江蘇省海門市能仁中學(xué) 花永平

橫向聯(lián)系，縱向延伸
——例談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識(shí)點(diǎn)化和拓展

江蘇省海門市能仁中學(xué) 花永平

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是單一、獨(dú)立的個(gè)體，從數(shù)學(xué)方面來分析，數(shù)學(xué)每個(gè)知識(shí)與技能之間都是精密聯(lián)系、融會(huì)貫通、相輔相成的。從學(xué)術(shù)上面分析，數(shù)學(xué)和其他學(xué)科之間又是相輔相成的。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)實(shí)踐中注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科間的聯(lián)系，達(dá)成橫向聯(lián)系，縱向延伸的效果，最終促使學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升，學(xué)習(xí)能力的提升。

橫向；縱向；聯(lián)系；延伸

數(shù)學(xué)學(xué)科作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，雖然由很多微小的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成，但是知識(shí)點(diǎn)不是孤立的，它們之間有關(guān)聯(lián)，有類比，有拓展，有延伸。

一、教學(xué)小片段

1.人教版七年級(jí)上冊中線段中點(diǎn)定義和推理教學(xué)。

把紙條對(duì)折，找出它的中點(diǎn)。（操作層面）

若線段上的一點(diǎn)將線段平均分為兩份，這樣的點(diǎn)叫作線段的中點(diǎn)。（文字語言）

若M為線段AB上的點(diǎn)，且AM=BM，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)。即因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，所以。（符號(hào)語言）

2.定義本質(zhì)：揭示了位置和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。

3.基本應(yīng)用：母題：如圖1，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，AB=8，求AM的長。

教學(xué)設(shè)計(jì)：要求學(xué)生掌握一步推理：

4.變式一：如圖 2點(diǎn)C為線段AB上的任意一點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)。AB=8，求MN的長。

變式二：接變式一，如果點(diǎn)C為直線AB上的任意一點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)。AB=8，求MN的長。分類討論：點(diǎn)C在線段AB上或者在它的延長線上。

①C在線段AB上，如變式一。

二、橫向聯(lián)系

與線段等價(jià)的一個(gè)幾何圖形為角，與線段中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是角的平分線，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中采用類化學(xué)習(xí)方式對(duì)角平分線的相關(guān)計(jì)算作出研究。

類似變式一，如圖4：OC為∠AOB內(nèi)部一射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB=80°。求∠MON的度數(shù)。

類似變式二，OC為形內(nèi)（如圖4），點(diǎn)OC在形外：

①當(dāng)OC在OB的下方，如圖5-1，

②當(dāng)OC在OA的上方，如圖5-2，

百密還有一疏，當(dāng)∠BOC和∠AOC均為鈍角時(shí)，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？如圖5-3，∠MON=∠MOC+∠NOC

由此可以看出，它與線段中點(diǎn)既有統(tǒng)一的一面，也有互補(bǔ)的一面，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，更應(yīng)該關(guān)注在形的不同概念之間揭示的不同的數(shù)量關(guān)系。

三、縱向延伸

在線段雙重中點(diǎn)的學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)，不論C點(diǎn)在線段AB上還是在延長線上，我們均有兩中點(diǎn)之間的距離與原有線段的關(guān)系。即MN=AB.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就可以做出一個(gè)大膽的猜測，若點(diǎn)C不是直線上的任意一點(diǎn)呢，結(jié)論是否依然成立呢？

1.對(duì)學(xué)習(xí)思維的跳躍和呈現(xiàn)，很多同學(xué)有點(diǎn)驚訝，其實(shí)，教學(xué)本身就是不斷發(fā)散和發(fā)展的過程，當(dāng)點(diǎn)C為平面上的任意一點(diǎn)時(shí)，如圖6，M、N為AB、AC的中點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，MN=AB，并且MN∥AB。于是又有了新的發(fā)現(xiàn)：不僅僅存在數(shù)量關(guān)系，而且和存在相應(yīng)的位置有關(guān)系。（三角形中位線定理）2.如圖7，若S為平面ABC外一點(diǎn)，M、N、P分別為SA，SB，SC的中點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)：

（1）MN∥AB，MP∥AC，NP∥BC；

（2）平面PMN∥平面ABC；

（3）△MPN與△ABC關(guān)于點(diǎn)C成位似，且位似比為1：2；

（4）S△MPN=S△ABC。

四、拓展應(yīng)用

攝影組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米，到C市由于堵車中午才趕到了小鎮(zhèn)，只行駛了計(jì)劃的三分之一。過了小鎮(zhèn)汽車趕了400千米，司機(jī)說再走從C市到這的二分之一就到達(dá)目的地了。AB兩市相距幾千米？

基本解析：可以用方程；也可以用推理。重點(diǎn)關(guān)注中點(diǎn)和數(shù)量關(guān)系。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本真在于總結(jié)和歸納，觸類旁通，解決一類問題是學(xué)好數(shù)學(xué)的根本。一個(gè)知識(shí)點(diǎn)既要看到它的基本點(diǎn)，又要看到它的生長點(diǎn)，更要看到它的拓寬點(diǎn)，所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是從小世界去看待大問題，只有這樣堅(jiān)持不懈，才會(huì)得以學(xué)習(xí)的發(fā)展和提高。