劉艷芳， 賴俊斌， 岳會(huì)軍， 徐向陽， 李 晟

(1. 北京航空航天大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院 北京，100191) (2. 中國航天科技集團(tuán)公司北京航天發(fā)射技術(shù)研究所 北京，100076) (3. Wright State University Department of Mechanical and Material Engineering Dayton，45435,USA)

?

斜齒輪振動(dòng)噪聲分析方法

劉艷芳1， 賴俊斌1， 岳會(huì)軍2， 徐向陽1， 李 晟3

(1. 北京航空航天大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院 北京，100191) (2. 中國航天科技集團(tuán)公司北京航天發(fā)射技術(shù)研究所 北京，100076) (3. Wright State University Department of Mechanical and Material Engineering Dayton，45435,USA)

齒輪嚙合傳動(dòng)的不平穩(wěn)是產(chǎn)生振動(dòng)噪聲的主要原因，需要對(duì)齒輪嚙合傳遞的動(dòng)態(tài)過程及其規(guī)律進(jìn)行研究。首先，以自動(dòng)變速器中一對(duì)常嚙合斜齒輪為研究對(duì)象，分別采用有限元法和切片理論計(jì)算斜齒輪的傳遞誤差，用以衡量斜齒輪嚙合傳動(dòng)的平穩(wěn)性。然后，根據(jù)齒輪修形的經(jīng)驗(yàn)公式，確定斜齒輪修形參數(shù)的范圍?；谇衅碚摚捎昧信e法，以降低傳遞誤差波動(dòng)、改善齒面載荷分布為優(yōu)化目標(biāo)，確定最優(yōu)修形方案。最后，通過分析自動(dòng)變速器的振動(dòng)噪聲臺(tái)架實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果，有效地驗(yàn)證了筆者采用的方法及模型的可行性。

斜齒輪; 有限元法; 切片理論; 傳遞誤差; 載荷分布; 修形

引 言

齒輪作為基本的傳動(dòng)元件廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶、汽車等領(lǐng)域，現(xiàn)代齒輪傳動(dòng)正朝著高速、重載和低噪聲方向發(fā)展。齒輪在高速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，會(huì)受到各種激勵(lì)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲，而振動(dòng)和噪聲不僅是影響齒輪可靠性、壽命和操作環(huán)境的關(guān)鍵因素，更是導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)失效的一種主要形式[1]。

目前大量研究表明,齒輪的傳遞誤差是齒輪系統(tǒng)振動(dòng)和噪聲的激勵(lì)源[2]。Harris[3]提出了靜態(tài)傳遞誤差的概念，定義了靜態(tài)傳遞誤差的計(jì)算函數(shù)，奠定了對(duì)傳遞誤差的分析基礎(chǔ)。目前傳遞誤差的求解主要包括兩種方法：a.建立齒輪嚙合的有限元模型，求取齒輪的接觸變形獲得傳遞誤差[4-5]；b.建立齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)齒輪的時(shí)變嚙合剛度、重合度和阻尼等參數(shù)獲得傳遞誤差[6-7]。采用有限元方法求解的齒輪傳遞誤差精度很高，但是計(jì)算效率很低；而采用齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型求取傳遞誤差的方法對(duì)齒輪的模型進(jìn)行簡化，得不到精確的解。

齒輪修形可以改善齒輪傳動(dòng)狀況，減小振動(dòng)和噪聲[8]。文獻(xiàn)[9-10]以改善齒面載荷分布、減小嚙合沖擊為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)齒輪進(jìn)行修形優(yōu)化；文獻(xiàn)[5,11-12]以降低齒輪傳遞誤差為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)齒輪進(jìn)行修形優(yōu)化。齒輪傳遞過程中的載荷分布和傳遞誤差都會(huì)影響齒輪的振動(dòng)和噪聲，因此齒輪修形需要同時(shí)兼顧齒輪載荷分布和傳遞誤差。

筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用有限元法和切片理論建立斜齒輪嚙合傳遞過程的動(dòng)態(tài)接觸模型，通過仿真分析指出對(duì)斜齒輪修形時(shí)單純考慮以傳遞誤差或者載荷分布均勻性為目標(biāo)，很難獲得最優(yōu)修形參數(shù)組合方案。

