新疆烏魯木齊市第四十二中學(xué) 侯學(xué)琴

對(duì)課題學(xué)習(xí)最短路徑問題的探究

新疆烏魯木齊市第四十二中學(xué) 侯學(xué)琴

最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。

本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體，開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題。

在安排這節(jié)課時(shí)始終把握一點(diǎn)：如何把問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的“兩點(diǎn)之間，線段最短”。

“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”，在如何讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體這個(gè)問題上，我采用了導(dǎo)學(xué)案的形式來引導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)。從學(xué)生熟悉的知識(shí)入手，給出如下例題：

1.如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路？你的理由是什么？

學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，很容易解決問題。給學(xué)生定好起點(diǎn)，先研究從兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)，到異側(cè)兩點(diǎn)距離和最短開始，給出第二道例題：

2.如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩村供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗(yàn)證PA+PB最短呢？

講清楚這道題后，后續(xù)的兩個(gè)探究都通過一些方法把問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)，找最短路徑，知識(shí)點(diǎn)不變，只是方法不同而已，讓兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)，找最短路徑貫穿始終成為本節(jié)課的主線，我們只是利用了軸對(duì)稱和平移這兩種方法來輔助我們完成知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

在研究從兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)，到同側(cè)兩點(diǎn)距離和最短，從學(xué)生感興趣的故事引入，介紹“將軍飲馬問題”：古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題，精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題.這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。給出探究一。

【問題探究一】如圖，牧馬人從馬棚A牽馬到河邊l飲水，然后再到帳蓬B。問：在河邊的什么地方飲水，可使所走的路徑最短？ 和學(xué)生一起分析，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。

思考：能把A、B兩點(diǎn)從直線l的同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)嗎？

這個(gè)問題的提出，學(xué)生很容易想到我們剛學(xué)完的軸對(duì)稱，利用軸對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化成上面完成的兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”找到最短路徑。

然后繼續(xù)給出思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗(yàn)證PA+PB最短呢？

檢驗(yàn)學(xué)生的預(yù)習(xí)結(jié)果，在黑板上講解如何利用三角形兩邊之和大于第三邊來證明這一結(jié)果，強(qiáng)調(diào)清楚任意取一點(diǎn)中的“任意”二字，讓學(xué)生理解任意的含義。再給出兩個(gè)變式：

【變式一】如圖，牧馬人要把馬從馬棚A牽到草地邊吃草，然后到河邊飲水，最后再回到馬棚A。

【變式二】如圖，某一天牧馬人要從馬棚A牽出馬到草地邊吃草，再到河邊飲水，最后回到帳篷B，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。

在課堂教學(xué)中，教師若能恰到好處地進(jìn)行“一題多變”，不僅可以擴(kuò)充知識(shí)容量，而且有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生有差異，教師要及時(shí)總結(jié)知識(shí)和方法，給學(xué)生形成一定的經(jīng)驗(yàn)，等一等思維慢的孩子，彌補(bǔ)這部分孩子的思維漏洞，給出如下知識(shí)總結(jié)，幫他們梳理知識(shí)：

【歸納小結(jié)】1.學(xué)了三種情況下的最短路徑問題

（1）兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)；（2）一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部；（3）兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部。

2.關(guān)鍵

作對(duì)稱點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化，從而利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決問題。

在解決探究?jī)傻貑栴}上利用了折紙，通過折疊使河的兩岸重合在一條直線上，再次把問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”找到最短路徑，上一個(gè)探究我們利用了軸對(duì)稱的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在這個(gè)探究中，學(xué)生在折紙的過程中就會(huì)自然地聯(lián)想到利用平移的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為平移橋或點(diǎn)做好鋪墊，為后續(xù)的講解提供了思路和方法，使得知識(shí)的生成自然流暢，易于理解，較好地解決了本節(jié)的難點(diǎn)。

【問題探究二】造橋選址問題中的最短路徑問題

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

【歸納總結(jié)】 在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用______等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。

給出一組拓展題鞏固所學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的思維提升和訓(xùn)練。

【拓展題——勇攀高峰】

（1）在AB上找一點(diǎn)P，使得PM+PN最小；

（2）在OB上找一點(diǎn)P，使得DP+AP最?。?/p>

（3）在MN上找一點(diǎn)P，使得AP+BP最小；

（4）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得CP+AP最小。

學(xué)生利用本節(jié)課的知識(shí)解決問題。這些圖形都是軸對(duì)稱圖形，給學(xué)生充分的討論時(shí)間，4人小組合作解決問題并相互講解，派代表到黑板上解決問題，學(xué)生討論的同時(shí)，教師在黑板上畫出圖形，學(xué)生解決完，教師作為對(duì)孩子出色表現(xiàn)和積極參與的獎(jiǎng)勵(lì)，給孩子講故事，故事的內(nèi)容是：數(shù)學(xué)家高斯18歲時(shí)，晚上照例做導(dǎo)師每天多給他布置的幾道難題。有一道題寫在小紙條上，幾個(gè)小時(shí)過去了，他還是找不到解答方法。但越是困難，他越想攻克，一直持續(xù)到天亮，終于解開了這道題。第二天，導(dǎo)師接過他的作業(yè)一看，驚呆了，激動(dòng)地說：“你知道嗎？這是一個(gè)有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)懸案！阿基米德沒有解出，牛頓沒有解出，我也正在研究它，昨天不小心把它夾在給你的作業(yè)里，你竟然……”很多年后，高斯回憶起這件事時(shí)，說：“如果導(dǎo)師告訴我那是一道兩千年沒有解開的難題，我不可能在一個(gè)晚上就把它解答出來。”孩子們，你們也正在經(jīng)歷和高斯相似的這一偉大過程，你們知道嗎，你們剛解決的這四個(gè)問題是我們中考?jí)狠S題的一部分，它們的原型是（屏幕上呈現(xiàn)出來）：

【變式一】背景為等腰三角形

如圖,已知在等腰三角形△ABC中,P是底邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),M、N分別是AB、BC的中點(diǎn),若PM+PN的最小值為2，求△ABC的周長(zhǎng)。

【變式二】背景為長(zhǎng)方形、正方形

如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA上，且D的坐標(biāo)為（1，0），P是OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則“求PD+PA和的最小值”要用到的數(shù)理依據(jù)是（ ）

A.“兩點(diǎn)之間，線段最短”

B.“軸對(duì)稱的性質(zhì)”

C.“兩點(diǎn)之間，線段最短”以及“軸對(duì)稱的性質(zhì)”

D.以上答案都不正確

在教學(xué)中教師應(yīng)該注意用好課本，讀懂、理解、吃透教材，全面掌握基礎(chǔ)知識(shí)，領(lǐng)悟和把握真正的知識(shí)體系和能力結(jié)構(gòu)。

結(jié)合重點(diǎn)內(nèi)容與概念是“雙基”教學(xué)的核心內(nèi)容，是升學(xué)考試的必考內(nèi)容，并且占的比重比較大，因此選擇例題要針對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容與概念鞏固“雙基”訓(xùn)練，提高解題能力。

選擇例題分步設(shè)問，要由淺入深，由易到難，使學(xué)生掌握新知識(shí)，提高解題能力。

注重?cái)?shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問題常用的一種方法，是學(xué)生正確理解、深刻體會(huì)知識(shí)的好方法。

開闊思路，一題多解。一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生解題的思考能力，更可以通過較少的題目復(fù)習(xí)較多的基礎(chǔ)知識(shí)，并激發(fā)學(xué)生的求知欲。

注意題目的變式和引申，抓住例題的特殊點(diǎn)，多角度，全方位探索，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。