胡俊峰 鄭昌虎 蔡建陽

江西理工大學，贛州，341000

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基于支持向量機的壓電微操作平臺非線性特性描述

胡俊峰 鄭昌虎 蔡建陽

江西理工大學，贛州，341000

壓電驅動器的遲滯現(xiàn)象會使微操作平臺出現(xiàn)非線性問題，嚴重影響了其運動精度和重復定位精度。為了解決該問題，提出了一種基于Preisach模型與支持向量機的聯(lián)合建模方法來描述微操作平臺的非線性特性。以一種一維微操作平臺為對象，以壓電驅動電壓和所對應的平臺輸出位移為樣本點，采用支持向量機理論建立反映平臺非線性回歸模型，利用該模型預測非樣本點所對應的平臺輸出位移，結合Preisach模型可精確預測平臺在任意電壓序列作用下的輸出位移。為了驗證所建立模型的有效性，進行了實驗研究，任意選取2組不同的輸入電壓序列，利用支持向量機回歸模型和Preisach模型分別得到所選取的電壓序列對應的輸出位移的預測值，在相同的電壓序列作用下進行實驗得到其實測值，將實測值與預測值進行比較分析，結果表明，2組實測值與預測值之間的相對誤差范圍分別為0.6%～2.1%、0.02%～2.1%，預測位移與實測位移非常接近，說明所建立的模型能精確描述微操作平臺的非線性特性，以實現(xiàn)其精確運動。

微操作平臺；壓電驅動器；Preisach模型；支持向量機；非線性特性

0 引言

目前，高精度、高分辨率的精密微操作平臺在精密定位、微機械操作、醫(yī)療器械、超精密加工、航空航天等前沿領域應用越來越廣泛[1-2]。柔順機構是利用柔性鉸鏈的彈性變形傳遞運動和力的一種新型免裝配機構。柔順機構具有無摩擦、無間隙、分辨率高和加工簡單等優(yōu)點，特別適宜作為微操作平臺機構[2]。壓電陶瓷驅動器(PZT)具有剛度高、響應速度快、功耗低、輸出力大等優(yōu)點[3-6]，PZT和柔順機構結合而成的微操作平臺具有廣泛應用前景。但是，壓電驅動器在電場作用下會出現(xiàn)遲滯現(xiàn)象，使其具有多值映射性和記憶性等非線性特性，使得微操作平臺出現(xiàn)非線性問題，致使其重復精度降低，嚴重影響平臺的控制精度。目前，微操作平臺的模型僅考慮了柔順機構的力學模型，沒有考慮壓電驅動器的非線性特性對平臺性能的影響，因此，需要建立能反映壓電驅動器遲滯非線性特性對平臺影響的模型，以便基于該模型對平臺進行精確位移控制。

為了建立反映遲滯非線性特性的模型，國內外學者提出了Maxwell滑動模型[3]、Duhem模型[4]、Prandtl-Ishlinskii模型[5]和Preisach模型[6-9]等。但是這些模型僅用于反映壓電驅動器的非線性，沒有應用于壓電微操作平臺。其中，Preisach模型是目前應用廣泛的描述非線性現(xiàn)象的模型之一，它具有原理清晰、結構簡單、精度高、易于和控制方法相結合等優(yōu)點。但是，建立能精確反映遲滯非線性的Preisach模型的關鍵是對遲滯環(huán)進行回歸擬合，目前建立回歸模型的方法主要有神經網絡[7-9]、模糊算法[10]、滑模算法[11]和插值算法[12-14]等。但是，采用以上建模方法均需要較大的樣本數(shù)據(jù)量，由于小樣本數(shù)據(jù)量會造成神經網絡建模過程中出現(xiàn)“過擬合”現(xiàn)象和模糊算法的模糊規(guī)則不清等問題，滑模算法增加了Preisach模型的復雜性。支持向量機可以解決采用小樣本數(shù)據(jù)回歸非線性擬合問題[15]，所以支持向量機回歸理論適合于建立壓電微操作平臺的非線性模型。同時，支持向量機從結構風險最小化的角度保證了模型的最大泛化能力，根據(jù)該理論建立的模型能精確預測驅動器在任意輸入電壓所對應的平臺輸出位移。

