羅夢翔， 高明周， 蔡國平

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上?！?00240)

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機翼顫振的時滯反饋控制研究

羅夢翔， 高明周， 蔡國平

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240)

采用瞬時最優(yōu)方法對二元機翼顫振的時滯反饋控制進行研究。首先采用Lagrange方法建立機翼系統(tǒng)的顫振動力學(xué)模型，其中考慮了機翼俯仰剛度的立方非線性，然后采用瞬時最優(yōu)控制方法進行了非線性時滯反饋控制律的設(shè)計，最后通過數(shù)值仿真對控制方法的有效性進行了驗證。仿真結(jié)果顯示，時滯控制律能夠有效地抑制機翼的顫振。

機翼；顫振；瞬時最優(yōu)控制；時滯

飛行器顫振是在其本身運動引起的氣動力的激勵下發(fā)生的一種自激振動。當(dāng)飛行器的飛行速度超過臨界顫振速度時，機翼會不斷地從氣流中吸取能量，導(dǎo)致振動無法衰減下來，從而給飛行器帶來災(zāi)難性的破壞。目前機翼顫振問題已經(jīng)得到越來越多學(xué)者的大量關(guān)注，并有許多研究成果問世。例如，于明禮等[1-2]考慮機翼外部擾動和建模誤差的不確定性，分別設(shè)計了H∞魯棒控制律和μ控制器，并進行了風(fēng)洞實驗驗證；WANG等[3]針對含未建模非線性以及外接擾動的二元非線性氣動彈性系統(tǒng)，采用高增益狀態(tài)觀測器設(shè)計多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)自適應(yīng)輸出反饋控制器，進而抑制結(jié)構(gòu)氣動彈性響應(yīng)和極限環(huán)震蕩；錢文敏等[4]針對氣動彈性系統(tǒng)中由于來流速度擾動引起的不確定性，發(fā)展了一種新的不確定性建模方法，該方法從氣動彈性建模的根源出發(fā)，運用信號變換法則使系統(tǒng)的不確定維數(shù)得以降低，進而設(shè)計出更為有效的顫振魯棒控制系統(tǒng)。

然而在主動控制系統(tǒng)中不可避免地存在著時滯現(xiàn)象，控制回路中包含有作動器、傳感器和控制器等電子元器件，這些電子元件的動態(tài)特性會導(dǎo)致最終作用于結(jié)構(gòu)的控制力產(chǎn)生時滯。已有研究結(jié)果顯示，即使是小時滯量，也會導(dǎo)致在系統(tǒng)不需要能量時作動器向系統(tǒng)輸入能量，從而有可能引起控制效率的下降或控制系統(tǒng)失穩(wěn)。對于機翼顫振主動控制，目前已有一些學(xué)者開始關(guān)注控制系統(tǒng)中的時滯問題，例如，ZHAO[5]研究了在不可壓流場中時滯對主動控制機翼顫振穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)在控制回路中，時滯對整個伺服氣彈系統(tǒng)有著重要的影響，同時證明了時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響主要與系統(tǒng)的參數(shù)和反饋信號的類型有關(guān)；LIBRESCU等[6]運用Pontryagin方法結(jié)合Stepan定理研究了非線性時滯對氣彈系統(tǒng)的影響，發(fā)現(xiàn)通過適當(dāng)?shù)脑O(shè)計，時滯控制比傳統(tǒng)的控制方法能夠更有效的抑制顫振；YUAN等[7]針對二維高超音速升力面設(shè)計了Pyragas型的時滯反饋控制器，分析了受控系統(tǒng)的非線性氣動彈性行為；HUANG等[8]通過離散化狀態(tài)方程，將含輸入時滯的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為無時滯的狀態(tài)方程，并在此基礎(chǔ)上運用LQG(Linear Quadratic Gaussian)控制方法和卡爾曼觀測器進行計入時滯的機翼顫振控制。在此值得說明的是，對于機翼顫振問題，目前絕大多數(shù)的研究工作是集中在主動抑制方法上，而關(guān)于其中時滯問題的研究非常少。飛行器的飛行速度一般很高，在非常短的時間間隔里系統(tǒng)的狀態(tài)也會出現(xiàn)很大不同，因此非常小的時滯量也會對控制性能造成大的影響?？梢哉f，關(guān)于機翼顫振主動控制中的時滯問題還有許多問題有待研究。

