石先杰, 李春麗, 蔣華兵, 康 甜

(中國工程物理研究院總體工程研究所 綿陽, 621900)

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彈性邊界條件下圓板橫向自由振動特性分析

石先杰, 李春麗, 蔣華兵, 康 甜

(中國工程物理研究院總體工程研究所 綿陽, 621900)

采用譜幾何法(spectro-geometric method, 簡稱SGM)分析了彈性邊界條件下圓板橫向自由振動特性。首先,將圓板的振動位移容許函數(shù)描述為一種譜形式的改進(jìn)三角級數(shù)，并采用沿邊界均勻分布的約束彈簧來模擬彈性邊界條件；然后，將未知級數(shù)展開系數(shù)看作廣義變量，應(yīng)用瑞利-里茲法從能量的角度推導(dǎo)彈性邊界條件下圓板結(jié)構(gòu)橫向自由振動系統(tǒng)特征矩陣方程;最后，設(shè)計搭建了相關(guān)實(shí)驗(yàn)臺架，對圓板結(jié)構(gòu)橫向自由振動模態(tài)參數(shù)進(jìn)行測試。將文中方法計算結(jié)果與文獻(xiàn)解、有限元計算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了譜幾何法求解圓板橫向自由振動問題的正確性和計算精度。

圓板； 橫向自由振動； 譜幾何法； 彈性邊界條件

引 言

圓板作為結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)部件，廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶工程、石化容器及鐵路交通等工程領(lǐng)域。板結(jié)構(gòu)在外界激勵載荷作用下產(chǎn)生的劇烈振動常常會造成結(jié)構(gòu)的疲勞破壞、機(jī)械故障、能量損耗，并降低結(jié)構(gòu)的可靠性等性能。此外,結(jié)構(gòu)還將通過振動向周圍環(huán)境輻射噪聲。因而，圓板結(jié)構(gòu)的振動特性受到相關(guān)專家學(xué)者的廣泛關(guān)注。

幾十年來，學(xué)者們圍繞圓板結(jié)構(gòu)振動問題做了大量的研究。有限元法[1]，能量法[2]和微分求積法等[3]各種解析或數(shù)值分析方法被相繼提出并用于求解圓板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題。Leissa[4]對板結(jié)構(gòu)振動研究成果進(jìn)行了較為全面系統(tǒng)的總結(jié)。Wu等[5]采用廣義微分求積法對徑向變厚度圓板自由振動問題開展了相關(guān)研究。Chen等[6]采用基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法求解了固支圓板和矩形板的自由振動問題。Yalcin等[7]采用微分變換法(differential transformation method，簡稱DTM)分析了簡支、固支和自由邊界條件下圓板的自由振動特性。Bauer等[8]研究了混合邊界條件(固支、簡支和自由邊界條件的任意組合)下圓板的固有振動頻率。

從上述研究情況來看，現(xiàn)有的研究方法大多限于特定的經(jīng)典邊界條件，且為了適用于各種不同的邊界條件，大多需要不斷修改位移容許函數(shù)、相關(guān)的算法及相應(yīng)的求解過程。而在實(shí)際工程應(yīng)用中，圓板結(jié)構(gòu)往往具有更加復(fù)雜的邊界條件，不僅包括固支、簡支和自由這三種經(jīng)典邊界條件的任意組合，還包含彈性邊界約束條件[9]。此外，還存在局部約束的情況。

針對上述技術(shù)局限性和實(shí)際的工程需求，采用譜幾何法[10-11]建立彈性邊界條件下圓板結(jié)構(gòu)橫向自由振動分析模型。通過將文中方法求解結(jié)果與相應(yīng)文獻(xiàn)解和有限元法結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證文中方法的正確性和有效性。隨后，搭建相關(guān)實(shí)驗(yàn)臺架，開展圓板橫向自由振動實(shí)驗(yàn)測量研究。

1 理論推導(dǎo)

1.1 圓板模型描述

為了克服圓板圓心處易出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象，擬建立如圖1所示的環(huán)板模型，通過將內(nèi)外半徑比設(shè)置為極小的數(shù)(b/a=10-5)來模擬圓板[12]。在板結(jié)構(gòu)r=a的邊界上布置兩類連續(xù)的邊界約束彈簧，分別為線性位移彈簧(kt)和旋轉(zhuǎn)約束彈簧(Kr)。通過改變約束彈簧的剛度值大小來模擬不同邊界條件。當(dāng)約束彈簧剛度值均設(shè)置為無窮大或零時，分別模擬固支和自由邊界條件。當(dāng)線性位移彈簧剛度為無窮大，而旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度為零時，則為簡支邊界條件。

