姜立剛

（樂山師范學(xué)院，四川 樂山 614000）

當(dāng)《道德經(jīng)》與數(shù)學(xué)相遇
——論“道”的三大數(shù)學(xué)意蘊(yùn)

姜立剛

（樂山師范學(xué)院，四川 樂山 614000）

“道”作為《道德經(jīng)》的核心，是老子哲學(xué)體系的最高范疇。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，抽象性是其根本特征。當(dāng)《道德經(jīng)》與數(shù)學(xué)相遇，用“道”的思想來闡述數(shù)學(xué)知識與思想特性，具有深刻意義。本文從“道”與集合、“道”與0、“道”與點(diǎn)三個角度來闡釋“道”的哲學(xué)思想與數(shù)學(xué)的相輝相應(yīng)。

道德經(jīng)；數(shù)學(xué)；道

余秋雨說:“西方有人曾經(jīng)說過，世界上的哲學(xué)都是用德文寫的。有了老子，我們可以說一句，處于巔峰上的那種哲學(xué)，是用中文寫的。”迄今為止，老子的《道德經(jīng)》，已有數(shù)千年歷史，《道德經(jīng)》外文譯本已有近500種，涉及30多種語言，不僅對我國的思想文化產(chǎn)生了深刻而久遠(yuǎn)的影響，在世界范圍內(nèi)也有著重要影響。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，往往被我們認(rèn)為是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，其以高度的抽象性為顯著特征。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)研究中的精髓所在。20世紀(jì)初，在經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)”后，數(shù)學(xué)家們才意識到：追問“數(shù)”是什么、“點(diǎn)”是什么并不屬于數(shù)學(xué)討論的范圍，而是一種沒有實(shí)際意義的“形而上學(xué)”問題。盡管當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為這樣的“形而上學(xué)”式的討論毫無意義，但卻將數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系追問提升到了新的高度，再次證明數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思維之間的相通、相融與相映?！皵?shù)學(xué)與哲學(xué)……就是兩個難以截然劃分的學(xué)科。它們或互為表里，或互相包容，渾然一體，都具有高度的抽象性和很大的普遍性”。因此，本文的討論正是基于這樣一種前提，在前人對數(shù)學(xué)進(jìn)行哲學(xué)思考的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)中的集合、0與點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)一步探討《道德經(jīng)》與數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)思想的相通與相映。

一、“道”與集合

《道德經(jīng)》開篇第一章《大道無?！芳凑劦剑骸暗揽傻溃浅５?；名可名，非常名。”意思就是，凡可道出之道，就不是真正的“道”；凡可命名之名，就不是真正的“名”。那么，究竟何謂“道”？《韓非子·解老》中這樣闡述，“道者，萬物之所然也。萬理之所稽也。理者成物之文也。道者萬物之所以成也。故曰道，理之者也?！边@里指出，“道”是世間萬物生成的根本所然，“理”則是世間萬物的外在形式。而《易經(jīng)》則認(rèn)為，“一陰一陽謂之道”，“陰陽”是孕育天地萬物之本源，故“道”乃“陰陽”之上位。因此，“道”，用以代表宇宙的本源和宇宙之間的普遍規(guī)律。何謂“名”？一般認(rèn)為，人對事物的認(rèn)識，最先源自于對各種事物命名的過程。列維-斯特勞斯曾指出，“這些北部澳大利亞人用一個認(rèn)識說明事物的起源……在萬物之始，瓦維拉克姐妹動身向海邊走去，一邊走一邊給土地、動物和植物命名。”世界各地、各民族早期的神化傳說中有大量這樣的記載。

因此，我們可以說，“名”是“道”的存在形式。道，既是“眾妙之門”，又可衍化于世間萬事萬物之中。“道”，既生萬物，又為萬物所循，無蹤無形，而又無處不在。根據(jù)亞里士多德的定義，哲學(xué)是“研究存在者之為存在者的科學(xué)”。所謂存在者，就是“存在”的具有，是“存在”存在的承載體。“存在”存在著，或以某種形式存在，或是某種形式的存在，即為存在者。簡單來說，“存在”相對于存在者來說，是更為高層更為抽象的“普適一般”，而存在者則相對“具體”。我們可以認(rèn)為，“道”相對于“名”來說，就是存在與存在者的關(guān)系，“名”僅作為道的一種存在形態(tài)而存在，“道”是“名”遵循的最高原理與規(guī)則。

