王朝珍

在每一份中考試題中，考查函數(shù)有關(guān)知識的試題都占有相當(dāng)大的比例，下面以2016年中考題為例，對中考函數(shù)解答題中的?？嫉湫皖}加以分析，歸納出重要考點(diǎn)，展示解題過程中的得分點(diǎn)，希望同學(xué)們能掌握函數(shù)中的重要考點(diǎn)，學(xué)會踩點(diǎn)得分，進(jìn)而提高中考成績.

例1 （2016·江蘇泰州，10分）如圖1，點(diǎn)A（m，4），B（-4，n）在反比例函數(shù)y=[kx]（k>0）的圖像上，經(jīng)過點(diǎn)A、B的直線與x軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D.

（1）若m=2，求n的值；

（2）求m+n的值；

（3）連接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直線AB的函數(shù)關(guān)系式.

【考點(diǎn)】一次函數(shù)、反比例函數(shù)與三角函數(shù)等知識的綜合，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【分析】（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=[kx]求出k，得反比例函數(shù)解析式，再把B（-4，n）代入反比例函數(shù)解析式求出n；（2）利用反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到4m=k，-4n=k，兩式相減消去k可得m+n的值；（3）作AE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，則tan∠AOE=[m4]，tan∠BOF=[-n4]，代入tan∠AOD+tan∠BOC=1，再與m+n=0聯(lián)立，可求出m、n的值，從而得點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求直線AB的解析式.

解：（1）由m=2得A（2，4），把A（2，4）代入y=[kx]得k=8，反比例函數(shù)解析式為y=[8x]，（1分）

把B（-4，n）代入y=[8x]得n=-2.（3分）

（2）∵點(diǎn)A（m，4）、B（-4，n）在反比例函數(shù)y=[kx]（k>0）的圖像上，∴4m=k，-4n=k，∴4m+4n=0，即m+n=0.（6分）

（3）作AE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，在

Rt△AOE中，tan∠AOE=[AEOE]=[m4]；在Rt△BOF中，tan∠BOF=[BFOF]=[-n4].∵tan∠AOD+tan∠BOC=1，∴[m4]+[-n4]=1.而m+n=0，∴m=2，n=-2，（8分）則A（2，4），B（-4，-2）.設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，把A（2，4），B（-4，-2）代入得[2p+q=4，-4p+q=-2，]解得[p=1，q=2，]∴直線AB的解析式為y=x+2.（10分）

【點(diǎn)評】將一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合是中考中最常見的題型，解決這類問題除綜合運(yùn)用相關(guān)知識外，還要重視數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用.

例2 （2016·湖北隨州，9分）九年級（3）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數(shù)）的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價為30元/件，設(shè)該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w（單位：元）.

（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？

【考點(diǎn)】一次函數(shù)、二次函數(shù)與方程、不等式的綜合，應(yīng)用題的解法.

【分析】（1）當(dāng)1≤x≤50時，設(shè)商品的售價y與時間x滿足一次函數(shù)關(guān)系式，用待定系數(shù)法求解即可；由圖像知當(dāng)50

（2）根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分兩段考慮其最大值問題，兩個最大值作比較即可得出結(jié)論.

（3）令w≥5600得不等式，解不等式求出x的取值范圍，即可得出結(jié)論.

解：（1）當(dāng)1≤x≤50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將點(diǎn)（0，40）、（50，90）代入得[b=40，50k+b=90，]解得[k=1，b=40，]

∴y=x+40；

當(dāng)50

∴y=[x+40 1≤x≤50，且x為整數(shù)，90 50

（1分）

由表格可知每天的銷售量p與時間x可近似看作一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n，∵p=mx+n過點(diǎn)（60，80）、（30，140），

∴[60m+n=80，30m+n=140，]解得[m=-2，n=200，]

∴p=-2x+200（1≤x≤90，且x為整數(shù)）.（2分）

當(dāng)1≤x≤50時，w=（y-30）·p=（x+40-30）（-2x

+200）=-2x2+180x+2000；當(dāng)50

=[-2x2+180x+2000 1≤x≤50，且x為整數(shù)，-120x+12000 50

（4分）

（2）當(dāng)1≤x≤50時，w=-2x2+180x+2000=

-2（x-45）2+6050，∵a=-2<0且1≤x≤50，∴當(dāng)x=45時，w取最大值，最大值為6050元.（5分）

當(dāng)50

-120<0，w隨x增大而減小，∴當(dāng)x=50時w取最大值，最大值為6000元.∵6050>6000，∴當(dāng)x=45時，w最大，最大值為6050元.即銷售第45天時，當(dāng)天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元.（6分）

（3）當(dāng)1≤x≤50時，令w=-2x2+180x+2000≥5600，解得30≤x≤50，50-30+1=21（天）；當(dāng)50

綜上可知：21+3=24（天），故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元.（9分）

【點(diǎn)評】將函數(shù)與方程、不等式綜合在一起的實際問題在生活中最常見，也是中考應(yīng)用題的常見題型.解決這類問題要善于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再構(gòu)造出函數(shù)、方程、不等式模型，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式知識來尋找解題途徑.

例3 （2016·湖北咸寧，12分）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），取一點(diǎn)B（b，0），連接AB，作線段AB的垂直平分線l1，過點(diǎn)B作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點(diǎn)為P.

