尹立明 葉佩青 張 輝

清華大學精密超精密制造裝備與控制北京市重點實驗室，北京，100084

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基于等效運動副化及運動副退化的公差分析法

尹立明 葉佩青 張 輝

清華大學精密超精密制造裝備與控制北京市重點實驗室，北京，100084

針對公差不僅在數(shù)值上具有隨機性，其所約束的幾何特征在空間的位置姿態(tài)上也具有隨機性的特點，提出了公差約束等效運動副化及運動副退化法。等效運動副化將公差約束的幾何特征轉(zhuǎn)化為被運動副控制的幾何特征，該等效運動副本身是虛擬的具有多自由度的等效運動副，將公差約束的幾何特征轉(zhuǎn)化為被多自由度運動副控制的幾何特征，裝配體轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€無誤差的開環(huán)機械臂，考慮到因裝配工藝而產(chǎn)生的不同運動副自由度之間的相互制約的現(xiàn)象，采用運動副退化法去除冗余自由度，由此建立裝配體公差分析模型，并將裝配體公差模型分析的數(shù)值與加工裝配體的實驗檢測值進行對比。

公差分析; 等效運動副化; 運動副退化; 公差累積

0 引言

特征要素形位精度不僅受到零件本身尺寸公差與形位公差的影響，也受到參與到裝配順序、裝配環(huán)節(jié)[1]中各個零件的尺寸公差與形位公差的影響?，F(xiàn)有公差研究與公差分析主要解決兩個方面的問題，即零件層面的公差語義表述[2-3]、幾何表述和裝配層面的公差累積與影響[4-5]。特征要素所處空間位置姿態(tài)形態(tài)復雜，且具有隨機性[6]，公差設計的目的就是給出滿足產(chǎn)品功能要求的尺寸與形位誤差的可行域空間[7]，將特征要素剛體化[8-10]是目前公差研究中被廣泛接受的處理方法，那么特征要素公差范圍就轉(zhuǎn)變?yōu)閷嶋H特征要素對理想幾何體的形位偏離，這樣處理便于采用數(shù)學工具[11-12]進行分析計算，小位移旋量(small displacement torsor, SDT)理論建立了標準幾何體公差的數(shù)學模型[8]，用于分析零件特征要素公差是否滿足設計公差要求的層面，和討論零件特征要素數(shù)學模型是否符合如最大實體要求、最小實體要求等原則作用的范圍，難以應用于解決設計環(huán)節(jié)、自頂向下設計流程中的根本問題[13]。進行基于裝配順序的部件公差分析是以裝配體各零部件之間裝配順序為基礎，通過圖表法建立定位面之間公差傳遞關(guān)系[14]，進而建立線性尺寸鏈[15]或包含函數(shù)數(shù)值關(guān)系[16]的尺寸鏈求解模型進行求解，但無法體現(xiàn)公差不僅在數(shù)值上具有隨機性，而且在所約束的幾何特征在空間的位置姿態(tài)上更具有隨機性的特點。被加工零件特征要素的隨機性體現(xiàn)在數(shù)值的隨機性與位置姿態(tài)的隨機性這兩個方面，公差分析中采用最大數(shù)值求解、均方根、Monte Carlo方法[17-19]處理零部件在數(shù)值上的隨機性的特點是滿足要求的，但這不能體現(xiàn)特征要素在尺寸公差與形位公差共同約束下具有的位置姿態(tài)的隨機性問題，特別是對于裝配體公差分析而言這一點尤其重要。對于裝配體公差分析，存在兩個需要解決的問題：①位于裝配體中的特征要素的位置姿態(tài)公差模型的建立；②可以表達任一位置姿態(tài)的公差數(shù)學模型的建立。對于問題①，有研究采用坐標變換法解決公差偏離的問題，采用空間運動學求解某個特例的裝配體公差分析問題，但并沒有討論公差約束之間的相互作用關(guān)系。因此，本文提出了基于公差約束等效運動副化及等效運動副退化的方法，建立了基于SDT理論的裝配公差分析模型。對于問題②，本文討論并給出了可以表達基于6個自由度的任一位置姿態(tài)的公差數(shù)學模型，從而避免了公差分析中不失一般性的假設，數(shù)學表達式的建立也為計算機編程和分析計算提供了算法程序。