本文以一種一維微操作平臺為對象，采用Preisach模型和支持向量機聯(lián)合建模的方法描述由壓電陶瓷驅動器遲滯現(xiàn)象所引起的微操作平臺的非線性特性。首先，建立反映微操作平臺非線性特性的離散化形式的Preisach模型；然后，采用支持向量機理論建立反映壓電驅動器電壓與所對應的平臺輸出位移之間非線性關系的回歸模型，根據(jù)該模型可預測任一電壓所對應的輸出位移，從而根據(jù)Preisach模型計算出壓電驅動器任意輸入電壓系列的對應的平臺輸出位移；最后，進行實驗驗證分析，以證明所提出方法的可行性和有效性。

1 壓電微操作平臺的Preisach模型

圖1所示為一維微操作平臺[2]，由于壓電驅動器的遲滯現(xiàn)象會使平臺出現(xiàn)圖2所示的非線性特性，圖2中(αi,βi)為施加在壓電驅動器第i個電壓極值點(i=1,2,…,n；αi≥βi)，當αi>βi時，(αi,βi)表示電壓從0上升αi后再下降到βi，x(αi,βi)為此時平臺的輸出位移，由圖2可知，在相同電壓驅動下平臺的輸出位移不相同，取決于施加電壓順序。f(αi,βi)為驅動器電壓從0上升至αi后下降至βi時的位移變化量，它可表示為

f(αi,βi)=x(αi,αi)-x(αi,βi)

(1)

圖1 微操作平臺

圖2 微操作平臺的非線性特性

圖2所示的非線性可采用Preisach模型描述，圖2中箭頭朝上的曲線為電壓上升階段，箭頭朝下的曲線為電壓下降階段，離散化Preisach模型[12]可表示為

(2)

式中，u(t)、f(t)分別為壓電驅動器在t時刻的輸入電壓和平臺的位移輸出值；n為飽和電壓的等分個數(shù)。

由式(1)和式(2)可知，欲求出在t時刻的輸出位移f(t)，需要獲得x(αi,βi)。通過實驗得到x(αi,βi)的過程如下：首先將壓電陶瓷驅動器的飽和電壓U平均分為n等分，每個等分點的電壓值為kU/n(k=1,2,…,n)，將壓電陶瓷驅動器的電壓從0上升至任一等分點kU/n，記下此時的電壓(kU/n,kU/n)和平臺輸出位移x(kU/n,kU/n)；然后，將電壓下降到0，記下下降過程中經過的等分點上的電壓(kU/n,mU/n)和平臺輸出位移x(kU/n,mU/n)，m=k-1,k-2,…,1。遍歷所有等分點，可以得到壓電陶瓷驅動器在等分點上的電壓與所對應的位移。

現(xiàn)通過一實例說明上述模型，設壓電驅動器的飽和電壓為60 V，將其均分為3等分，等分點電壓分別為0、20 V、40 V、60 V，如圖3所示。將壓電驅動器的電壓從0上升至60 V，記下此時極值電壓(60，60)和輸出位移x(60,60)，然后將電壓從60 V下降至0，記下下降過程經過的等分點電壓極值點(60,40)、(60,20)、(60,0)和相應的平臺輸出位移x(60,40)、x(60,20)、x(60,0)。同理，將電壓從0上升至40 V再降到0，得到x(40,40)、x(40,20)和x(40,0)。最后將電壓上升至20 V再減為0，得到x(20,20)與x(20,0)。

圖3 說明Preisach模型的實例

由圖3可知，對壓電陶瓷驅動器施加的電壓都在等分點上，可以得到各電壓對應的輸出位移。設壓電驅動器輸入0-60 V-20 V-40 V的序列電壓，其極值點電壓均在等分點上，根據(jù)式(2)計算平臺輸出位移的步驟如下：

(1)根據(jù)施加電壓的順序可確定α1= 60 V，α2= 40 V，β0= 0，β1= 20 V，β2= 0，u(t)= 20 V。

(2)當i=1時，由式(2)可得

f(α1,β0)-f(α1,β1)=f(60,0)-f(60,20)=

[x(60,60)-x(60,0)]-[x(60,60)-x(60,20)]