（1）當(dāng)b=3時，在圖3中補(bǔ)全圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）小慧多次取不同數(shù)值b，得出相應(yīng)的點(diǎn)P，并把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來，發(fā)現(xiàn)：這些點(diǎn)P竟然在一條曲線L上！

①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），試求y與x之間的關(guān)系式，并指出曲線L是哪種曲線；

②設(shè)點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為d1，d2，求d1+d2的范圍，當(dāng)d1+d2=8時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③將曲線L在直線y=2下方的部分沿直線y=2向上翻折，得到一條“W”形狀的新曲線，若直線y=kx+3與這條“W”形狀的新曲線有4個交點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍.

【考點(diǎn)】平面直角坐標(biāo)系，函數(shù)，方程，尺規(guī)作圖，勾股定理，軸對稱，最值問題.

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線、垂線的尺規(guī)作圖方法畫圖后標(biāo)出字母.（2）①分x>0和x≤0兩種情況討論：當(dāng)x>0時，如圖5，連接AP，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，可得PA=PB=y，再在Rt△APE中由勾股定理求出y與x之間的關(guān)系式；當(dāng)x≤0時，同樣求出y與x之間的關(guān)系式，即可發(fā)現(xiàn)曲線L是一條拋物線.②首先用代數(shù)式表示出d1，d2，進(jìn)而得到d1+d2，即可得到d1+d2的最小值，進(jìn)而得到d1+d2的范圍；當(dāng)d1+d2=8時，則可得到關(guān)于x的方程，分x≥0和x<0兩種情況求出方程的解并進(jìn)行檢驗，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).③數(shù)形結(jié)合，直接寫出k的取值范圍即可.

解：（1）如圖4所示.（3分，畫垂直平分線、垂線、標(biāo)出字母各1分）

（2）①當(dāng)x>0時，如圖5，連接AP，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E.∵l1垂直平分AB，∴PA=PB=y.

在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1.由勾股定理得（y-1）2+x2=y2.（5分）

整理得y=[12x2]+[12].當(dāng)x≤0時，點(diǎn)P（x，y）同樣滿足y=[12x2]+[12]，（6分）

∴曲線L就是二次函數(shù)y=[12x2]+[12]的圖像，即曲線L是一條拋物線.（7分）

②由題意可知，d1=y=[12x2]+[12]，d2=[x]，∴d1+d2=[12x2]+[12]+[x].當(dāng)x=0時，d1+d2有最小值[12]，∴d1+d2的范圍是d1+d2≥[12].（8分）

當(dāng)d1+d2=8時，則[12x2]+[12]+[x]=8.（?。┊?dāng)x≥0時，原方程化為[12x2]+[12]+x=8，解得x1=3，x2=-5（舍去）；（ⅱ）當(dāng)x<0時，原方程化為[12x2]+[12]-x=8，解得x1=-3，x2=5（舍去）.將x=±3代入y=[12x2]+[12]，得y=5，（9分）

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）或（-3，5）.（10分）

③把y=2代入y=[12x2]+[12]，得x1=[-3]，x2=[3]，∴直線y=2與拋物線y=[12x2]+[12]兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（[-3]，2）和（[3]，2）.當(dāng)直線y=kx+3過點(diǎn)（-[3]，2）時，可求得k=[33]；當(dāng)直線y=kx+3過點(diǎn)（[3]，2）時，可求得k=[-33].故當(dāng)直線y=kx+3與這條“W”形狀的新曲線有4個交點(diǎn)時，k的取值范圍是[-33]

【點(diǎn)評】本題是壓軸題，綜合考查了絕對值、一元二次方程、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、二次函數(shù)、尺規(guī)作圖、勾股定理、軸對稱——翻折、最值等知識.讀懂題目、準(zhǔn)確作圖、熟練運(yùn)用函數(shù)及其圖像的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.近幾年的中考試題中，一些題型靈活、設(shè)計新穎、富有創(chuàng)意的壓軸題層出不窮，其中一類以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為主線的題目更是成為中考壓軸大戲的主角.解決這類壓軸題的關(guān)鍵是反復(fù)認(rèn)真審題，深度挖掘題干，從顯性條件和隱含條件中尋找解題的信息.要找準(zhǔn)切入點(diǎn)，明確關(guān)鍵點(diǎn)，踩準(zhǔn)得分點(diǎn)，如本題第（1）題中“畫垂直平分線、垂線、標(biāo)出字母各1分”，很多同學(xué)會因為沒有標(biāo)出字母而失去寶貴的1分，又如第（2）①題中添輔助線應(yīng)用定理構(gòu)造所滿足的基本圖形等都是重要的得分點(diǎn).還要注意抓住不變量，巧用相似點(diǎn)，并靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和相關(guān)的結(jié)論，如第（2）①題中當(dāng)x≤0時的求解思路與x>0時相同，可以用“同理可得”來簡化解題過程，為解決后面的問題贏得寶貴的時間，再如解題過程中運(yùn)用了分類思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、極端化思想等.特別值得一提的是，在解決第（2）③題時，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與運(yùn)動變化的思想，可先畫出草圖6，將鉛筆視為一條直線，讓它經(jīng)過點(diǎn)（0，3）并進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，即可發(fā)現(xiàn)使直線y=kx+3與“W”形狀新曲線有4個交點(diǎn)的運(yùn)動范圍，通過求兩個極限位置得到k的兩個值，進(jìn)而確定出k的取值范圍.對于這類層次比較明顯的試題，還要注意答題的規(guī)范性，每完成一步都可以得分，盡管最后結(jié)論沒得到，但總得分可能已過半，就是答案不對也能得高分.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州中學(xué)）