1 結(jié)構(gòu)設計與公差約束

根據(jù)功能要求設計結(jié)構(gòu)并根據(jù)經(jīng)驗初步給出公差要求，該裝配體結(jié)構(gòu)共由3個零件組成，零件結(jié)構(gòu)、尺寸要求如圖1～圖3所示，公差要求見表1～表3，裝配體結(jié)構(gòu)如圖4所示，零件結(jié)構(gòu)設計中影響到孔相對于機架定位面的公差見表4。

(a)主視圖(b)剖視圖圖1 結(jié)構(gòu)1公差及尺寸要求

(a)主視圖(b)剖視圖圖2 結(jié)構(gòu)2公差及尺寸要求

(a)底向約束示意圖(b)側(cè)向約束示意圖圖3 結(jié)構(gòu)3公差及尺寸要求

序號特征/基準公差類型公差值(mm)1面/面0．0062面/面0．0153面/面0．0064面/面0．0155面/面0．0066軸/面0．0067軸/面0．0108孔0．2179面/面0．015

表2 結(jié)構(gòu)2公差類型及公差值

表3 結(jié)構(gòu)3公差類型及公差值

圖4 裝配體結(jié)構(gòu)圖

序號特征/基準公差類型公差值(mm)1軸/面0．0102孔0．2173面/面0．0154面/面0．0065面/面0．0406面/面0．0107面/面0．0158面/面0．0069面/面0．01510面/面0．01511面/面0．01012面/面0．006

2 等效運動副化

對上述公差約束下的裝配體組裝件進行等效運動副變換，從裝配流程上分析，裝配體安裝后影響錐頂位置精度的公差共12個，因此，對裝配體運動副變換后的構(gòu)件如圖5所示，圖5a是裝配體安裝示意圖，圖5b為等效運動副的剛體結(jié)構(gòu)，圖5b中①,②,…分別表示第1、第2、第3個運動副，其中數(shù)字的順序表示運動副計算流程的順序，這里的運動副均為具有多個自由度的復合運動副，因此圖示的形狀并不代表運動副的形式。

(a)裝配體實際結(jié)構(gòu) (b)等效運動副轉(zhuǎn)化體圖5 裝配體的公差約束的等效變換

3 公差數(shù)學模型的建立

加工特征相對于理想特征產(chǎn)生的偏離可以用偏離矩陣Rot(x,θ)、Rot(y,θ)、Rot(z,θ), τxyz(x,y,z)表示，根據(jù)剛體運動學知識，空間剛體產(chǎn)生運動可以分解為繞x、y、z軸的3個轉(zhuǎn)動自由度和沿x、y、z軸的3個移動自由度。繞軸x發(fā)生偏離，偏離角度為θx，則偏離矩陣表達式為

(1)

沿x、y、z軸發(fā)生偏離，偏離位移分別為δx、δy、δz,則偏離矩陣表達式為

(2)

繞y、z軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動偏離矩陣的表達式分別為

(3)

(4)

經(jīng)過繞軸的轉(zhuǎn)動偏離和沿軸都位移偏離，剛體的變換矩陣可以表示為

Tzyx=Rot(z,θ)×Rot(y,θ)×Rot(x,θ)×

τxyz(x,y,z)

(5)

在機構(gòu)運動學中，式(5)中矩陣運算的次序是不可以更改的，因為不同次序最終將得到不同的剛體位置姿態(tài)，也就是運算次序的改變將使剛體運動發(fā)生差異，也因為加工誤差是加工允許范圍內(nèi)的各種情況，是不能窮舉的，因此，應用上述表達式對加工公差進行預測是不可取的。根據(jù)公差分析的需要，需要建立統(tǒng)一的公差表達式，統(tǒng)一表達式是公差分析環(huán)節(jié)的第一步。