1 斜齒輪傳遞誤差激勵(lì)分析

齒輪嚙合傳遞的過程復(fù)雜，只有在絕對(duì)理想條件下才能實(shí)現(xiàn)傳遞過程的絕對(duì)平穩(wěn)，而在實(shí)際工況中存在的輪齒彈性變形、載荷分布不均、制造和裝配誤差等因素都會(huì)影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性(稱為“激勵(lì)”)，進(jìn)而產(chǎn)生沖擊、振動(dòng)和噪聲。傳遞誤差是衡量齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性的重要指標(biāo)。

1.1 問題的提出

在某款自動(dòng)變速器的實(shí)驗(yàn)測試中發(fā)現(xiàn)，3擋工況下振動(dòng)及噪聲狀況比較嚴(yán)重。通過階次追蹤法，可以判斷引起振動(dòng)和噪聲的主要來源是其中一對(duì)斜齒輪，其結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 斜齒輪的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)

1.2 有限元法

由于有限元法計(jì)算精度高，能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，已成為輪齒接觸分析的工程分析有效手段。筆者采用彈性力學(xué)理論和有限元法分析輪齒動(dòng)態(tài)嚙合過程的接觸特性。

在ANSYS仿真平臺(tái)上建立有限元仿真模型，其中齒輪密度為ρ=7.8×10-6kg/mm3，彈性模量為E=2.1×105MPa，泊松比為λ=0.3。

由于在斜齒輪傳動(dòng)過程中，距離嚙合輪齒較遠(yuǎn)的輪齒對(duì)整個(gè)斜齒輪傳動(dòng)幾乎沒有影響，因此為了提高計(jì)算效率，此處只建立包含嚙合周期內(nèi)的齒輪結(jié)構(gòu)的三維有限元模型。單元類型選取為包含8個(gè)節(jié)點(diǎn)的SOLID185，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度。為了保證計(jì)算效率，在齒輪接觸面區(qū)域需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化[13]，最終獲得的有限元網(wǎng)格模型如圖1所示。

圖1 齒輪嚙合的有限元網(wǎng)格模型Fig.1 Finite element model of gear meshing

筆者研究的齒輪副的工況為主動(dòng)輪輸入轉(zhuǎn)速為3 kr/min，輸入扭矩為178 N·m。約束從動(dòng)輪內(nèi)圈表面節(jié)點(diǎn)所有的自由度，約束主動(dòng)輪內(nèi)圈表面節(jié)點(diǎn)除繞齒輪中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)自由度外的所有自由度。并在主動(dòng)輪內(nèi)圈表面節(jié)點(diǎn)施加切向力以模擬轉(zhuǎn)矩，切向力的計(jì)算公式[4]為

(1)

其中：T為施加扭矩；n為主動(dòng)輪內(nèi)圈表面節(jié)點(diǎn)數(shù)；r為主動(dòng)輪內(nèi)圈半徑。

圖2為由計(jì)算得到的主動(dòng)輪應(yīng)力云圖，其中最大接觸應(yīng)力為987.5 MPa。文獻(xiàn)[14]可計(jì)算出最大接觸應(yīng)力的理論值為963.2 MPa，顯然兩者的結(jié)果比較接近，說明該有限元模型是正確的，且可用于分析斜齒輪動(dòng)態(tài)接觸特性。

圖2 主動(dòng)輪所受應(yīng)力云圖Fig.2 Stress distributing graph of the driving gear

傳遞誤差是衡量齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性的重要指標(biāo)，可表示[12]為

(2)

其中：E為輪齒綜合偏差；δ為輪齒綜合變形。

在一個(gè)嚙合周期內(nèi)，將主動(dòng)輪和從動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)的角度等距分成30份，重復(fù)上述求解過程，匯總主動(dòng)輪和從動(dòng)輪在每個(gè)求取位置沿嚙合線方向的變形之和，并作為傳遞誤差為縱坐標(biāo)，從動(dòng)輪相應(yīng)轉(zhuǎn)過的角度為橫坐標(biāo)，即可得到該斜齒輪的傳遞誤差曲線，如圖3所示，可以看出該斜齒輪的傳遞誤差波動(dòng)幅度為5.703 5 μm。圖中波峰位置為3齒嚙合，波谷位置為4齒嚙合(文中的斜齒輪副重合度為3.325)，3齒嚙合時(shí)的輪齒綜合變形量要比4齒嚙合時(shí)的更小。由于斜齒輪單雙齒嚙合的交替變化使得傳遞誤差出現(xiàn)周期性變化。

