謝鳳艷,毛月梅

(1.安陽(yáng)學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 河南 安陽(yáng) 455000; 2.大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 山西 大同 037009)

?

X-ss-半置換性對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響

謝鳳艷1,毛月梅2

(1.安陽(yáng)學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 河南 安陽(yáng) 455000; 2.大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 山西 大同 037009)

設(shè)X是有限群G的非空子集, 子群H稱為在G中X-ss-半置換的, 如果H在G中有一個(gè)補(bǔ)充T, 只要(p,|H|)=1，就存在x∈X，使得HPx=PxH, 其中P∈Sylp(T). 研究極小子群和4階循環(huán)子群的X-ss-半置換性對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響, 推廣了以往的一些結(jié)果.

極小子群;超可解群;X-ss-半置換子群; 飽和群系

文中所有群均為有限群.G表示有限群,U表示所有超可解群的群系.

設(shè)H是G的子群.H稱為在G中置換的, 如果對(duì)G的任意子群K, 有HK=KH. 作為置換子群的推廣.s-置換[1]、s-半置換[2-3]、X-置換子群[4]、X-半置換子群[5]、X-s-半置換子群[6]等概念先后被提出. 利用這些概念人們已經(jīng)得到了許多重要結(jié)果[1-9]. 祝明[10]又將s-置換、s-半置換、X-置換子群、X-半置換子群、X-s-半置換子群定義統(tǒng)一推廣為X-ss-半置換子群的概念, 并利用Sylow子群的極大子群的X-ss-半置換性刻畫群的p-冪零性和超可解性.筆者在文[10]的基礎(chǔ)上, 利用Sylow子群的極小子群和4階循環(huán)子群的X-ss-半置換性對(duì)包含所有超可解群的飽和群系進(jìn)行研究, 得到一些結(jié)論，推廣和改進(jìn)了一些已知成果.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[10]設(shè)X是G的非空子集, 子群H稱為在G中X-ss-半置換的, 如果H在G中有一個(gè)補(bǔ)充T, 只要(p,|H|)=1，就存在x∈X，使得HPx=PxH, 其中P∈Sylp(T).

論文用Xss(H)表示子群H在群G中所有滿足X-ss-半置換子群定義中補(bǔ)充子群T的集合.

顯然所有的s-置換、s-半置換、X-置換、X-半置換、X-s-置換、X-s-半置換子群都是X-ss-半置換子群, 反之不成立[10].

引理1[10]假設(shè)H是G的子群,X是G的非空子集,N是G的正規(guī)子群. 若H在G中X-ss-半置換的, 則下列斷言成立

(1) 若H≤M≤G且X≤M, 則H在M中X-ss-半置換的.

(2) 若H為p-群或者(|H|,|N|)=1,則HN/N在G/N中XN/N-ss-半置換的.

(3) 若T∈Xss(H)且H≤NG(X), 則對(duì)任意的g∈G，有Tg∈Xss(H).

(4) 若X≤D≤G, 則H在G中D-ss-半置換的.

引理2[11]設(shè)F是包含所有超可解群系的飽含群系,N是G的正規(guī)子群且使得G/N∈F.如果N循環(huán), 那么G∈F.

引理3[12]設(shè)N是群G的一個(gè)非平凡正規(guī)子群, 若N∩Φ(G)=1. 則F(N)為G的極小正規(guī)子群直積.

引理4[13]設(shè)A,B是G的子群且G≠AB. 如果對(duì)G的任意元素g，有ABg=BgA. 則G中存在真正規(guī)子群N，使得A≤N，或者B≤N.

設(shè)F是一個(gè)飽和群系.稱G的子群H在G中F-可補(bǔ)充, 如果G有一個(gè)子群T∈F，使得HT=G.

引理5設(shè)F是一個(gè)飽和群系,H在G中F-可補(bǔ)充.

(1) 如果H≤M≤G, 則H在M中F-可補(bǔ)充.

(2) 如果N是G的正規(guī)子群, 則HN/N在G/N中F-可補(bǔ)充.

證明因?yàn)镕是一個(gè)飽和群系, 所以F對(duì)商群及子群封閉, 故(1) 、(2)成立.

2　主要結(jié)論及應(yīng)用

定理1設(shè)F是包含U的飽和群系,X是G的可解正規(guī)子群. 則G∈F的充分必要條件是G有正規(guī)子群E，使得G/E∈F，且E的每個(gè)非循環(huán)Sylow子群的極小子群和4階循環(huán)子群在G中要么U-可補(bǔ)充, 要么X-ss-半置換的.