泰勒級數(shù)展開式是化簡復雜等式的有力工具，函數(shù)項sinθx和cosθy展開式分別為

(6)

(7)

采用泰勒級數(shù)展開后，繞x、y、z軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動誤差偏離量Rot(x,θ)、Rot(y,θ)、Rot(z,θ)分別為

(8)

(9)

(10)

公差表達式為

(11)

A=δx-δy(θz-θxθy)+δz(θy+θxθz)

B=δxθz+δy(θxθyθz+1)-δz(θx-θyθz)

C=-δxθy+δyθx+δz

在精密機械中，公差相對于結(jié)構(gòu)尺寸是極小值，公差偏離量θx、θy、θz、δx、δy、δz均為極小值，略去式(11)中二階小量，式(11)將化簡為

(12)

交換表達式中偏離矩陣的次序得到：

Tzyx=Txzy=Tzyx=Txyz=Tyxz=Tyzx

(13)

得到的式(12)與偏離矩陣的運算次序無關(guān)，因此，式(12)是可以用于公差分析的統(tǒng)一表達式。

設計人員給出的公差設計需要滿足功能需求，ASME Y14.5-2005及GB/T1182-2008規(guī)定了幾何特征與公差類型約束關(guān)系，表5給出了基于SDT理論的幾何特征、公差類型、偏離向量相互對應的偏離向量。

表5 公差類型與偏離向量

4 等效運動副自由度及運動副退化

裝配體運動副的自由度需根據(jù)實際公差約束特征的形式確定，裝配體公差約束特征的等效運動副自由度見表6，表6中運動副自由度根據(jù)約束類型、約束特征確定。

表6 等效運動副引入的自由度

裝配過程中各定位特征所限定的自由度是存在差別的，因此，實際參與到裝配中的運動副根據(jù)裝配工藝及結(jié)構(gòu)安裝定位形式運動副將發(fā)生退化，退化后的運動副所引入的自由度將減少，根據(jù)裝配工序、工藝分析，本裝配體考慮運動副退化后的等效運動副自由度見表7。

表7 等效運動副退化后的自由度

5 偏移向量坐標變換矩陣

為了便于分析每個特征的偏離量對裝配體精度等的影響，需建立局部坐標系和全局坐標系，局部坐標系用于描述裝配環(huán)中各個特征可能的偏離程度，全局坐標系用于描述結(jié)構(gòu)體空間位置精度。全局坐標系建立在裝配體底面理論幾何中心上，局部坐標系建立在局部特征理論幾何中心上，局部坐標系的z軸正向為特征的外法線方向，根據(jù)右手定則建立。局部坐標系下的偏離向量轉(zhuǎn)換到全局坐標系下的偏離向量需經(jīng)過方向矩陣變換，建立公差偏離向量的坐標轉(zhuǎn)換矩陣，見表8，變換矩陣根據(jù)等效運動副的先后順序建立。

表8 特征局部坐標相的方位轉(zhuǎn)換矩陣

將局部坐標偏移向量轉(zhuǎn)換到全局坐標系偏移向量的變換公式是

SDTG=d{i}×SDTL

(14)

其中，d{i}即變換矩陣，全局坐標系選擇在裝配體結(jié)構(gòu)底面理論幾何中心，采用笛卡兒坐標系；SDTG代表全局坐標系偏離向量，SDTL代表局部坐標系偏離向量。

6 裝配體公差計算

基于加工特征數(shù)學模型的建立及處理后，便可以進行裝配體公差分析，并進行相應的計算，結(jié)構(gòu)位置精度變化的計算過程需從遠離機架的一端開始，等效運動副轉(zhuǎn)換后的運動傳遞鏈末端的運動副就是計算開始的運動副，并由末端向機架逐個進行分析和求解，即

(15)

(16)

(17)

