文︳張新春

皮亞諾公理體系下的自然數(shù)運(yùn)算（一）

文︳張新春

現(xiàn)在，在皮亞諾公理體系下，盡管已經(jīng)有了自然數(shù)系，但自然數(shù)系還非常簡(jiǎn)單。我們要利用皮亞諾公理體系建立起更復(fù)雜的概念和運(yùn)算。再一次提醒讀者朋友，請(qǐng)你把你現(xiàn)在所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘記，只記住自然數(shù)和皮亞諾五公理。我們要在此基礎(chǔ)上一步步把運(yùn)算及相應(yīng)的運(yùn)算定律定義推導(dǎo)出來，你將會(huì)看到數(shù)學(xué)是如何展開的，數(shù)學(xué)家是如何利用最簡(jiǎn)單、最樸素的定義與公理得到越來越豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)出數(shù)學(xué)的參天大樹的。

1.加法

我們現(xiàn)在要來定義“一個(gè)自然數(shù)（比如m）加上另一個(gè)自然數(shù)（比如n）”是什么意思。

我們的辦法非常簡(jiǎn)單，比如3+5，我們說3+5得到一個(gè)自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)就是2+5所得到的自然數(shù)的后面那個(gè)——即（2+5）的后繼。但馬上出現(xiàn)一個(gè)問題：2+5又是什么意思呢？因?yàn)橹挥兄懒?+5是什么意思，才能確定（2+5）的后繼。我們說2+5是（1+5）的后繼，而1+5呢？我們說是（0+5）的后繼，那0+5呢？至此我們已經(jīng)無路可退，于是我們就規(guī)定0+5=5。這樣一來，1+5是（0+5）的后繼，也就是5的后繼，是6；2+5就是6的后繼，是7；3+5是7的后繼，是8……

正式一點(diǎn)，我們可以這樣寫：

定義（自然數(shù)加法）：設(shè)m是自然數(shù)，定義0+ m=m。若已經(jīng)定義好了n+m，則（n+）+m=（n+m）+。

這個(gè)定義所采用的方法即是數(shù)學(xué)歸納法。這里的m是任意的。對(duì)任意的m，我們要規(guī)定所有的自然數(shù)與m相加的意義，若做到了這一點(diǎn)，那么任意的兩個(gè)自然數(shù)相加的意義就都規(guī)定了。但自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，我們?nèi)绾文茏龅揭灰灰?guī)定這無限多個(gè)自然數(shù)與m相加的意義呢？這里，就要用到皮亞諾公理5，即數(shù)學(xué)歸納法原理了。為了規(guī)定所有自然數(shù)與m相加的意義，根據(jù)皮亞諾公理5，我們只要做兩件事：

第一件，規(guī)定0+m的意義，這個(gè)我們已經(jīng)做了，我們規(guī)定了0+m=m。

第二件，假定已經(jīng)有了n+m的意義，再在此基礎(chǔ)上說明（n+）+m的意義（n+是n的后繼，到現(xiàn)在，+有了兩個(gè)意義：寫在兩個(gè)自然數(shù)之間，表示加；寫在一個(gè)自然數(shù)后面，表示這個(gè)自然數(shù)的后繼，通常不會(huì)引起混淆）。上述定義已經(jīng)做好了這一工作，即規(guī)定（n+）+m=（n+m）+，簡(jiǎn)單地說，即是“后繼的和等于和的后繼”。

根據(jù)上面的定義，0+m還是m，1是0的后繼，即0+，所以1+m就是（0+）+m，而（0+）+m=（0+m）+= m+，于是1+m有了定義。而2是1的后繼，這樣，2+m就是（1+m）的后繼，如此下去，所有自然數(shù)加上m都有了定義。而m是任意的，于是任意兩個(gè)自然數(shù)相加都有了定義。比如愛迪生問過的2+2，我們知道2是1的后繼，即2=1+，于是根據(jù)自然數(shù)加法的定義，2+2=（1+）+2=（1+2）+；而1是0的后繼，根據(jù)定義，1+2=（0+）+2=（0+2）+；而0+2=2，于是2+2=（2+）+，2+是3，3+是4，所以2+2=4。