(3)

(3)當i=2時，由式(2)可得

f(α2,β1)-f(α1,β2)=f(40,20)-f(40,0)=

[x(40,40)-x(40,20)]-[x(40,40)-x(40,0)]

(4)

(4)由式(2)可計算

f(u(t),β2)=f(20,0)=x(20,20)-x(20,0)

(5)

(5)微操作平臺的輸出位移為

x(60,20)-x(60,0)+x(40,0)-

x(40,20)+x(20,20)-x(20,0)

(6)

根據(jù)上述求解過程，當輸入電壓序列均在等分點上時，可以通過直接利用在等分點上的x(α,β)計算壓電驅動器所對應的平臺輸出位移。但是，當電壓不在等分點上時，例如當壓電驅動器輸入電壓順序為0-50 V-30 V-45 V-0-10 V，利用式(2)計算其輸出位移為x(50,30)-x(50,0)+x(45,0)-x(45,30)+x(10,10)-x(10,0)。但各x(α,β)無法得到，可采用支持向量機建立反映圖3所示的輸出位移x(α,β)與輸入電壓(α,β)之間關系的遲滯環(huán)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的回歸模型，然后根據(jù)該模型預測任一點的x(α,β)值，從而根據(jù)式(2)計算出平臺的輸出位移。

2 基于支持向量機的非線性模型

為了建立反映微操作平臺非線性回歸模型，等分點上驅動器的輸入電壓與平臺輸出位移構成支持向量機的樣本點{[(α1,β1),x1(α1,β1)],…,[(αm,βm),xm(αm,βm)]}，m為樣本點數(shù)。由于輸出位移x(α,β)與輸入電壓(α,β)之間關系為非線性，采用支持向量機理論通過非線性映射函數(shù)將由不同輸入電壓順序的(α,β)形成的輸入樣本空間映射到高維特征空間，在高維特征空間構造反映微操作平臺非線性的回歸函數(shù)為

f(z)=ω·φ(z)+b

(7)

式中，ω為超平面系數(shù)；z為某遲滯環(huán)對應的電壓(α,β)；b為待定偏置量；φ()為未知的高維函數(shù)；ω·φ(z)為ω與φ(z)的內積；f(z)為x(α,β)。

(8)

(9)

其中，R(zi,zk)表示核函數(shù)，R(zi,zk)=φ(zi)·φ(zk)，即φ(zi)與φ(zk)的內積，選取徑向基(RBF)核函數(shù)，它可表示為

R(z,zi)=exp(-g‖z-zi‖2)

(10)

式中，g為核函數(shù)的寬度參數(shù)。

(11)

偏置量b可通過Karush-Kuhn-Tucker條件求得

(12)

聯(lián)立式(7)、式(11)和式(12)可得反映微操作平臺非線性的回歸函數(shù)：

(13)

為了衡量式(13)所示的回歸模型的精度，采用平方相關系數(shù)進行評價，它可表示為

r2=

(14)

式中，k為測試點數(shù)；f(zi)、yi分別為第i個測試點的預測位移和實測位移。

由支持向量機理論[16]可知，懲罰系數(shù)c和核函數(shù)寬度參數(shù)g對能否建立精確反映微操作平臺非線性模型具有重要作用。懲罰系數(shù)c用于權衡所建立的模型復雜度和精度，由式(8)可知，系數(shù)c越大，對樣本點的擬合程度越高，模型復雜度高，所建立的反映平臺非線性的模型泛化能力變差；系數(shù)c越小，對樣本點數(shù)據(jù)中超出模型與實際輸出位移的誤差要求ε的樣本懲罰越小，使訓練誤差變大，建立模型的精度不高[15]。核函數(shù)寬度g與樣本點的輸入空間范圍有關，樣本點越多取值越大，反之取值越小。所以，需要根據(jù)實驗樣本點優(yōu)化選擇合適的系數(shù)c和g，以建立能精確預測在不同驅動電壓所對應的輸出位移。