1.2 振動位移容許函數(shù)的級數(shù)表述

為了構(gòu)建滿足彈性邊界條件的振動位移容許函數(shù)，并確保位移容許函數(shù)及其任意場點(diǎn)處空間坐標(biāo)微分的連續(xù)性，采用譜幾何法將圓板結(jié)構(gòu)的振動位移容許函數(shù)描述[13-14]為

(1)

其中

(2)

其中:Amn和Bmn分別為位移函數(shù)的未知級數(shù)展開系數(shù)。

此處，在標(biāo)準(zhǔn)傅里葉余弦級數(shù)基礎(chǔ)上，徑向(s)上引入四項(xiàng)正弦函數(shù)的目的在于消除振動位移容許函數(shù)及其相應(yīng)空間導(dǎo)數(shù)在結(jié)構(gòu)邊界上潛在的不連續(xù)性(或跳躍)現(xiàn)象，并去除Gibbs效應(yīng)，以提高改進(jìn)三角級數(shù)在整個求解域(包含邊界)內(nèi)的收斂速度與求解精度。

圖1 彈性邊界圓板橫向振動模型Fig.1 Transverse vibration model of circular plate with elastic boundary condition

為了闡明這點(diǎn)，假設(shè)一個函數(shù)f(x)在[0, π]區(qū)間上Cn-1連續(xù)，并且第n階導(dǎo)數(shù)絕對可積(第n階導(dǎo)數(shù)可能在某些點(diǎn)不存在)。三角級數(shù)的部分和表示為

(3)

從數(shù)學(xué)意義上可以證明級數(shù)展開系數(shù)滿足

(4)

如果系數(shù)am(m<0)可以表達(dá)為

(5)

更明確地預(yù)測收斂速度，式(5)可以描述為

(6)

這意味著

(7)

由此可以看出,收斂性在沒有額外代價的基礎(chǔ)上大幅提高了。值得指出的是，級數(shù)式(3)的收斂性可以通過設(shè)置合適的P值來控制。然而，對于一個給定邊值問題的解的光滑性在數(shù)學(xué)上是由在控制微分方程中出現(xiàn)的最高次微分來決定的。以文中研究的圓板橫向振動問題為例，其控制微分方程要求三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且四階導(dǎo)數(shù)在整個求解區(qū)域存在。因此，需要設(shè)定P=2來求取C3的強(qiáng)解，或者設(shè)定P=1來獲得弱解。由于當(dāng)前級數(shù)的光滑性在整個求解區(qū)域是可控的，則未知級數(shù)展開系數(shù)可以通過強(qiáng)解形式或弱解形式來求解。

由于構(gòu)建的位移場函數(shù)在整個求解域是足夠光滑的，則弱解和強(qiáng)解在數(shù)學(xué)意義上是等效的。文中將級數(shù)展開系數(shù)看作廣義坐標(biāo)，并采用瑞利-里茲法來求解,這樣的解決方案更適合后續(xù)組合結(jié)構(gòu)的振動建模。

1.3 求解方案

彈性圓板結(jié)構(gòu)橫向自由振動的系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為

(8)

其中：V和T分別為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總勢能和總動能。

總勢能V包含板結(jié)構(gòu)應(yīng)變能和邊界約束彈簧儲存的彈性勢能兩部分，可以描述為

(9)

其中：D=Eh3/(12(1-μ2))為彎曲剛度；E為材料彈性模量；μ為泊松比；θ0和θ1分別代表邊界約束弧長的起始角度(0≤θ0≤θ1≤2π，通過調(diào)整θ0和θ1可以方便地求解任意局部邊界支撐下圓板振動問題)。

圓板結(jié)構(gòu)橫向振動引起的總動能T為

(10)

其中：ρ為材料密度；ω為圓頻率。

將式(1)代入式(8)，采用瑞利-里茲法對位移場函數(shù)中的各個未知系數(shù)Amn和Bmn分別取極值，在實(shí)際計算過程中，改進(jìn)三角級數(shù)進(jìn)行有限截斷m=M，n=N，從而可以獲得關(guān)于未知級數(shù)展開系數(shù)的系統(tǒng)方程

(11)

其中：K和M分別為圓板結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，其元素僅僅與板結(jié)構(gòu)的材料特性、幾何參數(shù)和邊界條件相關(guān)，并直接決定了板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有振動特性，即固有頻率及其對應(yīng)的模態(tài)振型；X為一個包含所有未知級數(shù)展開系數(shù)的向量。