其中，Di是第i個運動副在全局坐標系下的坐標位置。分析計算在MATLAB里編程實現(xiàn)，并輸出計算結(jié)果，計算結(jié)果見表9。

表9 特征偏離量數(shù)值計算值

7 實驗

為了驗證上述公差分析方法及程序的正確性，進行相關(guān)零件的設計、加工制造、裝配、檢測。零件的加工根據(jù)設計圖紙進行，加工的零件經(jīng)檢測滿足設計圖紙要求，加工的零部件及檢測如圖6所示，裝配環(huán)中的公差實驗檢測值見表10，實驗采用蔡司三坐標測量機進行檢測，三坐標測量機型號為ZEISS PRISMO navigator，線性尺寸E0檢測誤差為(0.5+L/500)μm，滿足實驗要求。對裝配體進行實驗檢測，裝配后孔51實驗檢測值見表11，實驗結(jié)果表明，公差累積滿足公差累積分析模型的預測結(jié)果。證明采用參數(shù)化、運動副化、程序化的公差累積分析模型是解決裝配體公差累積分析的一種行之有效的方法。

圖6 實驗測試

序號公差類型偏離量(mm)10．0100620．2079330．0143840．0060750．0374960．0095170．0131680．0059790．01472100．01321110．09775120．00548

表11 裝配體孔51實驗檢測值

8 結(jié)語

本文針對裝配體公差分析問題，首先采用等效運動副化處理公差所引入的裝配體結(jié)構(gòu)位置姿態(tài)精度變化及采用運動副退化法處理不同運動副自由度之間的相互影響，然后給出了公差統(tǒng)一的數(shù)學表達式，最后將模型分析數(shù)值與加工裝配體的實驗檢測值進行了對比，實驗檢測結(jié)果表明，基于等效運動副化及運動副退化的公差分析法是預測公差累積現(xiàn)象的一種行之有效的方法。后續(xù)開展的工作是將上述分析流程及分析方法程序化與可視化，通過圖形的變動為設計人員提供直觀的公差過程與結(jié)果。

[1] Wu Yuguang. Assembly Tolerance Analysis Method Based on the Real Machine Model with Three Datum Planes Location[J].Procedia CIRP,2015, 27: 47-52.

[2] Li H, Zhu H P, Li P G, et al. Tolerance Analysis of Mechanical Assemblies Based on Small Displacement Torsor and Deviation Propagation Theories[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2014, 72(1/4): 89-99.

[3] Li C L, Yang J X, Wang J Y, et al. A Comparison Study of Small Displacement Torsor and Analysis Line Methods for Functional Tolerance Analysis[J]. Advanced Materials Research, 2012, 605/607(4):358-364.

[4] Zhang W M, Chen C, Li Pengzhong, et al. Tolerance Modeling in Actual Working Condition Based on Jacobian-torsor Theory[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems CIMS, 2011, 17(1):77-83.

[5] Hong Y S, Chang T C. A Comprehensive Review of Tolerancing Research[J]. International Journal of Production Research,2002, 40(11): 2425-2459.

[6] Chang-Hsin K, Jhy-Cherng T. An Analytical Computation Method for Statistical Tolerance Analysis of Assemblies with Truncated Normal Mean Shift[J]. International Journal of Production Research,2011, 49(7): 1937-1955.

[7] Barbero B R, Aragón A C, Pedrosa C M. Validation of a Tolerance Analysis Simulation Procedure in Assemblies[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2015, 76(5/8):1-14.

[8] Li H, Zhu H, Li P, et al. Tolerance Analysis of Mechanical Assemblies Based on Small Displacement Torsor and Deviation Propagation Theories[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014, 72(1/4):89-99.

[9] Li X L, Li G H, Wang J Y, et al. Three Dimensional Assembly Tolerance Analysis of Gear Drivetrain[J]. Advanced Materials Research,2013, 655/657:1656-1661.

[10] 吳玉光，劉玉生.面向公差技術(shù)的幾何要素自由度表示與操作及其應用[J].中國機械工程， 2015，26(11): 1509-1515. Wu Yuguang，Liu Yusheng. DOF Representation and Operation of Geometric Feature and Its Applications for Tolerance Technology[J].China Mechanical Engineering,2015，26(11): 1509-1515.

