非一個(gè)單元的教學(xué)就能形成。教師不宜操之過(guò)急，應(yīng)當(dāng)作為長(zhǎng)期目標(biāo)有意識(shí)地滲透在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，畢竟方程思想的建立是一個(gè)長(zhǎng)期的、不斷深化的過(guò)程，學(xué)生也需要一個(gè)慢慢領(lǐng)悟的過(guò)程。

新版教材中將原來(lái)用分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題改成用方程解決，其意圖不言而喻。教材更多地引導(dǎo)學(xué)生順向思考，按事情發(fā)展的順序陳述數(shù)量關(guān)系，從單一的數(shù)量關(guān)系到復(fù)合的數(shù)量關(guān)系，突出了分析過(guò)程，強(qiáng)化了建模的要求，揭示了方程思路的優(yōu)越性。對(duì)五年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，解應(yīng)用題習(xí)慣了用算術(shù)方法，若要突然地插入改變這種習(xí)慣的新方法——方程，必須讓他們感受到這種新方法的優(yōu)越性。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，滲透代數(shù)模型的思想，用建模的方式指導(dǎo)列方程解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從解題走向建模至關(guān)重要。

（組稿：韋波富 編輯：胡 璐）