“如果存在不是存在者的無蔽，而是純粹的多、無序的多，就是非物/虛無，那么通往存在的道路就不可能是詩，而只能是數(shù)學(xué)?！喜拍軒椭覀兊诌_(dá)存在?！奔显跀?shù)學(xué)中是不能邏輯定義的原始概念。對于集合，我們做出如下約定：一些對象的匯合是一個集合。集合內(nèi)的對象是各不相同的。一個對象要么屬于它，要么不屬于它，二者居其一且必居其一。每個集合的集合仍然是一個集合。存在空集（也就是沒有元素的集合）。集合的存在，關(guān)鍵在于集合內(nèi)部元素之間關(guān)系的抽象。世界中萬事萬物種類繁多，形態(tài)多樣。集合通過對具體事物的抽象，就可以構(gòu)成一個相對獨(dú)立的集合體。例如，在生活中有很多水果，蘋果、梨、香蕉、桔子……等等，數(shù)學(xué)通過思維的抽象，使這些具體的事物可以抽象成一個整體“水果”，即構(gòu)成了一個集合。同理，在“水果”這個集合的基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)一步對事物的具體特性進(jìn)行抽象，就可以形成“果實(shí)”的集合。這樣來看，“水果”這個集合就成為“果實(shí)”的一個元素，反映了人們思維的逐層抽象的過程。以此類推，數(shù)學(xué)利用思維的特性，逐漸打破現(xiàn)實(shí)事物的自然邊界，世間萬事萬物逐漸成為一個整體，即“宇宙”的集合，甚至“宇宙”也可以作為另外一個更為高深寬廣的集合元素存在。……凡是數(shù)學(xué)能夠抽象的存在，都可以將其劃歸到集合領(lǐng)域。這時，“集合”就成為能夠反映人類思維的存在，或者說成“存在者”更為貼切一些。正如《道德經(jīng)》所說，“吾不知其名，強(qiáng)字之曰道，強(qiáng)為之名曰大?！币虼?，“道”，作為存在，是世間萬物最普遍最抽象的特性?！懊钡倪^程是對具體事物抽絲剝繭、逐步抽象的過程，“名”是“道”存在的存在者。

綜合以上分析，“道可道，非常道”中的“常道”是一種基于抽象的基礎(chǔ)上形成的“普適”存在。數(shù)學(xué)中“集合”的生成，正是基于一次又一次的“剔除具性，抽取共性”才得以形成的存在。因此，《道德經(jīng)》的“道”與數(shù)學(xué)中的“集合”在其“層層抽象”的意義上不謀而合。

二、“道”與 0

0就是無，無即為0。0，作為一個思維的產(chǎn)物，看似卑微，毫不起眼，但它的發(fā)明和應(yīng)用，早已被世界公認(rèn)為具有劃時代意義的里程碑。如若沒有了0，我們就無法進(jìn)行大數(shù)的記載與拓展；如若沒有了0，我們的位值制記數(shù)法就無從談起……可以說，0的產(chǎn)生，不論是對于數(shù)學(xué)，還是對于其他學(xué)科的發(fā)展，都有著舉足輕重的意義。0是一種“無”的存在，“無”是0存在的最初價值。然而，“零是任何一個確定的量的否定，所以不是沒有內(nèi)容的。相反，零具有非常確定的內(nèi)容。”0的產(chǎn)生，就源自于對“無”與“有”的關(guān)系追尋。

空集公理是集合論中的第二個公理，“存在一個沒有任何元素的集合，即為空集”?？占且磺蟹强占系恼孀蛹??？占碓跀?shù)學(xué)中具有獨(dú)特的作用，尤其在自然數(shù)的產(chǎn)生中，它恰好可以證明“空”，亦即“無”，是一切自然數(shù)產(chǎn)生的前提。數(shù)學(xué)家馮·諾依曼用集合的語言，“集合組成的集合”和存在空集這兩個約定，簡約、清晰、準(zhǔn)確地建構(gòu)了自然數(shù)體系。具體表示如下：