本文對機翼顫振的時滯反饋控制方法進行研究，其中考慮了機翼剛度的立方非線性，控制律的設(shè)計采用瞬時最優(yōu)控制方法進行設(shè)計，最后通過數(shù)值仿真對所給方法的有效性進行了驗證。

1　顫振模型建立

二元機翼的模型見圖1，機翼展長為s，弦長為c。機翼根部有兩個轉(zhuǎn)動彈簧分別提供沉浮h(向下為正)和俯仰θ(機翼前緣抬頭為正)兩個自由度運動，它們的彈簧剛度分別為Kh和Kθ，這兩個自由度之間無剛度耦合。Q和P分別為氣動中心和彈性軸，xf為機翼前緣到彈性軸的距離，氣動中心和彈性軸的距離為ec，e為偏心率。操縱面還有一個偏轉(zhuǎn)自由度β(向下為正)，當(dāng)操縱面的鉸接剛度足夠大時，可以忽略操縱面慣性的影響，二元機翼退化成兩個自由度，操縱面僅作為一個激勵裝置，與機翼基本氣動升力無關(guān)，且可以偏轉(zhuǎn)到任意期望的角度[9]。

圖1　帶操作面的二元機翼模型Fig.1　Two-dimensional airfoil model with control surface

機翼上任意一點在垂直方向的位移(向下為正)為：

z=h+(x-xf)θ

(1)

系統(tǒng)動能、勢能以及耗散能分別為：

(2)

(3)

(4)

式中：m為機翼單位面積質(zhì)量，Ch和Cθ分別為沉浮和俯仰兩個自由度彈簧的阻尼。

采用片條理論得到機翼每個片條元上簡化的氣動升力和繞彈性軸氣動力矩分別為[9-10]：

(5)

(6)

作用在翼面的氣動力和氣動力矩做的虛功為：

δW=∫[-dLδh+dMfaδθ]

(7)

因此，廣義力可表示為：

(8)

(9)

將系統(tǒng)動能、勢能、耗散能及廣義力代入拉格朗日方程，可得二元機翼氣彈運動方程為：

(ρV2C+E)q(t)=0

(10)

式中：q(t)=[h(t),θ(t)]T為浮沉和俯仰自由度的廣義坐標(biāo)向量；A、B、C、D和E分別為機翼系統(tǒng)的慣性、氣動阻尼、氣動剛度、結(jié)構(gòu)阻尼和結(jié)構(gòu)剛度矩陣，表達如下：

操縱面偏轉(zhuǎn)角β改變會產(chǎn)生氣動升力Lc和氣動力矩Mc，操縱面的控制力為：

(11)

彈性機翼的大變形會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)立方非線性，也就是說此時剛度非線性與立方硬彈簧特性具有類似的動力學(xué)特性?？紤]俯仰剛度的立方非線性特征，即：

M(θ)=Kθθ+enlKθθ3

(12)

式中：enl為非線性剛度系數(shù)。將系統(tǒng)的動能、勢能、耗散能、考慮了俯仰剛度立方非線性以及操縱面的控制力代入拉格朗日方程中，可以得到：

f(t)=bβ

(13)

式(13)可化為：

(14)

式中：

2　瞬時最優(yōu)時滯反饋控制

式(14)是一個標(biāo)準(zhǔn)的非線性狀態(tài)方程，這里我們采用由YANG等[11]提出的瞬時最優(yōu)控制方法設(shè)計非線性控制律。對于時滯反饋控制律的設(shè)計方法，文獻[12]中有詳細(xì)地介紹。

在式(14)中考慮控制項的時滯，則系統(tǒng)的時滯狀態(tài)方程為：

(15)

式中：τ為時滯量。以下針對狀態(tài)方程式(15)設(shè)計時滯反饋控制律。

對式(15)進行如下的積分變化[13]：

(16)

從而可以將式(15)轉(zhuǎn)化為如下不顯含時滯的非線性狀態(tài)方程形式：

(17)

瞬時最優(yōu)控制是一種基于四階Runge-Kutta算法的控制設(shè)計方法，它可以處理非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計。對式(17)采用四階Runge-Kutta法，其解可以寫成如下形式：

(18)

(19)

式中：A0、A1、A2及A3表達如下：

(20)

取如下性能指標(biāo)：

J(t)=HT(t)QH(t)+uT(t)Ru(t)

(21)

式中：Q為非負(fù)定對稱矩陣，R>0為任意正數(shù)。瞬時最優(yōu)控制設(shè)計是在式(18)的約束下設(shè)計控制律，使得每一步的性能指標(biāo)J取極小值。為此，定義如下Hamilton函數(shù)：

