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“極限思想”巧妙破解超越函數(shù)圖像客觀題

2017-01-09 14:46曾光
廣東教育·高中 2016年11期
關(guān)鍵詞:于正奇偶性單調(diào)

曾光

綜觀高考數(shù)學(xué)試題中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一道超越函數(shù)的圖像客觀題,難度中等,但往往令同學(xué)們感到比較頭疼.為什么呢?原因是這類題沒什么規(guī)律可循,題風(fēng)十分飄忽,不好捉摸.如2016年全國高考1卷理數(shù)第7題.題目如下:

【2016年全國卷理7】函數(shù)y=2x2-e|x|在[–2,2]的圖像大致為( )

【評(píng)析】本題的得分率較低,很容易選錯(cuò).首先,不少同學(xué)考慮用特殊值法,將x=0代入,發(fā)現(xiàn)沒有作用,繼而把x=2代入,得y=8-e2,部分同學(xué)記得e≈2.7,求得y>0,排除了A.而剩下的B,C,D就沒有什么辦法去篩選了.包括常用的函數(shù)性質(zhì)奇偶性和單調(diào)性也不起作用.很多同學(xué)這時(shí)候已經(jīng)束手無策了!這時(shí)我們可以研究一下函數(shù)的導(dǎo)數(shù),當(dāng)x>0時(shí),y′=4x-ex,由y=4x和y=ex的圖像可知有兩個(gè)交點(diǎn),即當(dāng)x>0時(shí),y有兩個(gè)極值點(diǎn),第一個(gè)介于0.5~1之間,因此選B.

實(shí)際上,超越函數(shù)的圖像客觀題看起來沒有規(guī)律,然而通過探索發(fā)現(xiàn),基本可以通過以下三步去解決:

第一. 用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性(導(dǎo)數(shù))進(jìn)行篩選.

第二. 代入特殊值進(jìn)行篩選.常代x=0和x=1.

第三. 用“極限”的思想去篩選.

注意:1.以上三步并無固定的順序,可根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活選擇先用哪一步,后用哪一步.

2. 第一和第二步是同學(xué)都較熟悉的方法,接下來重點(diǎn)幫助大家掌握第三步,即如何運(yùn)用“極限思想”去篩選,熟悉掌握后往往收到十分奇妙的效果.請看以下例題:

示例1. 函數(shù)f(x)=2x-tanx在(-,)上的圖像大致為( )

【評(píng)析】法一:奇偶性方面考慮,易知函數(shù)為奇函數(shù),從而排除B,C. 單調(diào)性方面:f′(x) =2-=2-==,當(dāng)x∈(0, ),令f′(x) >0,得x∈(0, ),因此單調(diào)遞增區(qū)間為x∈(0, ),單調(diào)遞減區(qū)間為x∈(, ),從而排除選項(xiàng)A,得到答案為D.

法二:然而當(dāng)我們用極限的思想去研究時(shí),則解決問題更為快捷:當(dāng)x 無限趨近于時(shí),tanx 趨近于正無窮大,2x趨近于π,這時(shí)f(x)=2x-tanx 趨近于負(fù)無窮大,從而排除A,B. 同理,當(dāng)x 無限趨近于-時(shí),2x 趨近于-π,tanx 趨近于負(fù)無窮大,這時(shí)f(x) =2x-tanx 趨近于正無窮大,從而排除選項(xiàng)C,答案為D.

比較以上兩種解法,用極限的方法的優(yōu)點(diǎn)是用時(shí)短、運(yùn)算量少、正確率高.

示例2. 函數(shù)y=的圖像大致為( )

【評(píng)析】用極限方法,先考慮當(dāng)x無限趨近于正無窮大時(shí),3x 趨近于正無窮大,-1≤sin(+4x)≤1,9x也趨近于正無窮大且比3x 增長得快,因此趨近于零,從而排除選項(xiàng)C. 然后考慮當(dāng)x從右邊無限趨近于零時(shí),3x趨近于1,sin(+4x)趨近于—1,9x趨近于1,因此3xsin(+4x)趨近于—1,9x-1趨近于零,因此趨近于負(fù)無窮大,從而排除選項(xiàng)A,D. 答案為B.

本題也可以通過考慮奇偶性和單調(diào)性等性質(zhì)解題,但過程較為復(fù)雜,運(yùn)算量較大,用時(shí)較長,不如用極限方法快捷簡單.請同學(xué)們動(dòng)手體會(huì)一下.

示例3. 函數(shù)f(x)=2x+sinx的部分圖像可能是( )

【評(píng)析】用極限方法,先考慮當(dāng)x無限趨近于正無窮大時(shí),2x趨近于正無窮大,-1≤sinx≤1,因此2x+sinx趨近于正無窮大,從而排除選項(xiàng)B,C. 然后考慮當(dāng)x從右邊無限趨近于零時(shí),2x趨近于零且大于零,sinx也趨近于零且大于零,因此f(x)=2x+sinx趨近于零且大于零,從而排除選項(xiàng)D,答案為A. 以上方法運(yùn)算量接近于零,用時(shí)少,優(yōu)勢十分突出.

示例4. 函數(shù)y=的圖像大致為( )

【評(píng)析】用極限方法,先把函數(shù)進(jìn)行變形:y==,然后考慮當(dāng)x無限趨近于正無窮大時(shí),e2x趨近于正無窮大,y=趨近于1,因此排除選項(xiàng)B,D. 再考慮當(dāng)x無限趨近于零,e2x趨近于1,e2x+1趨近于2,e2x-1趨近于零,因此y=趨近于無窮大. 排除選項(xiàng)C,答案為A.

【總結(jié)】1. 極限方法比傳統(tǒng)方法有明顯優(yōu)勢,同學(xué)們應(yīng)熟練掌握操作步驟,優(yōu)先考慮,可以起到節(jié)省時(shí)間和提高正確率的作用.

2. 極限方法和傳統(tǒng)方法并不沖突,而是相輔相成的關(guān)系,在解題中可以靈活選用,達(dá)到取長補(bǔ)短的目的.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)

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