李 娟，周菊玲

（新疆師范大學數(shù)學科學學院，新疆烏魯木齊 830017）

兩兩NQD序列下Kumaraswamy分布的經(jīng)驗Bayes檢驗問題

李 娟，周菊玲

（新疆師范大學數(shù)學科學學院，新疆烏魯木齊 830017）

研究了同分布兩兩NQD樣本下Kumaraswamy分布的經(jīng)驗Bayes（EB）單側檢驗問題.利用核估計構造了參數(shù)相應的經(jīng)驗Bayes（EB）單側檢驗函數(shù)，在適當?shù)臈l件下證明了所提出的EB檢驗函數(shù)是漸近最優(yōu)的，并獲得了EB檢驗函數(shù)的收斂速度.

兩兩NQD樣本；kumaraswamy分布；核估計；經(jīng)驗Bayes檢驗函數(shù)

0　引言

經(jīng)驗Bayes（EB）［1］由Robbins提出來，兩兩NQD樣本［2］的EB檢驗問題也隨之提出.在兩兩NQD樣本下某分布的EB檢驗問題已經(jīng)有了些許研究.王亮等研究了兩兩NQD序列下線性指數(shù)分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題［3］；邵敏娜研究了兩兩NQD序列下非指數(shù)分布族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題［4］；杜偉娟等究了兩兩NQD序列下Burr Type XII分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題［5］；邵明娜研究了兩兩NQD序列下線性指數(shù)分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes雙邊檢驗等［6］；黃金超等研究了兩兩NQD序列下威布爾分布族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題［7］.

定義1［2］隨機變量X和Y稱為是NQD的，若關于?x，y∈R，有P（X＜x，Y＜y）≤P（X＜x）P（Y＜y）.隨機變量序列｛Xn，n≥1｝稱為是兩兩NQD的，若對于任意的自然數(shù)i，j，且i≠j，Xi與Xj是. NQD的

本文考慮如下模型：設隨機變量的條件概率密度為

考慮由式（1）給出的模型，其中θ是未知參數(shù)，α為已知的正常數(shù).其樣本空間為x∈Ω=

首先，考慮如下的單側檢驗問題H0：θ≤θ0?H1：θ＞θ0，其中θ0為一給定的常數(shù).

對于上述的假設檢驗問題，設損失函數(shù)為

其中a是大于0的常數(shù)，d｛d0，d1｝是行動空間，d0表示接受，H0，d1表示拒絕H0，I（A）為A事件的示性函數(shù).

設參數(shù)θ的先驗分布G（θ）且為未知.隨機判決函數(shù)為δ（x）=P（接受H0|X=x），則δ（x）的風險函數(shù)為

這里

則當先驗分布G（θ）已知且δ（x）=δG（x）時，式（6）可以達到.但G（θ）未知，δG（x）無實用價值，因此本文考慮采用經(jīng)驗Bayes方法.

1　EB檢驗函數(shù)的構造

設｛X1，θ1｝，｛X2，θ2｝，…，｛Xn，θn｝和｛Xn+1，θn+1｝為同分布樣本，其中稱X1，X2，…，Xn為歷史樣本，Xn+1為當前樣本，它們有相同的密度函數(shù)f（x|θ），如式（1）定義：θi（i=1，2，…，n）與θ有共同的先驗分布G（θ），X1，X2，…，Xn，Xn+1為同分布弱平穩(wěn)兩兩NQD序列.構造β（x）的估計量，作如下的假定：

1）f（x）∈Cs，α，x∈R1，其中Cs，α表示R1中的一族s階導數(shù)存在（s≥3且為正整數(shù)），連續(xù)且絕對值不超過α的一族概率密度函數(shù).

