孫曉玲

（合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥 230601）

基于區(qū)間值相似度的加權(quán)模糊推理

孫曉玲

（合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥 230601）

在相似度的方法用于區(qū)間值模糊推理的過(guò)程中，為合理地計(jì)算區(qū)間值加權(quán)模糊產(chǎn)生式規(guī)則的輸入事實(shí)與規(guī)則前件之間的相似度，給出區(qū)間值相似度的計(jì)算公式.在此基礎(chǔ)上提出基于區(qū)間值相似度的加權(quán)模糊推理算法.為體現(xiàn)規(guī)則前件斷言對(duì)于規(guī)則結(jié)果的重要性程度，在區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則中加入了權(quán)值參數(shù).為了采用該算法，給出區(qū)間值排序的方法.最后用實(shí)例說(shuō)明所給出的推理算法更符合實(shí)際需要，可操作性強(qiáng)，便于應(yīng)用.

區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則；區(qū)間值相似度；加權(quán)模糊推理；區(qū)間值模糊推理；區(qū)間值排序

0　引言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們碰到的知識(shí)和信息的不確定性和不完備性的持續(xù)增加，單純用數(shù)值來(lái)處理這些信息是很不合理的，而區(qū)間值可以用來(lái)表示這些信息，因此近年來(lái)關(guān)于區(qū)間值有關(guān)問(wèn)題的研究正受到很多研究者的關(guān)注.區(qū)間值模糊推理是區(qū)間值模糊集的推理，在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)對(duì)象的隸屬度往往不容易確定，而區(qū)間值隸屬度相對(duì)而言較易確定，并且區(qū)間值模糊推理方法可以減少推理過(guò)程中模糊信息的丟失.曾文藝等提出了模糊產(chǎn)生式規(guī)則的推理方法［1］，給出了加權(quán)模糊匹配函數(shù)和區(qū)間值排序算法.李凡、符海東等給出了區(qū)間數(shù)相似度的計(jì)算公式與區(qū)間數(shù)排序的可能度公式之間的關(guān)系，根據(jù)區(qū)間數(shù)與目標(biāo)區(qū)間數(shù)相似程度的不同，提出新的對(duì)區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序的方法［2-3］.Zhang等人給出基于S-OWA算子的加權(quán)區(qū)間值模糊推理算法［4］，該算法采用S-OWA算子為區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則前件各個(gè)命題分配權(quán)值，算法較靈活簡(jiǎn)單.區(qū)間數(shù)相似度的計(jì)算公式與區(qū)間數(shù)排序的可能度公式之間的關(guān)系，根據(jù)區(qū)間數(shù)與目標(biāo)區(qū)間數(shù)相似程度的不同，提出新的對(duì)區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序的方法［5-7］.

由于在模糊推理中，規(guī)則前件對(duì)推理的支持程度不同，對(duì)規(guī)則所做的貢獻(xiàn)不同，因此前件中各個(gè)命題的重要程度也不一樣，但已有文獻(xiàn)中將區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則的前件與事實(shí)命題匹配時(shí)較少考慮給規(guī)則的前件各個(gè)命題分配權(quán)值，這樣就不能夠體現(xiàn)前件中的不同命題對(duì)于規(guī)則結(jié)果的重要性程度，另外，已有文獻(xiàn)對(duì)于基于多層模糊推理的區(qū)間值模糊推理方法也沒(méi)有涉及.為了更好的模擬人類的決策思維和推理過(guò)程，本文提出基于區(qū)間值相似度的加權(quán)模糊推理算法，首先給出區(qū)間值加權(quán)模糊產(chǎn)生式規(guī)則的定義，然后給出區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則的前件斷言與結(jié)果之間的相似度的計(jì)算方法，最后基于此方法給出區(qū)間值加權(quán)模糊推理結(jié)果的計(jì)算方法.

1　區(qū)間值的概念與區(qū)間值排序

回顧區(qū)間值的相關(guān)概念，給出區(qū)間值相似度的計(jì)算公式以及區(qū)間值排序的方法.