YH=HT(t)QH(t)+uT(t)Ru(t)+

(22)

式中：λ為Lagrange乘子列陣。通過：

(23)

可以得到瞬時最優(yōu)控制律為：

(24)

由式(24)可知，控制律u(t)是H(t)的函數(shù)，而由式(16)可知,H(t)包含有積分項，該積分項的詳細(xì)迭代計算格式可參考文獻[13]。

3　數(shù)值仿真

本文在此進行數(shù)值仿真，驗證所給方法的有效性。二元機翼結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。首先采用V-g法[14]確定機翼的臨界顫振速度。圖2為風(fēng)速V和人工阻尼g之間的關(guān)系。V-g法中人工阻尼g的物理意義為：假如機翼的真實結(jié)構(gòu)阻尼正好等于這個g值，則在所設(shè)定的風(fēng)速V和空氣密度ρ的狀態(tài)下機翼做簡諧振動。由圖2可知，當(dāng)速度達到V=509.08 m/s時，俯仰角對應(yīng)的g值穿過零點，由負(fù)值變?yōu)檎?，故此顫振臨界速度為V=509.08 m/s，機翼速度大于該值將發(fā)生顫振。

表1　二元機翼結(jié)構(gòu)參數(shù)

數(shù)值仿真中取風(fēng)速為600 m/s，該值大于臨界顫振速度。假定機翼有一個初始的沉浮位移h=0.5 m和初始俯仰角度θ=0.05°。為了顯示本文所給時滯處理方法的有效性，本文在此考慮大時滯量問題，控制系統(tǒng)中的時滯量取值為τ=0.1 s?？刂圃O(shè)計時，取式(21)中控制增益為Q=I4×4和R=10。由于控制信號是操縱面的偏轉(zhuǎn)角度，本文中要求最大偏轉(zhuǎn)角為±5°。圖3為施加時滯反饋控制后機翼的沉浮位移、 俯仰角和操縱面偏轉(zhuǎn)角時程，不施加控制的結(jié)果也在圖中予以顯示。從圖3可知，當(dāng)對機翼不施加任何控制措施時，沉浮位移在氣動阻尼的影響下會逐漸衰減；由于系統(tǒng)中存在立方非線性，當(dāng)風(fēng)速超過臨界顫振速度時，俯仰角響應(yīng)在原點附近出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解，產(chǎn)生極限環(huán)顫振，這種情況容易使機翼產(chǎn)生疲勞斷裂。施加時滯反饋控制后，機翼的響應(yīng)能夠在很短的時間內(nèi)得到抑制。在此需要說明：當(dāng)時滯量取小于0.1 s的任意值時，本文中的時滯處理方法都能夠有效地抑制機翼系統(tǒng)的顫振。

圖2　風(fēng)速與人工阻尼關(guān)系Fig.2　Relation of wind speed and artificial damping

圖3　控制仿真結(jié)果Fig. 3 Control simulation results

4　結(jié)　論

本文對二元機翼顫振的時滯反饋控制進行了研究，給出了機翼顫振系統(tǒng)的動力學(xué)模型，采用瞬時最優(yōu)控制方法進行了時滯反饋控制律的設(shè)計，數(shù)值仿真中采用V-g法獲得了機翼的臨界顫振速度。仿真結(jié)果顯示出，本文所給出的時滯問題處理方法能夠有效地處理控制系統(tǒng)中的時滯，時滯反饋控制律能夠有效地抑制機翼的顫振。

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Delayed feedback control for airfoil flutter

LUO Mengxiang, GAO Mingzhou, CAI Guoping

(School of Naval Architecture and Ocean Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The delayed feedback control for a two-dimensional airfoil flutter was investigated. The dynamic equation for airfoil flutter was established using the Lagrange equation, in which the cubic nonlinearity describing the wing pitching stiffness was taken in account. Then the instantaneous optimal control method was used to design a nonlinear delayed feedback controller. Finally, numerical simulations were carried out to demonstrate the effectiveness of the proposed controller. The simulation results indicate that the delayed feedback controller proposed can effectively suppress the airfoil flutter.

airfoil; flutter; instantaneous optimal control; time delay

國家自然科學(xué)基金(11132001;11272202;11472171);上海市教委科研重點項目(14ZZ021);上海市自然科學(xué)基金(14ZR1421000)

2015-04-17修改稿收到日期：2015-08-31

羅夢翔 女，碩士生，1992年生

蔡國平 男，博士，教授，1956年生

V214.3

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.010