◇張齊華

“解決問(wèn)題的策略
——一一列舉”教學(xué)實(shí)錄

◇張齊華

一 課前探索，組內(nèi)分享

（出示問(wèn)題）

王大伯想用22根1米長(zhǎng)的木條，圍一個(gè)面積為20平方米的長(zhǎng)方形花圃。如果22根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺(jué)得他能完成這一任務(wù)嗎？

師：課前，同學(xué)們已經(jīng)就這一問(wèn)題進(jìn)行過(guò)深入思考與探索，下面請(qǐng)大家先帶著自己的作品和思考，在小組里交流一下各自的方法和結(jié)論。如果出現(xiàn)不同的見(jiàn)解，可以嘗試進(jìn)行討論、協(xié)商，實(shí)在說(shuō)服不了對(duì)方的，待會(huì)兒可以在全班范圍內(nèi)進(jìn)行交流。

（學(xué)生小組交流，教師巡視并收集典型的解決問(wèn)題方法和策略）

師：通過(guò)課前的研究，王大伯的任務(wù)能完成嗎？

生：不能。

生：能。

師：看來(lái)，在能與不能上，大家還存在分歧。這樣，覺(jué)得王大伯能完成這一任務(wù)的，帶著作品和思考上來(lái)展示和匯報(bào)。

二 全班交流，建構(gòu)策略

生：我覺(jué)得王大伯能完成任務(wù)。我?guī)退O(shè)計(jì)的是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)5米、寬4米，剩下的4米可以放在一邊。

（結(jié)合交流，他還展示了自己畫的示意圖。如圖1）

圖1

師：還有別的思路，也同樣能幫助王大伯完成這一任務(wù)的嗎？

生：我嘗試了各種方法，發(fā)現(xiàn)都不行。后來(lái)我仔細(xì)研究了題目，發(fā)現(xiàn)里面并沒(méi)有說(shuō)不能靠墻。所以，我決定讓這個(gè)長(zhǎng)方形花圃一面靠墻，這樣，它的長(zhǎng)可以是20米，寬是1米，正好用去22根木條，而面積也正好是20平方米。

（結(jié)合交流，他也展示了自己所畫的示意圖。如圖2）

圖2

生：我的方法和他們都不一樣。我覺(jué)得圍一個(gè)花圃，四周至少需要1根木條豎在那兒作支撐，這樣一來(lái)，22根木條只剩下18根。而18根木條正好可以圍成一個(gè)長(zhǎng)5米、寬4米的長(zhǎng)方形，面積正好是20平方米。（出示圖3）

圖3

師：看得出來(lái)，3個(gè)同學(xué)都特別想幫助王大伯解決這一問(wèn)題。面對(duì)這3種方法，能否給出你們的評(píng)價(jià)？

生：我不太同意第一位同學(xué)的方法。因?yàn)轭}目中說(shuō)得很清楚，22根木條都要用掉，不能有剩余。但他圍成長(zhǎng)方形后，還剩下4根木條，所以他的方法不符合題目的要求。

生：第二種方法，我也不贊成。因?yàn)轭}目中并沒(méi)有說(shuō)允許靠墻，而是說(shuō)，就用22根木條圍一個(gè)20平方米的長(zhǎng)方形花圃。所以，一邊靠墻是不合適的。

生：我也覺(jué)得不行。如果允許一邊靠墻的話，那么，方法就不只是這一種，比如長(zhǎng)10米、寬2米也能圍出面積為20平方米的長(zhǎng)方形花圃。

生：如果允許靠墻的話，那么，我們還可以靠?jī)擅鎵?、三面墻，這樣的討論就顯得沒(méi)有意義了。所以，我還是覺(jué)得，題目沒(méi)有提示有沒(méi)有墻，其實(shí)就是默認(rèn)我們不能靠墻。

