徐 妍

大多數(shù)教過“乘法交換律”的老師都有這樣的感覺，這內(nèi)容太簡單了！是的，如果只停留在知識層面，進(jìn)行“就事論事”式的淺表性教學(xué)，于學(xué)生而言，除了知識的疊加外，沒多少“獲得感”。但若走進(jìn)教材深處，悉心研究交換律所處的知識結(jié)構(gòu)及其思想內(nèi)核，悉心琢磨兒童的學(xué)習(xí)心理，完全可以構(gòu)筑一道妙可不言的課堂風(fēng)景。

“近水樓臺先得月”，作為同事，筆者有幸聆聽了著名特級教師周衛(wèi)東老師的常態(tài)課——《乘法交換律》，從中獲益良多。

【教學(xué)過程】

一、喚醒舊知

師：同學(xué)們，回憶一下，對之前學(xué)習(xí)的加法交換律以及研究的過程，你有哪些認(rèn)識呢？

生：交換兩個加數(shù)的位置，和不變；可以用字母式a+b=b+a 來表示；可以用舉例子、講故事、畫圖、說意義等方法加以說明。

師：真好！看來過去的知識和方法已經(jīng)深深地扎根在你們的腦海中了！

二、研究新知

1.積累經(jīng)驗。

師：這節(jié)課我們來研究乘法的交換律，知道乘法交換律嗎？看來大部分同學(xué)對乘法交換律都有所了解，有的可能已經(jīng)達(dá)到理解的水平了！拿出你的《學(xué)習(xí)單（一）》，舉幾個你心目中乘法交換律的例子，每人寫兩個。

師：誰愿意把自己舉的例子寫在黑板上？

生：3×4=4×3、129×36=36×129、17×46=46×17、21×4=4×21。

2.多維驗證。

師：這些都是你心目中的乘法交換律嗎？

師：我們心目中的乘法交換律一定合理嗎？有什么辦法能進(jìn)一步解釋和說明呢？拿出你的《學(xué)習(xí)單（二）》。想一想，能不能用你喜歡的方式來解釋和說明你心目中的乘法交換律是合理的？寫好的同學(xué)在小組交流你的想法。

生：我的方法是算得數(shù)，9×8=72，8×9=72，所以9×8=8×9。

師：真好，算得數(shù)可以快速地進(jìn)行判斷。

生：我是用畫圖的方法。（如圖1）正過來看，表示8 個6，旋轉(zhuǎn)一下，可以看到6 個8，而格子的總數(shù)是不變的，所以6×8=8×6。

生：我畫的是點子圖，我表示了3×4=4×3。（如圖2）

圖1

圖2

師：畫圖可以形象地幫助我們理解其中的道理。

生：我通過乘法的意義來說明。我們可以把乘法還原成加法，再適當(dāng)?shù)馗淖円幌?，就可以看出左右兩邊完全相等。（如圖3、4）

圖3

圖4

師：當(dāng)我們把知識還原到它原本的面目時，就會有高于一般水平的發(fā)現(xiàn)，掌聲響起！

生：我還可以通過積不變的規(guī)律來解釋，兩個乘數(shù)，一個乘數(shù)乘一個數(shù)，另一個除以同一個數(shù)，也能得到這個結(jié)果。（如圖5）

圖5

師：你這個方法老師也沒想到，我向你學(xué)習(xí)！

3.總結(jié)概括。

師：剛才通過算結(jié)果、舉例子、畫圖、說意義等多種方法，從不同層面說明了乘法交換律是合理的?，F(xiàn)在再來看看黑板上的這些例子，能用數(shù)學(xué)的語言概括一下什么是乘法交換律嗎？

生：交換兩個乘數(shù)的位置，積不變。

師：用字母的式子怎么表示？

生：a×b=b×a。

4.溝通聯(lián)系。

師：仔細(xì)回憶一下，你在什么地方遇到過乘法的交換律呢？

生：乘法的驗算，交換兩個乘數(shù)的位置再算一遍，積不變；算長方形面積的時候，長乘寬和寬乘長；一句乘法口訣，可以寫出兩道相關(guān)乘法算式。

5.反饋內(nèi)化。

師：下面咱們來小試牛刀，快速填一填。

師：通過完成上面的試一試，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：乘法交換律中的a 可能是一個整體；乘法交換律可能是多個數(shù)的交換；運用乘法交換律可以讓計算變得更簡便。