目前對參數(shù)c和g優(yōu)化的方法主要有梯度法、粒子群法等，相比這些優(yōu)化方法，柵格化搜索方法的優(yōu)點是迭代搜索簡單，能同時搜索多個參數(shù)并保證其在劃分網格中的全局最優(yōu)解，便于并行計算，運行效率高，所以采用柵格搜索方法尋找能精確建立平臺回歸模型的最優(yōu)參數(shù)c和g。

由于通過位移傳感器采集的樣本點數(shù)據(jù)具有隨機誤差，該誤差會影響參數(shù)(c，g)的性能評價，對于同一組(c,g)，擬合函數(shù)的精確性會隨樣本數(shù)據(jù)變化而變化，尤其對于小樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的隨機性對參數(shù)優(yōu)選的影響較大，不利于模型的推廣。因此，在柵格搜索過程中應用交叉驗證法對每組參數(shù)組合的性能進行綜合評價。將交叉驗證與柵格搜索方法相結合，以均方誤差的均值最小為目標對參數(shù)c與g進行優(yōu)選，以提高參數(shù)優(yōu)選的效率和準確性，消除樣本數(shù)據(jù)的隨機誤差對平臺回歸模型精確性的影響。

采用柵格搜索與交叉驗證相結合的方法對參數(shù)(c,g)的尋優(yōu)過程如圖4所示，具體步驟如下。

圖4 參數(shù)(c,g)的尋優(yōu)流程

(15)

(2)設置(c,g)的搜索范圍和步長，由于初始無法估計c與g的大致范圍，搜索范圍應盡可能大，所以采用對數(shù)坐標形式(log2c,log2g)對其進行柵格化。

(3)將訓練數(shù)據(jù)等分為K組(K≥2)，對于柵格中每一組(c,g)，以任意一組作為測試組，其余K-1組作為訓練組，訓練模型后對測試組進行預測，并計算這一組(c,g)對應的均方誤差，其定義為

(16)

式中，f(xi)為預測值；yi為樣本實際值。

(4)對于與步驟(3)相同的(c,g)，更換另一測試組，取剩余K-1組作為訓練集，根據(jù)式(16)計算均方誤差，直至對K組都進行一次預測后，取K組均方誤差的均值ΔMSE作為該組(c,g)的預測誤差。

(5)更換參數(shù)組合(c,g)，重復步驟(3)和(4)，逐次計算網格中各參數(shù)組合(c,g)下的均方誤差，對所有的組合的ΔMSE進行比較，ΔMSE最小的參數(shù)組合即網格區(qū)間內的最佳(c,g)值。

(6)判斷ΔMSE是否小于Δmin，若是則結束流程；否則根據(jù)ΔMSE的分布情況，縮小參數(shù)搜索范圍和步長，重復步驟(3)～(5)直至滿足要求。

3 實驗驗證

3.1 實驗裝置

圖5 實驗裝置

圖6 實驗數(shù)據(jù)采集過程

如圖5所示，實驗裝置由微操作平臺、壓電陶瓷驅動器、驅動電源、位移傳感器、信號調理器、D/A卡、工控機等組成。壓電驅動器為哈爾濱芯明天公司生產的80VS12，電壓取值范圍為0～150 V；驅動電源為芯明天公司生產的XE-501，功率放大倍數(shù)為15；位移傳感器為PI公司生產的D-E20.200，分辨率為0.2 μm，線性度為0.3 %；D/A卡為NI公司生產的PCI-6713。實驗樣本數(shù)據(jù)點采集過程如圖6所示，根據(jù)第1節(jié)所述的施加電壓順序，采用LabView軟件編寫電壓輸入程序，通過D/A卡將工控機輸出的電壓經功率放大作為壓電驅動器的輸入電壓，采用位移傳感器測量所對應的輸出位移，位移信號經信號調理器通過USB接口輸入至工控機，采用LabView編寫位移采集程序，以獲得對應各個電壓等分點的輸出位移。