圖3 斜齒輪傳遞誤差Fig.3 Transmission error of helical gear

1.3 切片理論

采用有限元法可以得到齒輪受載時(shí)精確的接觸變形量、接觸剛度等，但有限元法計(jì)算時(shí)間一般較長，且難以精確考慮齒形誤差、齒輪精度等因素的影響。

切片理論將齒輪沿齒寬方向等分為i份，則每個(gè)齒輪被切為多個(gè)切片，每個(gè)切片都被當(dāng)做直齒輪，相鄰的直齒輪是相互獨(dú)立的。再對(duì)每個(gè)薄片沿齒廓方向等分為j份，則齒輪的齒面可以通過陣列i×j表示，陣列中每個(gè)元素都是具有一定剛度的彈簧。

陣列中每個(gè)元素的載荷計(jì)算[15]為

(3)

其中：Fs為切片剛度，其具體的取值根據(jù)單齒剛度和切片位置確定；TE為傳遞誤差；x為齒形誤差，其取值與齒輪齒面粗糙度和齒輪的精度有關(guān)。

根據(jù)切片理論，將筆者研究的齒輪副的齒面沿齒寬方向以單位長度1 mm長度等分，齒廓方向以單位長度0.5 mm等分，如圖4所示。

圖4 斜齒輪切片模型Fig.4 Thin slice model of helical gear

圖5(a)為根據(jù)切片理論基于Romax仿真平臺(tái)計(jì)算得到的斜齒輪的傳遞誤差。顯然，采用切片理論法得到斜齒輪的傳遞誤差波動(dòng)幅值為5.059 6 μm，與有限元法得到的結(jié)果非常接近。傳遞誤差曲線的周期為2.73 deg，在一個(gè)嚙合周期中其中三齒嚙合區(qū)域?yàn)?～1.84 deg，四齒嚙合區(qū)域?yàn)?.84～2.73 deg。同時(shí)傳遞誤差曲線也明顯出現(xiàn)周期性變化。

圖5(b)為齒輪齒面載荷分布情況，從圖中可以看出齒面上最大單位長度載荷為196.7 N/mm，載荷分布不均勻，主要分布在齒面的左側(cè)。

圖5 根據(jù)切片理論計(jì)算的結(jié)果Fig.5 Results calculated by slice theory

斜齒輪的傳遞誤差波動(dòng)和載荷分布不均都會(huì)成為產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲的激勵(lì)源，通過降低斜齒輪的傳遞誤差波動(dòng)和改善斜齒輪載荷分布可以降低齒輪的振動(dòng)和噪聲，而通過齒輪修形可以降低斜齒輪傳遞誤差并改善齒面載荷分布。

2 斜齒輪修形參數(shù)優(yōu)化

齒輪修形是目前齒輪減振降噪的主要方法。常用的齒輪修形包括齒廓修形和齒向修形，前者可以減小斜齒輪的嚙合沖擊、降低傳遞誤差波動(dòng)，后者可以降低傳遞誤差波動(dòng)、改善齒輪載荷分布。本研究選取齒廓的修形量、修形高度和鼓形修形量作為優(yōu)化的齒輪修形參數(shù)。

在齒廓修形方面，根據(jù)推薦公式，可計(jì)算出該斜齒輪的修形參數(shù)為：最大修形量Δmax=0.02mn=0.026 mm；最大修形高度hmax=0.65mn=0.845 mm，其中mn為齒輪法向模數(shù)。

在齒向修形方面，鼓形修形公式[16]為

(4)

其中：C為嚙合綜合剛度；b為齒寬；bcal為有效接觸齒寬；Fm為圓周力；Fβy為嚙合齒向誤差。

根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)手冊可求得各個(gè)參數(shù)值分別為：C=11.256 GPa，b=14 mm，bcal=26.641 mm，F(xiàn)m=6 961.3 N，F(xiàn)βy=2.311 3 μm。根據(jù)斜齒輪參數(shù)計(jì)算可得,Ca=23.8 μm。

大量仿真發(fā)現(xiàn)，齒廓修形中采用直線修形和拋物線修形的結(jié)果很接近[5]?？紤]到拋物線修形的加工成本要高得多，故齒廓修形采用直線修形，齒輪修形參數(shù)范圍如表2所示。

表2 斜齒輪副修形參數(shù)