三、拓展延伸

師：在四則運算中，我們研究過了加法和乘法的交換律。你預(yù)測一下，我們還需要研究什么？

生：除法、減法。

師：是呀，四則運算中，減法和除法有沒有交換律呢？打開《學(xué)習(xí)單（三）》，自己研究研究。

生：4-3 不等于3-4；6÷3 不等于3÷6。

師：舉一個反例就說明了減法、除法沒有交換律？

生：是的，反例一個就夠。

師：是呀，同學(xué)們，要證明我們的猜想是存在的，舉例要豐富、舉證要充分、方法要多樣，要證明它是不存在的，其實只要找到一個反例就夠了。

師：回顧今天我們研究了什么數(shù)學(xué)知識？（總結(jié)交換律，形成板書）

【教學(xué)賞析】

周老師的課立意高、空間大，無論對上課的學(xué)生還是聽課的教師都是一種享受。悉心琢磨這節(jié)《乘法交換律》，如下兩點給我特別深刻的感受。

一、預(yù)設(shè)大空間，多維度分享，促思維爬坡

“乘法交換律”的教學(xué)大多基于教材中的一兩個例子，對比共同特征后就總結(jié)出最后的結(jié)論。這樣的教學(xué)，教師牽著學(xué)生“小步子慢慢走”，教師不放心，學(xué)生很小心，課堂亦步亦趨，了無生氣。而周老師的這節(jié)課，圍繞“我們心目中的乘法交換律就一定合理嗎？有什么辦法能進(jìn)一步解釋和說明呢？能不能用你喜歡的方式來解釋和說明你心目中的乘法交換律是合理的？”這樣的核心問題，驅(qū)動學(xué)生發(fā)散思維。有的從最簡單的算得數(shù)入手，既有口算，也有學(xué)生想到豎式計算中的驗算，都是通過計算的方法說明交換兩個乘數(shù)的位置積不變。“數(shù)形結(jié)合百般好”，有的學(xué)生通過畫方塊圖或者點子圖來說明，讓學(xué)生感受觀察的角度不同，但結(jié)果都是一樣的。同樣是畫圖，我們卻看到了學(xué)生的不同解讀，每2 個一圈，有3 個圈，這是3 個2；每3 個一圈，有2 個圈，這是2 個3，怎么就相等了呢？只要稍稍變化一下，就能更加清晰地看到3 個2 等于2 個3。在最后的分享中，巧妙地歸結(jié)到其實乘法交換律的上位知識就是“幾個幾是多少”（乘法的意義）。如上教學(xué)環(huán)節(jié)，不僅從不同的角度幫助學(xué)生理解和認(rèn)識問題，創(chuàng)造性的解決問題，而且還滲透了數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想，形成了一定的符號意識和模型意識等數(shù)學(xué)意識。

二、褒有大視野，整體性建構(gòu)，助結(jié)構(gòu)優(yōu)化

注重內(nèi)容體系的建構(gòu)。研究了加法和乘法的交換律，自然引出研究其他四則運算中是否也存在交換律，這正是深度理解、整體建構(gòu)知識并進(jìn)而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)的具體體現(xiàn)。對于減法和除法的交換律，大部分學(xué)生會有清晰的直覺，認(rèn)為不存在，在接下來的自我驗證的過程中，讓學(xué)生形成一定的科學(xué)研究常識：要說明一個命題是偽命題，只需要一個反例就夠了，而要說明一個規(guī)律存在，舉例要豐富、舉證要充分、方法要多樣。從加法交換律引入，探究乘法交換律，再類推到其他運算中是否有交換律，這樣，知識之間形成了一個相對完整與合理的知識網(wǎng)絡(luò)。如此立意，從內(nèi)容的縱深維度遷移到內(nèi)容的寬窄維度，推及到思想的高低維度，讓我們盡情領(lǐng)略到高觀點視野下數(shù)學(xué)課堂的美麗風(fēng)景。

注重方法體系的建構(gòu)。加法交換律及其學(xué)習(xí)過程對乘法交換律的學(xué)習(xí)具有一定的遷移與定型作用。周老師深諳其理。課堂伊始，通過對加法交換律的回憶，喚醒加法交換律的意義和研究過程?！爸莱朔ń粨Q律嗎？”看似不經(jīng)意的提問，實則是在喚醒全班學(xué)生對已有交換律的認(rèn)識。隨后，讓學(xué)生舉例子，展示出學(xué)生心目中乘法交換律的“樣子”，再用自己喜歡的方法解釋、說明自己心目中的“乘法交換律”。此過程，尊重已知、重視多元，強化示范、深度卷入，從“感覺”到“認(rèn)識”再到“理解”，讓每位學(xué)生的想法和智慧都得到尊重，得以利用。在這樣的課堂上，學(xué)生的學(xué)習(xí)拾級而上、逐步建構(gòu)，像“呼吸”一樣自由；在這樣的課堂上，大問題驅(qū)動，學(xué)生的思維在“爬坡”、思想在“登頂”，深度體驗和創(chuàng)新意識同步提升。