2）若用f（0）（x）=f（x），f（i）（x）表示f（x）的第i階導數(shù)，利用核估計方法，對i=0，1，定義f（i）（x）的核估計為

這里｛hn｝為一列趨于0的正數(shù)序列，令Ki（x），i=0，1，為核函數(shù).則β（x）的估計量為

其中φ（x），ψ（x）由式（5）定義.則EB檢驗函數(shù)可相應的定義為

在本文中令En表示對隨機變量X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布求期望，則δn（x）的全面Bayes風險為

若有則稱δn為漸近最優(yōu)的EB檢驗函數(shù)；若有R（δn，G）-R（δG，G）=O（n-q），則稱EB檢驗函數(shù)δn的收斂速度的階為O（n-q）.

本文作如下假定：

（A1）Ki（x），i=0，1，是Borel可測的有界函數(shù)，在（0，1）之外為零且滿足下面的條件：

為了導出｛δn｝的漸進最優(yōu)性和收斂速度的階，引入如下引理.本文中令c0，c1，c2，…，表示與n無關的常數(shù)，即使在同一表達式也是如此.

引理1［8］設｛Xi：i=1，2，…，n｝為同分布弱平穩(wěn)兩兩NQD樣本序列，對于假設（A1），（A2）均成立，則有

2　主要結果

本節(jié)討論EB檢驗函數(shù)δn（x）的漸近最優(yōu)性和收斂速度.

定理1 設｛Xi：i=1，2，…，n｝為同分布弱平穩(wěn)兩兩NQD樣本序列，對于假設（A1），（A2）均成立，且

注 由定理2，當λ→1，s→∞時，參數(shù)θ的EB檢驗函數(shù)｛δn（x）｝的收斂速度可以任意接近

3　結語

研究了兩兩NQD序列下Kumaraswamy分布通過核估計構造了經(jīng)驗EB檢驗函數(shù)，證明了所提出的EB檢驗函數(shù)是漸近最優(yōu)的，并且得到了EB檢驗函數(shù)的收斂速度.

［1］ Proc Third Berkely Symp Math Statist Prob［M］.//Robbins H.An empirical Bayes approach to statistics.Berkeley：University of California，1955（1）：157-163.

［2］ Lehmann E L.Some concepts of dependence［J］.Ann Math Statist，1966，37（5）：1137-1153.

［3］ 王亮，師義民.兩兩NQD序列下線性指數(shù)分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題［J］.工程數(shù)學學報，2010，27（4）：599-604.

［4］ 邵敏娜.兩兩NQD序列下非指數(shù)分布族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題［J］.西南師范大學學報，2014，39（11）：30-34.

［5］ 杜偉娟，孫帆.兩兩NQD序列下Burr Type XII分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題［J］.河北工業(yè)大學學報，2012，41（5）：73-77.

［6］ 邵明娜，劉國軍.兩兩NQD序列下線性指數(shù)分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes雙邊檢驗［J］.蘭州理工大學學報，2013，39（4）：150-153.

［7］ 黃金超，郭棟，許慶兵.兩兩NQD序列下威布爾分布族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題［J］.伊犁師范學院學報，2014，8（1）：9-14.

［8］ 孫桂平.兩兩NQD序列密度函數(shù)核估計的相合性［J］.河北北方學院學報，2009，25（4）：16.

［9］ 陳玲，韋來生.連續(xù)型單指數(shù)參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問T題：NA樣本情形［J］.應用數(shù)學，2004，17（2）：263-270.

Empirical Bayes Test for the Parameter of Kumaraswamy Distribution with NQD Samples

LI Juan，ZHOU Ju-ling
（School of Mathematical Science，Xinjiang Normal University，Urumqi Xinjiang 830017，China）

In this paper，the Empirical Bayes（EB）one-side test rules for the parameter of Kumaraswamy distribution are constructed by using the kernel estimation with pairwise NQD samples.The asymptotically optimal property and convergence rates for the proposed EB test rules are obtained under suitable conditions.

pairwise NQD samples；kumaraswamy distribution；kernel estimation；empirical Bayes test

0212.1

A

1671-6876（2016）03-0203-05

［責任編輯：李春紅］

2016-04-28

周菊玲（1968-），女，新疆烏魯木齊人，副教授，碩士，研究方向為概率論與數(shù)理統(tǒng)計.E-mail：326815649@qq.com