根據(jù)切片理論模型，在斜齒輪修形參數(shù)范圍內(nèi)，采用列舉法，齒頂修形寬度、齒根修形寬度和齒向鼓形量以0.01 μm為步長選取修形參數(shù)；齒頂和齒根修形高度以1 μm為步長選取修形參數(shù)。

2.1 以傳遞誤差波動(dòng)最小為修形目標(biāo)

斜齒輪在傳遞扭矩過程中，受到輪齒變形和齒輪誤差的影響使得斜齒輪的傳遞誤差是波動(dòng)的，傳遞誤差的波動(dòng)會(huì)作為一種動(dòng)態(tài)激勵(lì)導(dǎo)致齒輪受載時(shí)產(chǎn)生的作用力波動(dòng)，從而產(chǎn)生振動(dòng)引起噪聲。因此,降低斜齒輪傳遞誤差波動(dòng)可以降低斜齒輪的振動(dòng)和噪聲。

以斜齒輪的傳遞誤差波動(dòng)最小為目標(biāo)，通過比較所有仿真結(jié)果，獲得一組最佳修形參數(shù)，如表3所示。其對(duì)應(yīng)的傳遞誤差和載荷分布如圖6所示。

表3 以傳遞誤差波動(dòng)最小為目標(biāo)修形參數(shù)

Tab. 3 Modification parameters of minimum transmission error

齒輪Δ1/μmh1/mmΔ2/μmh2/mmCa/μm主動(dòng)輪2.300.6022.300.5980.70從動(dòng)輪3.400.6023.400.5980.67

圖6 以傳遞誤差波動(dòng)最小為目標(biāo)修形后的結(jié)果Fig.6 Results of minimum transmission error as target

從圖6(a)中可以看出，修形后斜齒輪傳遞誤差的波動(dòng)為1.225 3 μm，比修形前降低了75.78%，但波峰處曲線變化劇烈說明有沖擊產(chǎn)生。從圖6(b)中可以看出，修形前齒面的載荷分布不均勻，而修形后的齒面載荷分布則轉(zhuǎn)移到以齒面中間區(qū)域?yàn)橹行木鶆蛏㈤_，但是其對(duì)應(yīng)的單位長度載荷卻提高到236 N/mm，相比修形前增加了19.98%。說明單純考慮最小傳遞誤差波動(dòng)進(jìn)行齒輪修形無法獲得最優(yōu)修形參數(shù)組合方案。

2.2 以斜齒輪載荷分布最優(yōu)為修形目標(biāo)

修形前的齒面載荷分布不均勻，這會(huì)引起斜齒輪傳動(dòng)過程中出現(xiàn)偏載，使得傳動(dòng)不平穩(wěn)，造成振動(dòng)和噪聲。以齒寬方向載荷分布均勻，齒廓方向中間載荷大，齒頂、齒根載荷小為修形目標(biāo)，對(duì)斜齒輪修形優(yōu)化。通過比較所有仿真結(jié)果，獲得一組最優(yōu)的修形參數(shù)方案，如表4所示，其對(duì)應(yīng)的載荷分布和傳遞誤差如圖7所示。

表4 以斜齒輪載荷分布最優(yōu)為目標(biāo)修形參數(shù)

圖7 以載荷分布最優(yōu)為目標(biāo)的修形結(jié)果Fig.7 Modification result of optimal load distribution

由圖7與修形前結(jié)果對(duì)比可以看出，修形后的齒面載荷分布非常均勻，而且單位長度載荷最大值得到了有效的降低。但是，修形后的傳遞誤差波動(dòng)幅值卻為2.077 9 μm，雖然比修形前降低了近60%，但比以傳遞誤差最小為目標(biāo)的優(yōu)化方案對(duì)應(yīng)值增大了近63.9%。修形后的傳遞誤差曲線波峰處發(fā)生較大的波動(dòng)，說明有一定的沖擊產(chǎn)生。顯然，單純考慮載荷分布最優(yōu)進(jìn)行齒輪修形也無法獲得最優(yōu)的修形參數(shù)組合方案。

2.3 綜合考慮傳遞誤差和載荷分布的修形

上述分析表明，對(duì)斜齒輪進(jìn)行修形時(shí)需要同時(shí)考慮其傳遞誤差和載荷分布才能獲得最優(yōu)修形參數(shù)組合方案。綜合考慮斜齒輪傳遞誤差和載荷分布，通過比較所有仿真結(jié)果，獲得一組最優(yōu)修形參數(shù)方案，如表5所示，其對(duì)應(yīng)的傳遞誤差和載荷分布如圖8所示。