師：看來(lái)，大家對(duì)于第二位同學(xué)的方法，基本也是持否定的觀點(diǎn)。那么，第三種方法呢？

生：我覺(jué)得，他的這種方法，有點(diǎn)兒像腦筋急轉(zhuǎn)彎。我們都在思考，怎么用木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形，他竟然讓木條豎了起來(lái)。

生：我覺(jué)得他的這種方法很有創(chuàng)意，但有一個(gè)問(wèn)題，既然可以在4個(gè)角落里各豎1根木條，那我們也可以在別的地方繼續(xù)豎一些。這樣，符合要求的情況也就越來(lái)越多，這個(gè)問(wèn)題也就失去討論的意義了。所以，我還是不太贊成讓木條豎起來(lái)。

師：不管怎么說(shuō)，這三個(gè)同學(xué)都在想盡一切辦法幫助王大伯解決問(wèn)題。只是解決問(wèn)題時(shí)，有些方式不太被大家接受。這樣，如果我們將問(wèn)題表述得更清楚：就用22根木條平著圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，不能剩余、不許折斷，也不借助其他任何條件，能夠圍出面積是20平方米的長(zhǎng)方形花圃嗎？

生：不能！

師：我們都知道，22根木條可以圍出多種不同的長(zhǎng)方形，為什么你們覺(jué)得不能？能否展示出你們的研究和思考過(guò)程？特別提醒一下，接下來(lái)的時(shí)間里，每一位同學(xué)展示完畢后，臺(tái)下的同學(xué)可以就著他的作品和思考，給出你的評(píng)價(jià)和建議。

生：我試了一下，如果長(zhǎng)是7米，那么寬就得4米，但這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是28平方米，不符合問(wèn)題的要求。所以我覺(jué)得王大伯的要求不可能實(shí)現(xiàn)。（如圖4）

圖4

生：我反對(duì)。雖然我也覺(jué)得這個(gè)任務(wù)不能實(shí)現(xiàn)，但你只舉了一個(gè)例子是不能說(shuō)明問(wèn)題的，因?yàn)橹荛L(zhǎng)22米的長(zhǎng)方形有好幾種，萬(wàn)一另外有一種長(zhǎng)方形的面積正好是20平方米呢？

師：能給大家展示一下你的作品嗎？

生：我先用22除以2，發(fā)現(xiàn)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是11米。然后，我想辦法把11分成兩個(gè)數(shù)的和，發(fā)現(xiàn)只有這樣5種分法，但這5種分法，得出的長(zhǎng)方形面積都不是20平方米。所以，我認(rèn)為王大伯的任務(wù)沒(méi)法實(shí)現(xiàn)。（如圖 5）

圖5

生：我的方法和他的很相似，只不過(guò)我是列表的（如圖6）。通過(guò)列表，我也發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)是22米的長(zhǎng)方形有5種情況，但每一種長(zhǎng)方形的面積都不是20平方米。所以，我也覺(jué)得王大伯的任務(wù)不可能完成。

圖6

師：兩種方法看似不同，但仔細(xì)觀察一下，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么相似之處？

生：我發(fā)現(xiàn)他們舉例時(shí)都很有順序，比如長(zhǎng)方形的寬，從1一直列舉到5，一個(gè)比一個(gè)大，而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)從10一直列舉到6，一個(gè)比一個(gè)小。

生：我覺(jué)得按這樣的順序列舉，有一個(gè)好處就是不容易遺漏。如果不按順序列舉，弄不好就會(huì)漏掉某一種情況。

師：說(shuō)得真好！看來(lái)，列舉時(shí)，我們要按一定的順序進(jìn)行。不過(guò)，我有一個(gè)疑惑，干嗎非要把所有情況都列舉出來(lái)，列舉兩三種情況，不就能說(shuō)明問(wèn)題了嗎？