證明必要性顯然成立, 只需給出充分性的證明. 假設(shè)充分性不成立, 選定一個(gè)飽和群系F. 設(shè)G為極小階反例, 并令N是G的極小正規(guī)子群. 通過下列斷言完成定理證明.

(1)G/N∈F.

因?yàn)镚/E∈F, 所以(G/N)/(EN/N)?G/EN?(G/E)/(G/EN)∈F. 設(shè)T/N是EN/N的非循環(huán)Sylow子群,L/N是T/N的極小子群或者4階循環(huán)子群. 則存在E的非循環(huán)Sylow子群P，使得T=PN且P中存在一個(gè)素?cái)?shù)階或者是4階元素x, 使得L=N. 由定理的充分性條件, 在G中要么U-可補(bǔ)充要么X-ss-半置換的. 由引理1(2)和引理5(2)，得L/N在G/N中要么U-可補(bǔ)充要么XN/N-ss-半置換的. 由G的極小選擇, 所以G/N∈F.

(2)N是G的唯一極小正規(guī)子群且G=[N]M,M為G的一個(gè)極大子群.

因?yàn)镕是一個(gè)飽和群系, 所以由(1)知,N是G的唯一極小正規(guī)子群且Φ(G)=1. 故存在G的一個(gè)極大子群M使得G=[N]M.

(3)N=GF≤E,N為初等交換非循環(huán)p-群,其中p為G的某一個(gè)素因子.

由(1)和(2)及G/E∈F，得N=GF≤E. 由(1)G/N∈F及引理2知，N非循環(huán). 如果E可解, 則N可解，從而(3)成立. 如果E不可解. 假設(shè)E的每個(gè)非循環(huán)Sylow子群的極小子群和4階循環(huán)子群在G中U-可補(bǔ)充.設(shè)K是E的一個(gè)真子群, 則K的每個(gè)非循環(huán)Sylow子群的極小子群和4階循環(huán)子群在G中U-可補(bǔ)充.由引理5(1)知,K的每個(gè)非循環(huán)Sylow子群的極小子群和4階循環(huán)子群在K中U-可補(bǔ)充.又因?yàn)镵/K∈U, 所以K滿足充分性條件. 由G的極小選擇,K為超可解群. 從而E為極小非超可解群. 由文[12]得E可解, 這一矛盾說明存在E的非循環(huán)Sylow子群的極小子群或4階循環(huán)子群, 記為H, 在G中沒有U-可補(bǔ)充. 由定理充分性的條件知,H在G中X-ss-半置換的, 即存在T∈Xss(H). 若對(duì)G的任意素因子p,Op(G)=1. 由于X是G的可解正規(guī)子群, 所以X=1. 設(shè)H為q群,Q∈Sylr(G)且Tr∈Sylr(T), 其中(r,q)=1. 從而存在g∈G，使得Q=Trg. 因?yàn)镠≤NG(X)=G, 所以Tg∈Xss(H). 從而HQ=QH, 即H在G中s-半置換的. 設(shè)A是G的一個(gè)極小次正規(guī)子群. 如果|A|=s,s為素?cái)?shù), 則A≤Os(G), 矛盾. 從而A為單群且非交換. 因?yàn)镠在G中s-半置換的, 所以對(duì)A中任意元素a,HQa=QaH. 因?yàn)?|HQa:H|,|HQa:Qa|)=1, 所以由文 [12],HQa∩A=(A∩H)(A∩Qa)= (A∩H)(A∩Q)a為A的子群. 因?yàn)?A∩H)(A∩Q)a可解且A不可解, 所以(A∩H)(A∩Q)a是A的真子群. 由引理4 得A非單群. 這一矛盾說明存在G的一個(gè)素因子p，使得Op(G)≠1. 由N的唯一極小正規(guī)性,N≤Op(G). 從而(3)成立.

(4) 最后的矛盾.

設(shè)P∈Sylp(E). 由(3)知,N≤P且P非循環(huán). 設(shè)H為包含在N中P的極小正規(guī)子群. 所以|H|=p且H≤N≤E. 下面斷言:H正規(guī)于G. 設(shè)T為H在G中的一個(gè)補(bǔ)充子群, 即G=HT. 從而N=N∩HT=H(N∩T)且G=NT. 又因?yàn)镹正規(guī)于G且N為交換群, 所以N∩T正規(guī)于G. 由N的極小正規(guī)性得N∩T=1或者N∩T=N. 若N∩T=1, 則H=H(N∩T)=N正規(guī)于G. 若N∩T=N,則N≤T. 故T=G非超可解群. 由定理充分性的條件,T∈Xss(H). 設(shè)Q∈Sylq(T), 其中q≠p. 則存在x∈X，使得HQx=QxH. 因?yàn)镹為初等交換群, 所以H正規(guī)于N. 因?yàn)镹正規(guī)于G, 所以H是G的次正規(guī)子群. 由于Qx∈Sylq(G), 所以HQx為{p,q}群. 故H∈Sylp(HQx)且H也是HQx的次正規(guī)子群. 從而H正規(guī)于HQx. 即Qx≤NG(H). 又因?yàn)镠正規(guī)于P, 所以H正規(guī)于G.因?yàn)镹是G的極小正規(guī)子群, 所以N=H為p-階子群. 由(1)G/N∈F及引理2得G∈F. 這一最后的矛盾表明極小反例不成立, 從而定理充分性成立.