顯然，板結(jié)構(gòu)的固有頻率及其特征向量可以通過式(11)而獲得。在求解框架中，通過將所得到的相應(yīng)特征向量系數(shù)代入至振動位移場函數(shù)式(1)，即可獲得該階模態(tài)頻率所對應(yīng)的物理模態(tài)振型。如需對某種外界載荷作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行求解，僅需在系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)中增加外界載荷的做功項(xiàng)即可，最終在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)方程，式(11)右側(cè)出現(xiàn)外力激勵向量。一旦板結(jié)構(gòu)的位移確定后，其他感興趣變量(如功率流、導(dǎo)納等)可以通過對位移函數(shù)直接進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)操作而得到。

2 數(shù)值算例與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 數(shù)值算例分析

采用第1節(jié)的理論模型，對不同邊界條件下圓板結(jié)構(gòu)的自由振動特性進(jìn)行計算分析，將文中方法的計算結(jié)果與文獻(xiàn)解和有限元法結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證文中方法和編寫程序的有效性與可靠性。在仿真模型中，圓板結(jié)構(gòu)材料特性為：E=2.1×1011Pa，μ=0.3，ρ=7 850 kg/m3。由文中的物理模型描述可知，彈性邊界條件可以通過改變邊界約束彈簧剛度值而簡單獲得。對固支邊界條件，可以將所有約束彈簧剛度值設(shè)置為無窮大(在數(shù)值計算中，取為1013)即可，而振動位移場容許函數(shù)的級數(shù)截斷均取為M=N=12。

自由邊界條件代表了模型驗(yàn)證的一種經(jīng)典，但極具挑戰(zhàn)性的邊界條件。表1給出了自由邊界條件下圓板前6階最小無量綱頻率參數(shù)(Ω=ωa2(ρh/D)1/2。作為參考數(shù)據(jù)，文獻(xiàn)[15]和[16]的計算結(jié)果也列在表1中。從表中的數(shù)據(jù)對比分析可知，文中方法計算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]和[16]方法求解結(jié)果吻合良好。

表1 自由邊界條件圓板前6階最小頻率參數(shù)Ω

Tab.1 The lowest six natural frequency parametersΩfor circular plate with free boundary condition

模態(tài)階次文中方法文獻(xiàn)[15]文獻(xiàn)[16]15.3565.3575.35828.9989.0029.003312.43512.43312.439420.47520.46620.475521.81321.82021.835633.49133.46333.495

表2列出了不同旋轉(zhuǎn)約束剛度Kr下簡支圓板前6階最小無量綱頻率參數(shù)Ω。Kr=0和1013時，邊界條件分別為簡支和固支。通過表2的對比分析可知，文中方法計算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果吻合程度較高。圖2繪制了Kr=105時圓板前4階模態(tài)振型情況。

表2 不同旋轉(zhuǎn)約束剛度Kr下簡支圓板前6階最小頻率參數(shù)Ω

Tab.2 The lowest six natural frequency parametersΩfor simply supported circular plate with variousKr

Kr模態(tài)階次12345604.93213.89625.61229.70939.95648.478(4.935)(13.898)(25.613)(29.719)(39.957)(48.479)104.93613.89825.61329.72139.95848.4791035.01113.96325.67429.77940.01748.5371057.98517.35829.33533.56043.86452.531101110.21621.25934.87339.75951.02960.827101310.21621.25934.87339.75951.02960.827(10.216)(21.260)(34.877)(39.771)(51.031)(60.829)()括號內(nèi)的結(jié)果引自文獻(xiàn)[16]。

由第1節(jié)理論模型分析可知，文中構(gòu)建的分析模型不僅可以適用于勻質(zhì)邊界條件和彈性邊界，還可用于局部約束情況。因此，最后給出一個局部彈性邊界約束條件的算例，在r=a邊界存在局部勻質(zhì)彈性約束，約束區(qū)間為(π/3, π)，而彈簧剛度值為Kr=kt=106。表3給出了局部彈性約束下圓板結(jié)構(gòu)前6階固有頻率，ABAQUS的計算結(jié)果也列在表3中作為參考數(shù)據(jù)。

從表3的對比分析可以發(fā)現(xiàn)，兩組計算結(jié)果之間吻合程度良好，最大相對偏差僅為0.608%，滿足相關(guān)工程實(shí)際應(yīng)用的需求。圖3為圓板結(jié)構(gòu)前4階模態(tài)振型圖，同時也列出了ABAQUS分析獲得的模態(tài)振型圖，從而驗(yàn)證了文中方法對局部彈性約束結(jié)構(gòu)振型求解的準(zhǔn)確性。

圖2 Kr=105時簡支圓板前4階模態(tài)振型Fig.2 The first fourth mode shapes for simply supported circular plate with Kr=105