生：不行。因?yàn)轭}目問(wèn)：王大伯的任務(wù)能實(shí)現(xiàn)嗎？既然你要說(shuō)明不能完成，你就得把所有情況都列舉出來(lái)，并且一個(gè)一個(gè)驗(yàn)證。只有這樣，我們才能說(shuō)明王大伯的任務(wù)不能完成。如果你漏掉一個(gè)，萬(wàn)一這種情況正好是符合要求的，那就麻煩了。

師：看來(lái)，為了解決問(wèn)題的需要，我們?cè)诹信e時(shí)，不僅要按順序，而且得把所有情況都列舉出來(lái)，這在數(shù)學(xué)上就叫一一列舉。（板書：有序、一一列舉）還有沒(méi)有不同的方法需要展示的？

生：我也是一一列舉的，但我是根據(jù)面積來(lái)列舉的。我發(fā)現(xiàn)，面積是20平方米的長(zhǎng)方形，只有3種情況（如圖7）。而通過(guò)計(jì)算，我發(fā)現(xiàn)它們的周長(zhǎng)都不可能是22米，所以，王大伯的任務(wù)不可能完成。

圖7

生：我先對(duì)他的作品提一點(diǎn)兒建議。我覺(jué)得他在列舉時(shí)沒(méi)有按一定的順序，所以有點(diǎn)兒亂，如果把長(zhǎng)20米的長(zhǎng)方形放在第一個(gè)，這樣看起來(lái)更清楚。另外，我也是從面積角度思考的，只是我沒(méi)有列表，而是直接畫圖的。（如圖8）通過(guò)畫圖，我也發(fā)現(xiàn)面積是20平方米的長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)不可能是22米，所以，王大伯的任務(wù)不可能完成。

圖8

師：看來(lái)，同樣是一一列舉，列表、畫圖和列算式都是可以的。老師這兒也帶來(lái)了一個(gè)同學(xué)列舉的情況（如圖9），但結(jié)果和你們略有不同。誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下？

圖9

生：我覺(jué)得他列舉時(shí)重復(fù)了。比如這里的③號(hào)和④號(hào)長(zhǎng)方形，一個(gè)長(zhǎng)5米、寬4米，另一個(gè)長(zhǎng)4米、寬5米，其實(shí)這兩個(gè)長(zhǎng)方形是一樣的，只不過(guò)方向不同而已。所以，我覺(jué)得他列舉的前面3種可以去掉，只留后面3種就可以了。

師：通過(guò)他的列舉，你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：列舉時(shí)不僅要有序、不遺漏，同時(shí)也要做到不重復(fù)。

生：也就是說(shuō)，一一列舉時(shí)，要把所有符合條件的長(zhǎng)方形一個(gè)不多、一個(gè)不少地一一列舉出來(lái)，這才是最好的。

三 深入觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)，一一列舉是解決問(wèn)題時(shí)一種有效的策略。正是借助一一列舉的策略，我們發(fā)現(xiàn)王大伯的這一任務(wù)是沒(méi)法完成的。不過(guò)，仔細(xì)看一下同學(xué)們解決問(wèn)題時(shí)所列的表格（如圖6和圖7），一個(gè)是周長(zhǎng)確定、面積在變化，另一個(gè)是面積確定、周長(zhǎng)在變化。仔細(xì)觀察表格中長(zhǎng)、寬、周長(zhǎng)和面積的變化，你有沒(méi)有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)不變時(shí)，長(zhǎng)和寬離得越遠(yuǎn)，面積越小；長(zhǎng)和寬越接近，面積越大。比如圖6中，從前往后，長(zhǎng)和寬的距離越來(lái)越接近，而它們的面積就越來(lái)越大。反過(guò)來(lái)看，也是一樣的。

師：有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，列舉有序時(shí)，我們還很容易從中發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律？

生：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長(zhǎng)方形的面積不變時(shí)，長(zhǎng)和寬的大小越接近，周長(zhǎng)就越?。婚L(zhǎng)和寬的大小相差越遠(yuǎn)，周長(zhǎng)就越大。