1.1區(qū)間值的定義

隸屬函數(shù)經(jīng)常被用來(lái)描述模糊集合，但由于經(jīng)常存在模糊集隸屬函數(shù)對(duì)事物的本質(zhì)規(guī)律描述不清楚，或者由于決定隸屬函數(shù)的因素過(guò)多，導(dǎo)致其形式過(guò)于復(fù)雜，計(jì)算出的隸屬度與實(shí)際值相差很遠(yuǎn).但在很多情況下，區(qū)間值隸屬函數(shù)較容易確定，且表達(dá)形式簡(jiǎn)單，更符合實(shí)際需要，因此被大量的采用.近年來(lái)，有較多關(guān)于區(qū)間值模糊推理的研究，主要有D-S證據(jù)，可能性理論，粗糙集，Vague集等.下面是關(guān)于區(qū)間值的一些基本概念.

定義1 記a=［a1，a2］=｛x|0≤a1≤x≤a2≤1｝，則稱a為［0，1］上得一個(gè)區(qū)間值.特別地，若a1=a2，則a退化為一個(gè)實(shí)數(shù).［0，1］上全體區(qū)間值構(gòu)成的集合記作I，其中I=｛［a1，a2］，a1≤a2，為區(qū)間值a的中心.

1.2區(qū)間值相似度

將2個(gè)區(qū)間值按照某特性進(jìn)行比較時(shí)，通常可通過(guò)區(qū)間值的相似度或距離來(lái)體現(xiàn)比較的結(jié)果.區(qū)間值相似度是區(qū)間值模糊推理的基礎(chǔ)，表示2個(gè)區(qū)間值的接近程度.本節(jié)將給出區(qū)間值相似度的定義、計(jì)算公式以及相關(guān)定理.

定義2 設(shè)有區(qū)間值a=［a1，a2］，b=［b1，b2］，則稱a與b之間的匹配程度為它們的相似度.

定義3 設(shè)有區(qū)間值a=［a1，a2］，b=［b1，b2］，且設(shè)la=a2-a1，lb=b2-b1，則可用如下公式對(duì)區(qū)間值a和b的相似度進(jìn)行計(jì)算

從幾何意義上看，sa，b可表示為，其中，|a∩b|，|a∪b|分別為a與b相交部分和a與b相并部分的長(zhǎng)度，“∩”和“∪”分別表示“交”和“并”運(yùn)算.

根據(jù)上面定義可得區(qū)間值相似度有如下性質(zhì)：

定理1 sa，b=1當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a1=b1，a2=b2，此時(shí)稱a與b完全相似.

定理2 對(duì)任意的3個(gè)區(qū)間值a，b，c，有如下結(jié)論成立：

1）（自反性）：s（a，a）=1；

2）0≤s（a，b）≤1，s（a，b）=1?a=b；

3）（對(duì)稱性）：s（a，b）=s（b，a）；

4）（傳遞性）：s（a，b）=1，s（b，c）=1，則s（a，c）=1，即：如果a和b完全相似，b和c完全相似，則a和c完全相似［5-6］.

1.3區(qū)間值排序

區(qū)間值的序關(guān)系是區(qū)間值理論的基礎(chǔ)，在模糊決策中，常利用模糊量特別是模糊數(shù)對(duì)備擇對(duì)象建模，因此備擇對(duì)象的選擇和排序可最終歸結(jié)為模糊量的選擇或排序.由于模糊量本無(wú)自然序，所以需要尋找合適的方法確定備擇對(duì)象的序關(guān)系，區(qū)間數(shù)［8-9］是模糊數(shù)的一種，討論其排序就很有必要.

一般可以根據(jù)均值和半徑來(lái)判斷2區(qū)間值的大小，均值越大且半徑越小的區(qū)間值越大，若均值相等，則半徑越小的區(qū)間數(shù)越大.還可以采用均值與半徑的商作為區(qū)間值排序的依據(jù)，e越大，則相應(yīng)的區(qū)間值越大.