表5 綜合考慮傳遞誤差和載荷分布的修形參數(shù)

Tab. 5 Modification parameters considering transmission error and load distribution

齒輪Δ1/μmh1/mmΔ2/μmh2/mmCa/μm主動(dòng)輪1.1000.1001.1000.1000.700從動(dòng)輪0.9000.1000.9000.1000.670

圖8 綜合考慮傳遞誤差和載荷分布修形后的結(jié)果Fig.8 Results after modification considering transmission error and load distribution

從圖8(a)中看出，修形后的斜齒輪傳遞誤差波動(dòng)為1.277 1 μm，比修形前降低了74.76%，且比以傳遞誤差波動(dòng)最小為優(yōu)化目標(biāo)的方案僅提高了4%；從傳遞誤差曲線中可以看出，在一個(gè)嚙合周期中，曲線出現(xiàn)兩次波峰到波谷的變化，其中一個(gè)從波峰到波谷的變化為4齒嚙合時(shí)產(chǎn)生的沖擊，另一個(gè)從波峰到波谷的變化為3齒嚙合時(shí)產(chǎn)生的沖擊；雖然斜齒輪嚙合過程中都有一定的沖擊，但由于傳遞誤差的波動(dòng)要比修形前小得多，所以修形后的斜齒輪傳動(dòng)要比修形前好得多。從圖8(b)中看出，修形后齒面的載荷分布均勻，主要介于齒頂與齒根之間；且最大單位長度載荷相比修形前得到了有效的降低。該修形方案確定為最佳修形方案。

3種不同修形方案的結(jié)果如表6所示。

表6 3種不同修形方案結(jié)果

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步分析本研究修形方案的減振降噪效果，對(duì)裝配該齒輪的自動(dòng)變速器進(jìn)行振動(dòng)和噪聲實(shí)驗(yàn)分析，其中測試的輸入扭矩為178 N·m，輸入轉(zhuǎn)速從0 r/min增加到5 000 r/min。傳感器布置如圖9所示。其中：M1和M2分別為麥克風(fēng)1和2；Tacho為測速器；V_x，V_y，V_z為三軸加速度傳感器的布置形式，方向分別為整車+x,+y,+z方向，總計(jì)兩個(gè)三向傳感器；V_diff為單軸加速度傳感器。通過臺(tái)架試驗(yàn)得到變速器總噪聲測試結(jié)果如圖10(a)所示，通過噪聲切片分析得到斜齒輪噪聲如圖10(b)所示。

圖9 實(shí)驗(yàn)原理圖Fig.9 Actual experimental apparatus

圖10 修形前后噪聲對(duì)比Fig.10 Noise compared with before and after modification

從圖10(a)中可以看出，三種修形方案都可以降低斜變速器的噪聲，降低約0～4 dB；且輸入轉(zhuǎn)速在1 500～3 500 r/min范圍內(nèi)時(shí)，綜合考慮傳遞誤差和載荷分布的修形方案降噪效果最好。從圖10(b)中可以看出，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速在2 700～3 200 r/min范圍內(nèi)時(shí)，三種修形方案都有較好的減振降噪效果，且綜合考慮傳遞誤差和載荷分布的修形方案的斜齒輪降噪效果最好，這與本研究的工況很接近，說明本研究的修形方案是正確合理的。

4 結(jié) 論

1) 采用有限元法和切片理論分析了斜齒輪嚙合傳遞過程，衡量斜齒輪嚙合傳動(dòng)的平穩(wěn)性，通過對(duì)傳遞誤差仿真結(jié)果的相互驗(yàn)證，證明兩種方法及其模型的有效性。

2) 僅單一考慮斜齒輪的傳遞誤差或者齒面載荷分布情況對(duì)斜齒輪修形均無法得到最優(yōu)的修形方案，斜齒輪修形需綜合考慮斜齒輪傳遞誤差和齒面載荷分布情況。

3) 自動(dòng)變速器噪聲實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果證實(shí)，同時(shí)兼顧接觸斑和傳遞誤差的修形方法可以更有效地降低齒輪噪聲，且有利于保證齒輪的可靠性運(yùn)轉(zhuǎn)。

[1] 王彥剛，鄭海起，楊通強(qiáng)，等．故障參數(shù)下齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為[J]．振動(dòng)、測試與診斷，2011，31(5)：570-573．