0=?（空集）

1={0}={?}

2={0,1}={?,{?}}

3={0,1,2}={?,{?},{?,{?}}}

4={0,1,2,3}={?,{?},{?,{?}},{?,{?},{?,{?}}}}

……

n={0,1,2,3,…,n-1}

依照這樣的序數(shù)構(gòu)造理論，自然數(shù)就一個一個地?zé)o限產(chǎn)生，構(gòu)成了自然數(shù)體系。《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”的思想與馮·諾依曼的序數(shù)構(gòu)造理論完美契合?！暗郎弧保瑢?shí)現(xiàn)了“無生有”，即 0到1；1添 1，即為 2；再添 1，即為 3，如此等等，就構(gòu)成了以“無限”為屬性的自然數(shù)體系。真正的無限是事情本性的無限，這種無限正是無限本身，黑格爾稱之為絕對精神，印度哲學(xué)稱之為梵、真、如，中國哲學(xué)稱之為道，古希臘哲學(xué)稱之為邏各斯，基督教則稱之為上帝，唯物主義稱之為物質(zhì)本源，名異而實(shí)同。在任何一種有限之中都達(dá)到了自己的存在，因此任何有限都是無限本身存在之有限，也就是以如此特定的方式存在的無限本身，而這也就是現(xiàn)代全息論所解釋出來的一切即一，一即一切的無限的真諦所在。正如，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克所說：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余都是人為的”。而在這里，我們則認(rèn)為是“道”創(chuàng)造了自然數(shù)?！暗揽傻?，非常道”，道德經(jīng)中的“道”，即可理解為無窮，亦即永恒。正是“道”這種無限，不斷地衍生分化出一個又一個的“有限”，無限的“有限”又可透出的無限的“道”之真諦。同理，“數(shù)可數(shù)，非常數(shù)”，如果一個數(shù)可以數(shù)出來，就不是無窮的數(shù)。0看似“無”，卻在“無”的基礎(chǔ)上不斷衍生分化出一個又一個的“有”之?dāng)?shù)，無限的“有”之?dāng)?shù)，又內(nèi)隱了無限之含蘊(yùn)。因此，從這個意義上講，“道”與0是相通相融的。

三、“道”與點(diǎn)

在數(shù)學(xué)中，我們把不可定義的概念，稱之為原始概念。在嚴(yán)密的希爾伯特幾何體系中，點(diǎn)、線、面等都是不可定義的概念。因此，“點(diǎn)”在數(shù)學(xué)中是作為原始概念存在的，無法對其進(jìn)行規(guī)定性的描述，是無需界定的概念?！稁缀卧尽分兄赋觯包c(diǎn)是沒有部分的”。“點(diǎn)”作為空間形式的最小單元，是一個無結(jié)構(gòu)、無大小、無維數(shù)的存在。然而，“點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體，”這是為我們所熟知的數(shù)學(xué)規(guī)律。在數(shù)學(xué)中，由于圖形的運(yùn)動，空間形式的世界才會變得紛繁復(fù)雜。數(shù)學(xué)中紛繁復(fù)雜的空間構(gòu)成，追根溯源，源自于“點(diǎn)”。而“點(diǎn)”卻是一個無結(jié)構(gòu)、無大小、不可分割、不可測量的存在，這就是《道德經(jīng)》中的“無”，即所謂的“無名天地之始”?！盁o”可生“有”，“有”生萬物，“有”中蘊(yùn)含“無之根本”，即為“道”?！包c(diǎn)”可生“線”，“線”可生“面”，“面”可成“體”。在這個意義上，“點(diǎn)”即為“無”，“點(diǎn)”生“線”?！熬€”是只有長度而沒有寬度的存在；“面”是只有長度和寬度的存在；“體”是有長、寬、高的存在……正如畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，“從點(diǎn)產(chǎn)生出線；從線產(chǎn)生出平面；從平面產(chǎn)生出立體；從立體產(chǎn)生出感覺所及的一切物體?！?/p>

“點(diǎn)”，既是沒有維數(shù)的空間，又可存在于任何維數(shù)的空間，同時，任何維數(shù)的空間在系統(tǒng)研究中都可以抽象為一個點(diǎn)。所以，“點(diǎn)”是“無”與“有”的統(tǒng)一。因此，《道德經(jīng)》中的“道”與空間形式的“點(diǎn)”是緊密相通的，老子以“道”為“無”構(gòu)建了其意蘊(yùn)深厚的哲學(xué)體系，數(shù)學(xué)以“點(diǎn)”為“無”構(gòu)建了數(shù)學(xué)紛繁復(fù)雜的空間形式體系。

總之，“道”作為《道德經(jīng)》的核心，并不是現(xiàn)實(shí)中的不存在，而是哲學(xué)思維里的一種最高存在，其無蹤無形，且為萬事萬物所循。對“道”的理解，其可以是“本源”、根本或最高法則，也可以是“無”、無限或永恒，還可以是“歷經(jīng)層層抽象”的存在?！兜赖陆?jīng)》在對“道”的內(nèi)蘊(yùn)探討中，讓我們看到了老子思想中“道”的博大精深。數(shù)學(xué)作為思維的科學(xué)，其以最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问较蛭覀冋宫F(xiàn)人類思維的各種可能性。因此，在數(shù)學(xué)中尋找《道德經(jīng)》中“道”的體現(xiàn)，用“道”來理解數(shù)學(xué)思維的特性，讓數(shù)學(xué)與哲學(xué)相輝相應(yīng)，頗有研究意義。

［1］韓非.道德經(jīng)全解［M］.北京：中國華僑出版社，2015.

［2］張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究［M］.北京：高等教育出版社，2009.

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1008-8431（2017）06-0069-03

2017-10-15

姜立剛(1982-)，女，樂山師范學(xué)院講師、博士。

（責(zé)編：許淑賢）