2　區(qū)間值加權(quán)模糊推理

2.1區(qū)間值模糊量詞與區(qū)間值模糊謂詞的概念

模糊推理中，常用模糊語(yǔ)言值來(lái)表示模糊命題的確定性程度或相應(yīng)事件發(fā)生的可能性程度.所謂模糊語(yǔ)言值是指表示大小、長(zhǎng)短、高矮、輕重、快慢、多少等程度的一些詞匯.之所以提出用模糊語(yǔ)言值來(lái)表示程度的不同，主要是由于這樣做更加符合人們表述問(wèn)題的習(xí)慣.用這種方法表示的模糊量詞稱為區(qū)間值模糊量詞.對(duì)于模糊謂詞，將其隸屬函數(shù)也用區(qū)間值表示，稱之為區(qū)間值模糊謂詞.常見模糊量詞的區(qū)間值［3］如表1所示.

2.2區(qū)間值加權(quán)模糊產(chǎn)生式規(guī)則

在區(qū)間值模糊集理論的基礎(chǔ)上，我們給出區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則的一般形式：

規(guī)則R：if（p1，t1，w1）and（p2，t2，w2）and…and，（pn，tn，wn）then Q（CF x）

其中規(guī)則前件中的p1，p2，…，pn分別表示斷言，每個(gè)斷言可以包括模糊量詞和模糊謂詞，或兼而有之.t1，t2，…，tn分別表示斷言pi（1≤i≤n）的確定性程度.由于在模糊推理中，規(guī)則前件對(duì)推理的支持程度不同，對(duì)規(guī)則所做的貢獻(xiàn)不同，因此前件中各個(gè)命題的重要程度也不一樣，wi是用來(lái)表示斷言pi對(duì)于規(guī)則結(jié)果Qi的重要性程度的權(quán)值.根據(jù)專家關(guān)于每個(gè)斷言對(duì)產(chǎn)生式規(guī)則后件影響程度的經(jīng)驗(yàn)值或統(tǒng)計(jì)值，給規(guī)則R賦予權(quán)值w=｛w1，w2，…，wn｝，wi=1表示完全有影響，wi=0.5表示影響程度為中等，wij= 0表示影響程度是無(wú)，常見斷言影響程度的權(quán)重定義［1］如表2所示，若規(guī)則前件僅有一個(gè)斷言，則不需要給該斷言賦予權(quán)值.Qi表示規(guī)則R的后件，x為確定性因子CF的值，表示規(guī)則R的確定性程度.

表1　常見模糊量詞的區(qū)間值

表2　常見斷言影響程度權(quán)重

2.3區(qū)間值加權(quán)模糊推理算法

在知識(shí)基中應(yīng)用區(qū)間值加權(quán)模糊推理可以遵循以下步驟計(jì)算推理的結(jié)果及其確定性程度的區(qū)間值：

由圖5可知，摻加粉煤灰對(duì)混凝土在28 d時(shí)的水、氣體滲透系數(shù)的影響大體規(guī)律是一致的。摻量在30 %以內(nèi)，隨著粉煤灰的摻量增加，混凝土水和氣體滲透系數(shù)均隨粉煤灰摻量的增加有較明顯的降低，表明粉煤灰能有效地降低混凝土的水與氣體滲透性。而粉煤灰摻量超過(guò)了30 %后，則混凝土的水與氣體滲透性有所增加。因此，大摻量粉煤灰不利于降低混凝土的水和氣體滲透性[4,9]。但總體上，摻加粉煤灰之后，混凝土的水和氣體滲透性均低于對(duì)比組1的，其中，降低混凝土氣體滲透性的最佳摻量是30 %，而降低混凝土水滲透性的最佳摻量是40 %。

步驟1：由領(lǐng)域?qū)＜医o出一組帶有權(quán)值，閾值參數(shù)的區(qū)間值加權(quán)模糊產(chǎn)生式規(guī)則以及匹配事實(shí)；

步驟2：根據(jù)式（1）計(jì)算匹配事實(shí)pi′（1≤i≤n）分別與區(qū)間值加權(quán)模糊產(chǎn)生式規(guī)則Ri（1≤i≤n）的n個(gè)前件斷言pj（1≤j≤n）之間的相似度sij（pi′，pj），再根據(jù)公式

計(jì)算這些相似度的整體相似度，并與閾值所給λ作比較，若SWi≥λ，則規(guī)則激發(fā)，若SWi＜λ，則規(guī)則不激發(fā).這里參數(shù)λ是閾值，用于指出相應(yīng)知識(shí)在什么情況下可被應(yīng)用，若可以，則激發(fā)規(guī)則，推出結(jié)果，并計(jì)算出結(jié)果的確定性因子.