注1定理1充分性條件對(duì)冪零群不成立. 如G=S3為三次對(duì)稱群,E=(<123>)為G的3階循環(huán)子群. 則G/E為2階循環(huán)群，當(dāng)然是冪零群.E僅有一個(gè)循環(huán)Sylow 3-子群, 于是G滿足定理1充分性條件, 但G不是冪零群.

注2定理1充分性條件“4 階循環(huán)子群”不能去掉. 如G=[E]K, 其中E=是4元數(shù)群,K是E的3階自同構(gòu)群,X=1.則G/E為超可解群. 因?yàn)閨E|=8且E有1個(gè)單位元, 6個(gè)4階元, 1個(gè)2階元. 故E只有一個(gè)極小子群記為H=. 因?yàn)镠正規(guī)于G, 因此H在G中X-ss-半置換的. 所以G滿足定理1充分性其他條件, 但G不是超可解的.

推論1群G為超可解的充分必要條件是存在G一個(gè)正規(guī)子群E，使得G/E∈U且E的每個(gè)非循環(huán)Sylow子群的極小子群和4階循環(huán)子群在G中U-可補(bǔ)充.

推論2設(shè)F是包含U的飽和群系,X是G的可解正規(guī)子群. 如果G有正規(guī)子群E，使得G/E∈F且E的每個(gè)Sylow子群的極小子群和4階循環(huán)子群在G中X-ss-半置換的. 則G∈F.

推論3[3]設(shè)F是包含U的飽和群系. 如果G有正規(guī)子群E，使得G/E∈F且E的每個(gè)極小子群和4階循環(huán)子群在G中s-半置換的. 則G∈F.

推論4[9]設(shè)E是G的超可解上根. 如果E的每個(gè)極小子群和4 階循環(huán)子群在G中s-半置換的, 則G是超可解的.

定理2設(shè)F是包含U的飽和群系,X是G的可解正規(guī)子群. 如果G有可解正規(guī)子群E，使得G/E∈F且F(E)的每個(gè)極小子群和4階循環(huán)子群在G中X-ss-半置換的. 則G∈F.

證明假設(shè)結(jié)論不成立. 設(shè)G為極小階反例. 令P是F(E)的任一Sylowp-子群, 其中p是F(E)的素因子. 分以下步驟來(lái)完成定理的證明.

(1)P∩Φ(G)=1.

設(shè)N=P∩Φ(G)≠1. 顯然(G/N)/(E/N)?G/E∈F. 由文[14]可知F(E/N)=F(E)/N. 設(shè)T/N是F(E/N)的極小子群或者4階循環(huán)子群. 則對(duì)應(yīng)的存在F(E)的一個(gè)極小子群或4階循環(huán)子群H, 使得T=HN. 由定理的條件及引理1(2)得L/N在G/N中XN/N-ss-半置換的. 由G的極小選擇,G/N∈F. 因?yàn)镹≤Φ(G), 所以G∈F. 這一矛盾說明P∩Φ(G)=1.

(2)P=N1×N2×…×Nt, 其中Ni(i=1,2,…,t)為G的素?cái)?shù)階極小正規(guī)子群.

因?yàn)镻正規(guī)于G且P∩Φ(G)=1, 所以由引理3知P=N1×N2×…×Nt, 其中Ni(i=1,2,…,t)為G的極小正規(guī)子群. 設(shè)H為包含在Ni中P的極小正規(guī)子群, 則|H|=p. 由定理的條件知H在G中X-ss-半置換的, 即存在T∈Xss(H).設(shè)Q∈Sylq(T), 其中q≠p. 則存在x∈X，使得HQx=QxH. 因?yàn)镹i為初等交換群, 所以H正規(guī)于Ni. 因?yàn)镹i正規(guī)于G, 所以H是G的次正規(guī)子群. 由于Qx∈Sylq(G), 所以HQx為{p,q}群. 故H∈Sylp(HQx)且H也是HQx的次正規(guī)子群. 從而H正規(guī)于HQx. 即Qx≤NG(H). 又因?yàn)镠正規(guī)于P, 所以H正規(guī)于G. 因?yàn)镹i.是G的極小正規(guī)子群, 所以Ni=H為p-階循環(huán)群.