圖3 (π/3, π)弧彈性約束(Kr=kt=106)圓板前4階模態(tài)振型(第1行為文中方法結(jié)果，第2行為ABAQUS分析結(jié)果)Fig.3 The first fourth mode shapes of circular plate (with the arc (π/3,π) elastic restraint, Kr=kt=106): the first row is calculated by present method; the second row is calculated by ABAQUS

表3 (π/3, π)弧彈性支撐圓板前6階固有頻率(Kr=kt=106)

Tab.3 The first six natural frequencies for circular plate with the arc (π/3, π) elastic restraintKr=kt=106

模態(tài)階次fSGM/HzfABAQUS/Hz偏差/%12.9972.9800.56026.9917.0320.579314.15114.1960.317421.19221.0640.608523.70323.7000.013634.09234.0020.265

2.2 圓板橫向自由振動實(shí)驗(yàn)

圖4 圓板振動實(shí)驗(yàn)裝置Fig.4 Vibration experiment setup of circular plate

為了從實(shí)驗(yàn)角度對圓板橫向振動進(jìn)行研究，搭建如圖4所示的實(shí)驗(yàn)臺架。將半徑為126.95 mm、厚度為5.68 mm的圓板，通過邊緣位置的兩個細(xì)小吊孔，采用橡皮繩連接后吊掛于支架上來實(shí)現(xiàn)橫向振動的自由邊界條件。在實(shí)驗(yàn)過程中，采用力錘在圓板表面沿垂直于圓板平面方向進(jìn)行敲擊，以激起圓板橫向振動的彎曲波分量。圓板表面徑向和周向分別劃分為4和16等份，加上圓心處的1個測點(diǎn)，共計65個測點(diǎn)。依次在每一位置點(diǎn)處采用壓電式加速度傳感器DH131拾取力錘敲擊所激起的彎曲振動響應(yīng)信號，力錘和加速度計的輸出信號則用多通道數(shù)據(jù)采集分析儀DH5922來采集，最后通過模態(tài)分析計算，獲得圓板結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。模態(tài)測試結(jié)果如表4所示。模態(tài)振型分布測量與仿真結(jié)果部分對比情況如圖5所示。

表4 自由圓板前6固有頻率預(yù)測與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

Tab.4 Comparisons of the first six natural frequencies of circular plate with free boundary conditions between the predicted and test results

模態(tài)階次fSGM/Hzfexperiment/Hz偏差/%1481.97482.340.082809.69793.132.0931119.181072.124.3741841.921809.031.8251964.151992.291.41

圖5 圓板橫向振動模態(tài)振型實(shí)驗(yàn)與預(yù)測結(jié)果對比(第1行為測試結(jié)果，第2行為預(yù)測結(jié)果)Fig.5 Comparisons of vibration mode shapes of the circular plate between measured and predicted results (The first row is the measured results, the second row is obtained by the present method)

從表4的對比情況可知，兩種結(jié)果的吻合程度良好，再次驗(yàn)證了文中構(gòu)建的分析模型的正確性。從振型對比圖可以看出，除了個別測點(diǎn)的振動幅值過大或過小外，兩種振型的形狀和變化趨勢基本保持一致。由于在模態(tài)實(shí)驗(yàn)過程中敲擊的輕重、偏離節(jié)點(diǎn)位置和敲擊過程中導(dǎo)致加速度傳感器的微幅移動均會使獲得的測量數(shù)據(jù)與實(shí)際振動情況之間存在著一定的數(shù)據(jù)偏差，且實(shí)驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)值仿真結(jié)果那樣光滑均勻。

3 結(jié) 論

1) 彈性邊界支撐條件下圓板結(jié)構(gòu)橫向自由振動位移場容許函數(shù)可表示為一種通用的改進(jìn)三角級數(shù)形式。

2) 對級數(shù)進(jìn)行相應(yīng)截斷后，隨著級數(shù)截斷項(xiàng)數(shù)的增加，計算結(jié)果快速收斂，并且具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。

3) 當(dāng)改變邊界條件時，文中方法不需重新推導(dǎo)及編程，只需改變邊界約束彈簧剛度即可快速求解圓板橫向自由振動特性。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.05.026

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51505445);中國工程物理研究院重點(diǎn)學(xué)科資助項(xiàng)目(計算固體力學(xué))

2015-08-10；

2015-10-30

TH113; TB53

石先杰，男，1985年7月生，博士、工程師。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動與噪聲控制等。曾發(fā)表《任意邊界條件下環(huán)扇形板面內(nèi)振動特性分析》(《振動工程學(xué)報》2014年第27卷第1期)等論文。

E-mail: 411shixj@caep.cn