步驟3：在多個(gè)規(guī)則的知識(shí)庫(kù)中，若根據(jù)步驟2判斷出能夠激發(fā)的規(guī)則有多條，可利用公式

計(jì)算出各條規(guī)則結(jié)果的確定性程度的區(qū)間值，最后利用區(qū)間值排序算法，得到最優(yōu)區(qū)間，從而做出決策.

3　算法分析

將2個(gè)區(qū)間值模糊集按照某特性進(jìn)行比較時(shí)，通常可通過(guò)區(qū)間值模糊集的相似度或距離來(lái)體現(xiàn)比較的結(jié)果，區(qū)間值相似度是區(qū)間值模糊推理的基礎(chǔ).為采用區(qū)間值加權(quán)模糊產(chǎn)生式規(guī)則進(jìn)行推理，文獻(xiàn)［2-3］給出了表示區(qū)間值加權(quán)模糊產(chǎn)生式規(guī)則的前件與匹配事實(shí)相似程度的模糊匹配函數(shù)，通過(guò)將匹配函數(shù)值與閾值作比較確定可激發(fā)的規(guī)則，最后計(jì)算推理結(jié)果.這里匹配函數(shù)的涵義并不明確，不符合相似度的性質(zhì).

本文所給的區(qū)間值加權(quán)模糊推理算法是在式（1）基礎(chǔ)上給出的，該算法由于考慮了區(qū)間值模糊推理過(guò)程中區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則前件對(duì)于推理結(jié)果的重要性程度，因此當(dāng)區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則有多個(gè)前件時(shí)，可根據(jù)式（2）計(jì)算考慮權(quán)值條件下多個(gè)前件與匹配事實(shí)的整體相似度，由整體相似度與閾值比較的結(jié)果確定可激發(fā)的規(guī)則從而計(jì)算可激發(fā)規(guī)則確定性程度的區(qū)間值并最終做出決策.該推理算法更加接近實(shí)際推理并且推理過(guò)程更加高效.

4　算例

汽車發(fā)動(dòng)機(jī)所有可能的故障表現(xiàn)為：

1）發(fā)動(dòng)機(jī)不能啟動(dòng)；2）發(fā)動(dòng)機(jī)加速不良；3）發(fā)動(dòng)機(jī)怠速不良；4）發(fā)動(dòng)機(jī)怠速過(guò)高；5）發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速不穩(wěn)；6）發(fā)動(dòng)機(jī)回火.

這些故障表現(xiàn)的全體構(gòu)成集合為：

導(dǎo)致這些故障的原因分別為：

1）蓄電池電壓過(guò)低；2）點(diǎn)火時(shí)間過(guò)晚；3）進(jìn)氣系統(tǒng)漏氣；4）節(jié)氣門被卡不能關(guān)閉；5）空氣濾清器濾芯堵塞；6）混合氣過(guò)稀.

這些故障原因構(gòu)成的集合為：

發(fā)動(dòng)機(jī)故障表現(xiàn)所具有的確定性程度分別為：

領(lǐng)域?qū)＜腋鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)給出各前件斷言的權(quán)重為：

區(qū)間值加權(quán)模糊產(chǎn)生式規(guī)則的閾值為：λ=0.5.