(3) 最后的矛盾.

G/CG(Li)=NG(Li)/CG(Li)?Aut(Li).

因?yàn)長(zhǎng)i(i=1,2,…,m)為素?cái)?shù)階循環(huán)群, 所以Aut(Li)為交換群. 從而G/CG(Li)∈F. 因?yàn)镚/CG(F(E))同構(gòu)于G/CG(L1)×G/CG(L2) ×…×G/CG(Lm)的一個(gè)子群, 所以G/CG(F(E))∈F.

因?yàn)镚/CE(F(E))=G/CG(F(E)∩E)同構(gòu)于G/CG(F(E))×G/E的一個(gè)子群, 所以G/CE(F(E))∈F. 而E可解, 故由文[12]得CE(F(E))≤F(E). 從而F(E)=CE(F(E)). 因此G/F(E)∈F. 由定理1知,G∈F. 這一最后的矛盾表明極小反例不成立, 從而定理成立.

推論5[3]設(shè)F是包含U的飽和群系. 如果G有可解正規(guī)子群E，使得G/E∈F且F(E)的每個(gè)極小子群和4階循環(huán)子群在G中s-半置換的， 則G∈F.

[1]KENGE O H. Sylow-Gruppen and subnormaleiler end licher Gruppen[J]. Math Z, 1962, 78 (1): 205-221.

[2]陳重穆. 關(guān)于Srinivasan的一個(gè)定理[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1987, 12 (1):1-4.

[3]張勤海, 王麗芳.s-半置換子群對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 48 (1): 81-88.

[4]GUO W B, SHUM K P, SKIBA A N.X-permutable maximal subgroups of Sylow subgroups of finite groups[J]. Ukrain Matem J, 2006, 58 (10): 1471-1480.

[5]GUO W B, SHUM K P, SKIBA A N.X-semipermutable maximal subgroups of finite groups[J]. J Alegebra, 2007, 315 (1): 31-41.

[6]HAO L P, WANG Y.Two sufficient conditions for supersolubility of finite groups[J]. J Xu Zhou Normal Univ (Natural Science Edition), 2008, 3 (26): 14-18.

[7]WANG L F, ZHANG Q H. Influence ofs-semipermutability subgroups of prime power order on the structure of finite groups[J]. J Math Res Exp， 2005, 25 (3): 423-428.

[8]SHAALAN A. The influnece ofs-quasinormality of some subgroups on the stucture of a finite group[J]. Acta Math Hungar, 1990, 56: 287-293.

[9]WANG K R. Minimal subgroups and structure of finite groups[J]. J Sichuan Normal Univ (Natural Science Edition), 2006, 6 (29): 631-634.

[10]祝明. 有限群的X-ss-半置換子群[D]. 重慶: 西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 2011.

[11]GUO W B. OnF-supplemtned subgroups of finite groups[J]. Mauscripta Math, 2008, 127: 139-150.

[12]GUO W B. The theory of class of groups[M]. Bejing: Science Press-Kluwer Academic Publishers, 2000.

[13]KEGEL O H. Produkte nilpotenter Gruppen[J]. Arch Math, 1961, 12: 90-93.

[14]HUPPERT B. Endliche Gruppen I[M]. Berlin:Springer, 1967.

(責(zé)任編輯朱夜明)

The influence of the X-ss-semipermutability on the structure of finite groups

XIE Fengyan1, MAO Yuemei2

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Anyang University, Anyang 455000, China；2. School Mathematics and Computer Science, Datong university, Datong 037009,China)

LetGbe a finite group andXa nonempty subset ofG.AsubgroupHofGis said to beX-ss-semipermutable ifHhas a supplementTinG, such thatHisX-permutable with every Sylowp-subgroups ofTwith (p,|H|)=1. TheX-ss-semipermutability of minimal subgroups was used to characterize the structure of finite groups. Some known results were unified and generalized.

minimal subgroup; supersolvable group;X-ss-semipermutable subgroup; saturated formation

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.05.003

2015-11-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401264); 河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研基金資助項(xiàng)目(15A110048)

謝鳳艷(1984-),女,河南開封人,安陽(yáng)學(xué)院講師, 碩士.

O152.1

A

1000-2162(2016)05-0014-04