簡(jiǎn)單地說，加法是這樣定義的：0加一個(gè)數(shù)得它自己；1加一個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)的后繼數(shù)，即這個(gè)數(shù)后面那個(gè)數(shù)；2加一個(gè)數(shù)是1加這個(gè)數(shù)的后繼數(shù)，也就是這個(gè)數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)，即它后面第二個(gè)數(shù)。類似地，3加一個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)，也就是這個(gè)數(shù)后面的第三個(gè)數(shù)……或者說，加法就是重復(fù)的后繼。我們教一年級(jí)學(xué)生做加法時(shí)，有一種方法就是按這個(gè)定義做的：比如3+5，把5記在心里，往后數(shù)到第3個(gè)數(shù)：6、7、8，于是3+5=8。

以下一段的討論主要解決一個(gè)問題，證明加法滿足交換律。即證明：

加法交換律：對(duì)于任意的自然數(shù)a和b，有a+b=b+a。

我們將利用皮亞諾公理5，用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。為此，我們把加法交換律理解為對(duì)任意的自然數(shù)b，以下的一系列命題均成立（用數(shù)學(xué)的行話是：固定b，對(duì)a作歸納）：

0+b=b+0，

1+b=b+1，

2+b=b+2，

3+b=b+3，

……

為了證明這無限多個(gè)命題均成立，按數(shù)學(xué)歸納法原理，我們要完成以下兩項(xiàng)工作：

一、證明這些命題中的第一個(gè)成立。

二、再證明：若這些命題中的某一個(gè)成立，比如k+b=b+k成立，那么這個(gè)命題的下一個(gè)命題也成立，即有（k+）+b=b+（k+）（這里的k+指k的后繼數(shù)）。

我們依次完成這兩項(xiàng)工作，首先做第一件事。

證明：對(duì)于任何自然數(shù)n，有n+0=0+n。

我們定義了0+n=n，所以要證明n+0=0+n，只要證明n+0=n。

要證明對(duì)于任何自然數(shù)n，有n+0=n，事實(shí)上就是要證明以下一系列命題：

0+0=0，

1+0=1，

2+0=2，

3+0=3，

……

上述第一個(gè)命題（即0+0=0）顯然是成立的，因?yàn)檫@就是加法的定義——對(duì)任何m，0+m=m，只要讓m取0就行了。

若上述中的某一個(gè)命題成立，比如k+0=k成立，我們來看看它的下一個(gè)命題，即（k+）+0=k+是否成立。

根據(jù)定義：（k+）+0=（k+0）+，而k+0=k成立，所以（k+）+0=（k+0）+=k+。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)于任意的自然數(shù)n，有n+0=n，從而n+0=0+n。

接下來做第二件事，即

在k+b=b+k成立的假設(shè)下，證明（k+）+b=b+（k+）也成立。

根據(jù)加法的定義，（k+）+b=（k+b）+。根據(jù)歸納假設(shè)，k+b=b+k，于是（k+）+b=（k+b）+=（b+k）+，于是只要證明（b+k）+=b+（k+）就行了。

為此，再次利用數(shù)學(xué)歸納法：固定k，對(duì)b作歸納法。

當(dāng)b=0時(shí)，（0+k）+=k+=0+（k+）。

若（b+k）+=b+（k+），則

（（b+）+k）+

=（（b+k）+）+……（根據(jù)加法的定義（b+）+k

=（b+k）+）

=（b+（k+））+……（根據(jù)歸納假設(shè)：（b+k）+=b+

（k+））

=（b+）+（k+）……（再次根據(jù)加法的定義）

這樣，我們就完成了加法交換律的證明。

類似地，我們還可以證明加法的結(jié)合律：

加法結(jié)合律：對(duì)于任意的自然數(shù)a，b和c，有（a+b）+c=a+（b+c）。

為了完成這個(gè)證明，只需固定其中的兩個(gè)元，對(duì)第三個(gè)元作歸納法。我們把這個(gè)詳細(xì)證明留給感興趣的讀者。

當(dāng)我們知道加法滿足交換律與結(jié)合律后，我們可以證明，對(duì)于任意有限多個(gè)數(shù)相加，可以任意選擇相加的順序，和不變。

數(shù)學(xué)教育的真功夫是對(duì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的把握，唯此才能成就好的數(shù)學(xué)課堂。湖南數(shù)學(xué)教師的老朋友，《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號(hào)“與數(shù)學(xué)老師談心”，請(qǐng)關(guān)注。