3.2 微操作平臺的非線性模型的實驗驗證

由于合適的參數(shù)(c,g)對于能否建立精確反映微操作平臺非線性模型非常關鍵，下面通過擬合平臺外環(huán)曲線來說明柵格搜索和交叉驗證方法找尋(c，g)值的有效性。由于VS80型壓電驅動器的輸入電壓超過120 V會影響其使用壽命，故將驅動器的飽和電壓設為120 V。為了擬合平臺的外環(huán)曲線，將飽和電壓等分為40個點，并測量該等分點對應的輸出位移得到樣本數(shù)據(jù)點，見表1。

表1 用于擬合微操作平臺外環(huán)曲線的樣本點

c與g的初始尋優(yōu)范圍為[2-10,210]，尋優(yōu)步長設為2-1，K=3，ε=0.001，Δmin=10-4μm2。圖7所示為c和g尋優(yōu)范圍內每個柵格對應的ΔMSE值，圖8所示為對應的ΔMSE值等高線。由圖7和圖8可看出ΔMSE的變化趨勢，ΔMSE接近于0的c與g的范圍如圖8中虛線部分所示，在該范圍內ΔMSE值均小于Δmin，在該范圍內尋優(yōu)選取最小的c值所對應的一組(c，g)，可得到c=32，g=1.4，ΔMSE=2.3625×10-6μm2。根據(jù)該(c,g)值可擬合出描述平臺外環(huán)的回歸曲線，如圖9所示。

圖7 均方差均值的分布

圖8 均方差均值的等高線

圖9 微操作平臺外環(huán)的擬合曲線

為了說明回歸曲線的精確性，選取12個測試樣本點進行驗證分析，測試樣本點包括外環(huán)上升曲線的6組點與下降曲線的6組點，見表2。

圖10所示為12個測試點的實測位移與由模型得到的預測位移之間的誤差，由圖10可知，誤差值范圍為[-0.15,0.15]μm。同時，將12個測試點的實測位移與預測位移分別代入式(14)和式(16)，可分別得到衡量回歸曲線精度的指標r2=0.999 99和EMS=9.504×10-7μm2，由該指標可知平臺的外環(huán)曲線擬合度較好，說明交叉驗證的柵格搜索方法能確定合適的(c,g)值以建立精確反映平臺非線性模型。

表2 測試點和對應的位移預測值與實測值

圖10 誤差分布

下面通過實驗驗證分析采用支持向量機和Preisach模型描述微操作平臺非線性的有效性。將壓電驅動器的輸入電壓分成16等分，得到等分點上的極值點電壓(α,β)和平臺對應的輸出位移x(α,β)構成的樣本點，見表3。設c與g的尋優(yōu)范圍為[2-10,210]，步長設為2-1，K = 4，ε= 0.001，Δmin=10-5μm2。根據(jù)圖3所示流程可得到最優(yōu)(c,g)值組合，即c = 32，g = 4，該組合對應的均方誤差的均值ΔMSE=1.485×10-6μm2，說明(c,g)值能滿足設定的要求。根據(jù)該參數(shù)組合采用支持向量機對表3中的樣本點進行訓練，得到圖11所示的回歸曲線，該曲線反映了平臺的非線性特性。根據(jù)式(14)可計算出反映曲線擬合精度的指標r2=0.999 986，說明所擬合的曲線能精確地反映平臺的非線性特性。

圖11 微操作平臺的擬合曲線

為了驗證分析運用Preisach模型和支持向量機所建立的模型能預測不同輸入電壓序列的輸出位移，可通過比較分析當壓電驅動器在不同輸入電壓序列作用下的平臺輸出位移的實際值與預測值來實現(xiàn)。選取第1測試組為極值點位于等分點上的電壓序列0-120 V-60 V-75 V-15 V-105 V，第2測試組為極值點不在等分點上的電壓序列0-112.5 V-19.5 V-69 V-36 V-93 V-68 V。由式(1)和式(2)表示的Preisach模型可知，要計算出電壓序列的輸出位移，需要得到不同輸入電壓(α,β)所對應的位移x(α,β)，可利用圖11所示的回歸模型得到x(α,β)，第1和第2測試組各輸入電壓對應的位移x(α,β)分別見表4和表5。

