許德道

乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，作為五大運(yùn)算定律之一，它歷來(lái)備受關(guān)注，成為許多教師積極探索的主題。但由于其內(nèi)容本身的難度、教師教學(xué)方式的單一以及學(xué)生理解能力的局限，使得這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果常常不盡如人意。因而，對(duì)乘法分配律的教與學(xué)注入新的思考，尋找新的教學(xué)著力點(diǎn)，創(chuàng)新教學(xué)的方式與方法，探索具有實(shí)效的教學(xué)策略，改進(jìn)教學(xué)效果，具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義和較高的教學(xué)價(jià)值。

一、運(yùn)算定律的意義

1.運(yùn)算定律是建立數(shù)學(xué)大廈的基石

在數(shù)學(xué)中，研究運(yùn)算的性質(zhì)成為繼研究運(yùn)算定義之后最主要的基礎(chǔ)工作。在運(yùn)算的各類(lèi)性質(zhì)中，最基本的幾條性質(zhì)通常被稱(chēng)為“運(yùn)算定律”。五條運(yùn)算不僅適用于整數(shù)的加法和乘法，也同樣適用于有理數(shù)的加法和乘法。隨著數(shù)的范圍進(jìn)一步擴(kuò)展，在實(shí)數(shù)甚至復(fù)數(shù)的加法和乘法中，也仍然成立。由于其在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要意義和作用，加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律與乘法分配律被譽(yù)為“數(shù)學(xué)大廈的基石”。

2.運(yùn)算定律教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的重要途徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第二學(xué)段的“學(xué)段目標(biāo)”中提出：學(xué)生要掌握必要的運(yùn)算技能，能準(zhǔn)確地進(jìn)行運(yùn)算。在第二學(xué)段“課程內(nèi)容”中進(jìn)一步指出：探索并了解加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律及乘法對(duì)加法的分配律五大運(yùn)算定律，會(huì)應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便運(yùn)算。因而，乘法分配律有助于培養(yǎng)學(xué)生的簡(jiǎn)算意識(shí)，提高運(yùn)算能力。

二、乘法分配律的研究

1.乘法分配律教學(xué)的理論研究

（1）乘法結(jié)構(gòu)的研究

吉爾德·維格諾德從數(shù)學(xué)教育的角度，對(duì)加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)做了研究。他認(rèn)為：乘法結(jié)構(gòu)部分依賴(lài)加法結(jié)構(gòu)，這既為認(rèn)知與掌握加法、乘法提供了理論參考，同樣也為設(shè)計(jì)促進(jìn)乘法分配律深入理解的教學(xué)策略提供了有價(jià)值的意義參考。

（2）運(yùn)算定律奠基了數(shù)學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)家通過(guò)考查數(shù)及運(yùn)算在代數(shù)上最常利用的性質(zhì)，通過(guò)仔細(xì)觀(guān)察分析，歸結(jié)了十條，其中五條就是：加法適合交換律（a+b=b+a）、加法適合結(jié)合律[（a+b）+c=a+（b+c）]、乘法適合交換律（ab=ba）、乘法適合結(jié)合律[a（b+c）=ab+ac；（b+c）a=ba+ca]與乘法適合分配律a（b+c）=ab+ac，[（b+c）a=ba+ca]；近百年來(lái)，數(shù)學(xué)的發(fā)展都指出了包括這五條運(yùn)算定律在內(nèi)的十條性質(zhì)的極大重要性，以此為基礎(chǔ)，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的極大發(fā)展。如，數(shù)學(xué)中的“域”就是指每一個(gè)滿(mǎn)足這十條性質(zhì)的量的系統(tǒng)等；在國(guó)外，還有人做了有關(guān)學(xué)生運(yùn)算定律理解水平的研究，結(jié)果表明，學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解有利于學(xué)生理解乘法結(jié)合律；還有研究表明，9歲左右的兒童對(duì)于乘法分配律的掌握差于乘法交換律等。

（3）國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀

在國(guó)內(nèi)，楊曉映、何先友研究了不同問(wèn)題情境對(duì)四、六年級(jí)學(xué)生運(yùn)用乘法運(yùn)算定律解決問(wèn)題的影響。孫瑛等采用形動(dòng)研究法，以主題教研活動(dòng)的形式，對(duì)如何促進(jìn)學(xué)生理解乘法分配律等做了專(zhuān)題研究，強(qiáng)調(diào)：乘法分配律的學(xué)習(xí)要依托模仿，促進(jìn)理解；跳出原型，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)；還有教師以“課例研究”的方式對(duì)乘法分配律的課堂教學(xué)做了研究。黃劍慧對(duì)2012年版的人教版、北師大版、蘇教版與浙教版4套教材中“乘法分配律”例題做了比較研究，主要比較了例題內(nèi)容特點(diǎn)、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)思想等四方面的內(nèi)容。

2.乘法分配律教學(xué)的實(shí)踐研究

乘法分配律的教學(xué)探討，國(guó)內(nèi)雜志上發(fā)表文章，數(shù)量繁多，內(nèi)容豐富。筆者通過(guò)知網(wǎng)檢索、期刊查詢(xún)、著作選讀，并做了大致梳理，歸納起來(lái)，這些內(nèi)容主要涉及以下幾個(gè)方面：

（1）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)錄評(píng)析類(lèi)

就乘法分配律課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)，是大家討論最熱烈的話(huà)題，這部分文章的作者大多為一線(xiàn)教師或基層教研工作人員。因其數(shù)量太多，不再列舉，僅就共同特點(diǎn)做簡(jiǎn)略分析。它們一部分就備課做了探討。如：如何理解課程標(biāo)準(zhǔn)精神；如何組織教學(xué)內(nèi)容；如何設(shè)計(jì)教案。另一部分就課堂教學(xué)做了評(píng)價(jià)分析。如：課堂教學(xué)中教師、學(xué)生的表現(xiàn)情況；學(xué)生的學(xué)習(xí)效果等；對(duì)所表現(xiàn)出來(lái)的現(xiàn)象做歸因分析，并提出改進(jìn)策略。

（2）教學(xué)策略類(lèi)

課堂教學(xué)中如何實(shí)施乘法分配律的教學(xué)更有效、更高效，針對(duì)這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)有許多教研工作人員及一線(xiàn)教師做了實(shí)踐性探索。如：丁麗老師就自己如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行乘法分配律學(xué)習(xí)前測(cè)做了分析；孫暾老師對(duì)如何對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)前、后做檢測(cè)及其對(duì)比分析，找出普遍存在的錯(cuò)誤題目類(lèi)型，并對(duì)其原因作了分析；還有老師談到了乘法分配律課堂教學(xué)中的指導(dǎo)策略以及課堂教學(xué)的方式方法，如：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)乘法分配律等。

（3）教學(xué)反思類(lèi)

開(kāi)展乘法分配律的課例研究，促進(jìn)教師在反思中自我成長(zhǎng)，出現(xiàn)了大量的反思性課例研究報(bào)告。這部分作品大多就自己或他人在課堂教學(xué)中存在的普遍問(wèn)題做反思性探討，具有較高的參考價(jià)值。如：朱小平老師以蘇教版教材為例，就乘法分配律的教學(xué)，對(duì)“數(shù)學(xué)理解”“數(shù)學(xué)理解的層次”做了分析，并提出了促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)理解”的做法；徐希浩老師就如何指導(dǎo)學(xué)生分層建立數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)實(shí)質(zhì)理解做了反思等。

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