Wang Yangang，Zheng Haiqi，Yang Tongqiang，et al. Nonlinear dynamics behavior of gear system with fault parameters[J]．Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，2011，31(5)：570-573．(in Chinese)

[2] Peeters J L M，Dirk V，Paul S．Analysis of internal drive train dynamics in a wind turbine[J]．Wind Energy，2006，9(1)：141-161．

[3] Harris S L．Dynamic loads on the teeth of spur gears[J]．Proceedings of Institution of Mechanical Engineers，1958，172(1)：87-112．

[4] 張義民，楊健，胡鵬．斜齒輪副傳遞有限元誤差分析[J]．機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2014，3(3)：189-191．

Zhang Yiming，Yang Jiang，Hu Peng．Helical gears transmission error of finite element analysis[J]．Machinery Design and Manufacture， 2014，3(3)：189-191．(in Chinese)

[5] 袁哲．齒輪振動(dòng)可靠性與修形減振策略研究[D]．沈陽：東北大學(xué)，2010．

[6] 馬輝，王奇斌，黃婧，等．不同自由度耦合斜齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性[J]．振動(dòng)、測試與診斷，2014，34(4)：650-657.

Ma Hui，Wang Qibin，Huang Jing，et al．Vibration characteristics analysis of a helical gear rotor system considering different degrees of freedom coupling[J]．Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，2014，34(4)：650-657．(in Chinese)

[7] 胡鵬，張義民，王倩倩．含側(cè)隙及時(shí)變剛度的多級(jí)齒輪非線性響應(yīng)分析[J]．振動(dòng)、測試與診斷，2013，33(S1)：115-119．

Hu Peng，Zhang Yimin，Wang Qianqian．Nonlinear dynamic analysis of spur gear pairs with gear backlash and time-varying stiffness[J]．Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，20113，33(S1)：115-119．(in Chinese)

[8] 吳勇軍，王建軍，韓勤鍇，等．基于接觸有限元分析的斜齒輪齒廓修形與實(shí)驗(yàn)[J]．航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2011，26(2)：409-415．

Wu Yongjun，Wang Jianjun，Han Qinkai，et al．Tooth profile modification of helical gears and experimental study based on finite element contact analysis[J]．Journal of Aerospace Power，2011，26(2)：409-415．(in Chinese)

[9] Conry T F，Seireg A．A mathematical programming technique for the evaluation of load distrbution and optimal modifications for gear systems[J]．Journal of Engineering for Industry，1973，95(4)：1115-1122．

[10]尚振國，王華．寬斜齒輪修形有限元分析[J]．農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2009，40(2)：214-219．

Shang Zhenguo，Wang Hua．Finite element analysis of modified wide helical gears[J]．Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2009，40(2)：214-219．(in Chinese)

[11]Tavakoli M S，Houser D R．Optimum profile modificaitons for the minimization of static transmission errors of spur gears[J]．Journal of Mechanisms，Transmissions，and Automation in Design，1986，108(1)：86-94．

[12]Bonori G，Barbieri M，Pellicano F．Optimum profile modifications of spur gears by means of genetic algorithms[J]．Journal of Sound and Vibration，2008，313(3-5)：603-616．

[13]張建宇，劉鑫博，張飛斌．裂紋齒輪嚙合剛度的劣化特性[J]．振動(dòng)、測試與診斷，2014，34(6)：1124-1128．

Zhang Jianyu，Liu Xinbo，Zhang Feibin．Degradation characteristics of meshing stiffness of spur gears with root crack[J]．Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，2014，34(6)：1124-1128．(in Chinese)

[14]王之櫟，馬綱，陳心頤．機(jī)械設(shè)計(jì)[M]．北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011：74-75．

[15]張靖．不同因素激勵(lì)下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真及實(shí)驗(yàn)研究[D]．重慶：重慶大學(xué)，2012．

[16]李潤方．齒輪傳動(dòng)的剛度分析和修形方法[M]．重慶：重慶大學(xué)出版社，1998：243-249．

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.05.022

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405010)；航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015ZA51003)

2015-05-08；

2015-08-14

TH132.413; U463.212

劉艷芳，女，1978年8月生，博士、講師。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)，齒輪的振動(dòng)與噪聲。曾發(fā)表《Study on vibration characteristics and tooth profile modification of a plusplanetary gear set》(《Journal of Vibroengineering》2014,Vol.16,No.1)等論文。

E-mail:laijunbin5@163.com