[11] Jaishankar L N, Davidson J K, Shah J J. Tolerance Analysis of Parallel Assemblies Using Tolerance-maps and A Functional Map Derived from Induced Deformations[C]//Proceedings of The ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference.Portland, 2013:V03BT03A008.

[12] Govindarajalu J, Karuppan S, Manoharan T. Tolerance Design of Mechanical Assembly Using NSGA II and Finite Element Analysis[J]. Journal of Mechanical Science and Technology,2012, 26(10): 3261-3268.

[13] Sahani A K, Jain P K, Sharma S C. Tolerance Stack up Analysis for Angularity of Components and Their Assembly[J]. Procedia Engineering, 2014, 69(1):952-961.

[14] Marziale M, Polini W. Review of Variational Models for Tolerance Analysis of an Assembly[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part B Journal of Engineering Manufacture, 2011, 225(B3):305-318.

[15] Dumas A, Gayton N, Dantan J Y, et al. A new System Formulation for the Tolerance Analysis of Overconstrained Mechanisms[J].Probabilistic Engineering Mechanics, 2015, 40:66-74.

[16] Tang S Y, Guan D, Wu X, et al. Analysis on Virtual Assembly Tolerance for Pitch-adjustable Lateral Propulsion Device [J]. Procedia CIRP, 2015, 27:131-136.

[17] 余治民，劉子建，董思科，等.基于蒙特卡羅模擬與響應面方法的公差建模[J].中國機械工程， 2015,26(4): 427-434. Yu Zhimin,Liu Zijian,Dong Sike,et al.Tolerance Modeling Based on Monte-Carlo Simulation and Response Surface Method[J].China Mechanical Engineering,2015,26(4): 427-434.

[18] Khodaygan S, Movahhedy M R.Tolerance Analysis of Assemblies with Asymmetric Tolerances by Unified Uncertainty-accumulation Model Based on Fuzzy Logic[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2011, 53(5/8): 777-788.

[19] Wang Hui,Yu Tianxiang,Pang Huan,et al. Mechanism Reliability Simulation Analysis for Multi-support Axis Seizure Considered Assembly Tolerance[C]//International Conference on Quality, Reliability,Risk,Maintenance,and Safety Engineering.Xi’an,2011: 35-41.

(編輯 陳 勇)

Tolerance Analysis Based on Equivalent Kinematic Pair and Degradation of Kinematic Pair

Yin Liming Ye Peiqing Zhang Hui

Beijing Key Lab of Precision Manufacturing Equipments of Tsinghua University,Beijing,100084

Subject to the random characteristics in deformations, position and value of the features which were constrained by tolerance, a method to analyze the stack-up of tolerance by deeming tolerance constrains to equivalent kinematic pair was proposed herein. Under the situation of equivalent kinematic pair, the features constrained by tolerance were transformed to the features constrained by n-DOF of kinematic pair and the assembly would be transformed to a robot arm, which connected by the rigid parts and without any errors. As the results of the assembly processes, the affections of interaction among different kinematic pairs were the emerging problems after transformed. To deal with that problems, the method of degradation for kinematic pair was proposed herein. Then the formula to analyze stack-up of tolerance was established based on the method of equivalent kinematic pair and degradation for kinematic pair. Finally, those methods were used to analyze a realistic assemble product, and compared the calculated values with the experimental results.

tolerance analysis; equivalent kinematic pair; degradation of kinematic pair; tolerance stack-up

2016-01-11

國家科技支撐計劃資助項目(2015BAI03B002);北京市科技計劃資助項目(Z141100000514015);清華大學自主科研項目(20111081026);清華大學摩擦學國家重點實驗室自主研究課題重點項目(SKLT12A03)

TH115

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.22.001

尹立明，男，1982 年生。清華大學機械工程學院碩士研究生。主要研究方向為結(jié)構(gòu)優(yōu)化與力學分析。葉佩青，男，1963年生。清華大學機械工程學院研究員、博士研究生導師。張 輝，女，1969年生。清華大學機械工程學院副研究員、博士研究生導師。