知識(shí)庫(kù)中含有以下6條規(guī)則R1，R2，…，R6分別為：

用戶輸入的與規(guī)則前件斷言匹配的事實(shí)分別為：

根據(jù)式（1）可以分別計(jì)算出匹配事實(shí)p1′與第1條規(guī)則R1的各個(gè)前件斷言匹配后得到的相似度分別為：

這些相似度的整體相似度為

由上面結(jié)果可知規(guī)則R3，R5，R6將被激發(fā)執(zhí)行，得到規(guī)則后件結(jié)果的確定性程度為：

用1.3中介紹的區(qū)間值排序的方法對(duì)這3個(gè)區(qū)間值進(jìn)行排序可得：

由計(jì)算結(jié)果可知最大區(qū)間值為Q6=［0.536，0，67］，這表示故障最有可能是由原因q2導(dǎo)致，其確定性程度的區(qū)間值為［0.536，0，67］.

5　結(jié)束語(yǔ)

為研究區(qū)間值加權(quán)模糊推理，給出了計(jì)算區(qū)間值之間的相似度計(jì)算公式，以及區(qū)間值排序的方法，提出的區(qū)間值加權(quán)模糊推理算法可以計(jì)算出區(qū)間值加權(quán)模糊推理的結(jié)果以及推理結(jié)果的確定性程度的區(qū)間值.由于在區(qū)間值模糊產(chǎn)生式規(guī)則中加入了權(quán)值參數(shù)，推理結(jié)果能夠體現(xiàn)規(guī)則中的不同前件斷言對(duì)規(guī)則結(jié)果的重要性程度.另外區(qū)間值加權(quán)模糊推理方法中還考慮了多規(guī)律知識(shí)系統(tǒng)中做決策時(shí)的最優(yōu)選擇問(wèn)題，給出的方法可以使推理更接近實(shí)際情況，便于應(yīng)用.

［1］ 曾文藝，于福生，李洪興.區(qū)間值模糊推理［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2007，21（1）：68-74.

［2］ 李凡，徐章艷.一個(gè)有效的區(qū)間值模糊推理方法［J］.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào)，2000，18（4）：327-330.

［3］ 符海東，雷大江.區(qū)間值加權(quán)模糊推理方法［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2005，41（6）：57-59.

［4］ Zhang Q S，Li B.Multidimensional interval-valued fuzzy reasoning approach based on weighted similarity measure［J］. Fuzzy Information and Engineering，2011，3（1）：45-57.

［5］ Chen S M，Lee L W，Shen VRL.Weighted fuzzy interpolative reasoning systems based on interval type-2 fuzzy sets［J］.Information Sciences，2013，248（6）：15-30.

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［7］ 蘭繼斌，胡明明，葉新苗.基于相似度的區(qū)間數(shù)排序［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2011，32（4）：1419-1421.

［8］ 李大東.區(qū)間數(shù)的排序和它的一些應(yīng)用［D］.成都：西南交通大學(xué)，2004.

［9］ 董九英.高校教師教學(xué)質(zhì)量評(píng)估的區(qū)間數(shù)方法［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（17）：246-248.

Weighted Fuzzy Reasoning Based on Interval Value Similarity Measure

SUN Xiao-ling
（School of Mathematics and Statistics，Hefei Normal University，Hefei Anhui 230601，China）

In the fuzzy inference method，similarity-based fuzzy reasoning method is a kind of simple and important method.This method is used for the interval valued fuzzy inference process.For the purpose of calculating the similarity measure between the input facts and antecedent portion of the interval value weighted fuzzy production rules，interval value similarity measure calculation formula is proposed.On the basis of the interval valued similarity measure，a weighted fuzzy reasoning algorithm is proposed.The weight parameter is added to the interval valued fuzzy production rules to reflect the importance degree of the antecedent assertion for the reasoning result.In order to use the algorithm，a kind of interval value ranking method is proposed.Finally，an example is illustrate to show the proposed reasoning algorithm is more consistent with the actual needs，strong operability and convenient for application.

interval valued fuzzy production rules；interval value similarity measure；weighted fuzzy reasoning；interval valued fuzzy reasoning；interval value ranking

TP273+4

A

1671-6876（2016）03-0193-06

［責(zé)任編輯：李春紅］

2016-04-15

安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目（KJ2016A580）

孫曉玲（1977-），女，安徽合肥人，副教授，碩士，研究方向?yàn)椴淮_定性模糊推理等.E-mail：sxl-hftc@126.com