表3 用于擬合微操作平臺遲滯環(huán)的樣本點 μm

表4 第1測試組電壓對應的x(α,β)預測值

表5 第2測試組電壓對應的x(α,β)預測值

根據(jù)表4和表5中的x(α,β)，將其代入式(1)和式(2)表示的Preisach模型，則可以分別計算出對應于兩組測試組各電壓序列的輸出位移f(z)的預測值。根據(jù)圖5所示的實驗過程，對壓電陶瓷驅動器分別施加上述兩組序列電壓，可以分別得到不同輸入電壓所對應的輸出位移的實測值。第1和第2測試組的各輸入電壓對應的輸出位移的實測值、預測值、相對誤差分別見表6和表7，可知，第1和第2測試組的相對誤差范圍分別為0.6%～2.1%和0.02%～2.1%，說明預測位移與實測位移非常接近，也就是說，聯(lián)合Preisach模型和支持向量機回歸模型能精確預測平臺在驅動器輸入任意電壓序列所對應的輸出位移，從而實時預測平臺的輸出位移。

表6 第1測試組的實測位移和預測位移

表7 第2測試組的實測位移和預測位移

4 結語

為了精確描述壓電微操作平臺非線性特性，本文提出了一種Preisach模型與支持向量機回歸方法相結合的建模方法。提出了一種基于交叉驗證和柵格化搜索方法，對非線性模型精度有較大影響的懲罰系數(shù)c與核函數(shù)參數(shù)g進行尋優(yōu)。以一種一維微操作平臺為對象，利用支持向量機回歸理論擬合的非線性回歸曲線，并結合傳統(tǒng)的Preisach模型，可對任意輸入電壓系列的平臺輸出位移進行精確的預測。實驗驗證分析結果表明，基于交叉驗證的柵格搜索方法能確定合適的(c,g)值以建立反映平臺非線性的精確回歸模型，聯(lián)合Preisach模型能精確預測任意輸入電壓序列的輸出位移，說明所建立的模型能精確描述微操作平臺的非線性特性，以實現(xiàn)其精確運動。

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(編輯 陳 勇)

Description of Nonlinear Characteristics of Piezoelectric Micro-manipulation Stage Based on SVM

Hu Junfeng Zheng Changhu Cai Jianyang

Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou,Jiangxi,341000

The nonlinear characteristics of micro-manipulation stage would be occurred due to the hysteresis of piezoelectric actuator, which might seriously affect the movement precision and repeated positioning accuracy of the stage. In order to solve the issue, a hybrid modeling method was proposed to describe the hysteresis characteristics based on Preisach and SVM. As for a one dimensional micro-manipulation stage, the sample points were chosen as the piezoelectric driving voltages and corresponding output displacements of the stage. The regression model of the hysteresis loop of the PEA was established by using SVM theory. The model might be used to predict the displacements corresponding to the voltages not at sample points. Combined with the Preisach model, the output displacement corresponding to any voltage sequence might be obtained. The experimental studies were carried out in order to verify the validity of the presented model. Arbitrarily selecting two sets of input voltage sequences, and the prediction value of the output displacements corresponding to the selected voltage sequences might be obtained by using the regression model and Preisach model. The measured values were obtained under the same voltage sequences by experimental tests. Comparing the measured values and predicted values, the results show that the relative error ranges of the two sets of the measured and predicted values are as 0.6%～2.1% and 0.02%～2.1%, respectively. Therefore, the predicted displacements are very close to the measured ones. It illustrates that the proposed model may accurately describe the nonlinear characteristics of the micro-manipulation stage in order to realize its precise movements.

micro-manipulation stage; piezoelectric actuator; Preisach model; support vector machine(SVM); nonlinear characteristics

2016-01-11

國家自然科學基金資助項目(51265016,51565016)

TH703;TP274

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.22.006

胡俊峰，男，1978年生。江西理工大學機電工程學院副教授。主要研究方向為柔順機構及智能控制。發(fā)表論文30余篇。鄭昌虎，男，1991年生。江西理工大學機電工程學院碩士研究生。蔡建陽，男，1991年生。江西理工大學機電工程學院碩士研究生。