師：不過(guò)，這兩條規(guī)律適用于所有的長(zhǎng)方形嗎？如果讓你繼續(xù)來(lái)研究，你會(huì)怎么研究？

生：我會(huì)繼續(xù)找一些長(zhǎng)方形，讓它們周長(zhǎng)相等，然后看看它們的面積會(huì)怎么變；再找一些長(zhǎng)方形，讓它們面積相等，看看它們的周長(zhǎng)又會(huì)怎樣變化。

師：下面的時(shí)間，就請(qǐng)大家自己確定數(shù)據(jù)，驗(yàn)證一下這一規(guī)律是否也適用于別的長(zhǎng)方形。

（學(xué)生小組內(nèi)進(jìn)行研究與驗(yàn)證，匯報(bào)略）

四 實(shí)踐拓展，應(yīng)用策略

師：這兒還有兩個(gè)問(wèn)題，你能嘗試著用今天所學(xué)的策略進(jìn)行思考嗎？

出示問(wèn)題如下：

1.一張靶紙共三圈，投中內(nèi)圈得10分，投中中圈得8分，投中外圈得6分。小林投中了2次，他可能得多少分？（如圖10）

圖10

2.兩枚硬幣同時(shí)拋起，落地后，會(huì)出現(xiàn)幾種不同的情況？

（學(xué)生嘗試解決問(wèn)題，隨后全班交流對(duì)話）

師：通過(guò)研究，你覺(jué)得小林最終的總分可能有幾種情況？

生：一共有10種情況（如圖11），2次都投中的有6種，只投中1次的有3種，2次都沒(méi)投中的有 1 種，6+3+1=10（種）。

圖11

生：我覺(jué)得不對(duì)，題目中明明說(shuō)了投中2次，所以，后面的4種根本不需要討論。如果把“小林投中了2次”改為“小林投了2次”，那么答案就是10種。

生：我覺(jué)得也不應(yīng)該是6種，而是5種。大家看，10+6=16，8+8=16，兩次的總分是一樣的，所以可以看作是同一種結(jié)果。

師：看來(lái)，在解決這樣的問(wèn)題時(shí)，一方面，我們要審清題意，不能粗心大意；另一方面，在進(jìn)行一一列舉時(shí)，我們還要根據(jù)問(wèn)題的要求，不能重復(fù)、也不能遺漏。

生：第二個(gè)問(wèn)題，我覺(jué)得一共有3種情況，分別是正正、反反和一正一反。

生：我反對(duì)，我覺(jué)得應(yīng)該有4種情況，分別是正正、反反、正反和反正。

面對(duì)究竟是3種情況還是4種情況，學(xué)生展開了激烈的爭(zhēng)論。最終，教師給出了如下建議：

建議1：給兩枚硬幣分別標(biāo)上號(hào)碼，一枚是1號(hào)硬幣，另一枚是2號(hào)硬幣。

建議2：試著用兩枚硬幣實(shí)際拋一拋，看看最終出現(xiàn)的到底是幾種情況。

生：通過(guò)研究，我們發(fā)現(xiàn)，一正一反應(yīng)該包含兩種情況。我們給硬幣標(biāo)上號(hào)碼后，發(fā)現(xiàn)實(shí)際上會(huì)出現(xiàn)這樣4種情況：1號(hào)正面和2號(hào)正面、1號(hào)正面和2號(hào)反面、1號(hào)反面和2號(hào)正面、1號(hào)反面和2號(hào)反面。沒(méi)有標(biāo)號(hào)碼時(shí)，我們還以為一正一反就是一種情況。一標(biāo)上號(hào)碼，我們才發(fā)現(xiàn)原來(lái)它們是不一樣的。

師：以后在一一列舉時(shí)，如果出現(xiàn)問(wèn)題，有時(shí)，實(shí)驗(yàn)也不失為一種好的策略，它可以讓我們對(duì)問(wèn)題的思考更清晰、更準(zhǔn)確。

（作者單位：江蘇南京市北京東路小學(xué)）