張國(guó)山,林竹雨

(天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,天津 300072)

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矩形多項(xiàng)式矩陣的正則化與零點(diǎn)配置

張國(guó)山,林竹雨

(天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,天津 300072)

考慮一個(gè)行滿(mǎn)秩的矩形多項(xiàng)式矩陣，研究通過(guò)補(bǔ)償一個(gè)矩形多項(xiàng)式矩陣使其成為方陣，并保持補(bǔ)償后矩陣沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)且可以實(shí)現(xiàn)有限零點(diǎn)任意配置,該問(wèn)題可以稱(chēng)之為正則化問(wèn)題.通過(guò)變換，該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為廣義系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題.運(yùn)用多項(xiàng)式矩陣?yán)碚撆c廣義系統(tǒng)理論，給出滿(mǎn)足期望特性的補(bǔ)償矩陣(正則化矩陣)存在的充要條件和構(gòu)造方法.

矩形多項(xiàng)式矩陣;補(bǔ)償；正則化;無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)；廣義系統(tǒng)理論

多項(xiàng)式矩陣描述(polynomial matrix description ,簡(jiǎn)稱(chēng)PMD)的控制系統(tǒng)是研究控制系統(tǒng)的重要方法之一，目前已經(jīng)形成了獨(dú)立的理論體系[1]，并與狀態(tài)空間方法共同發(fā)展.通常是在正則的前提下研究一個(gè)PMD系統(tǒng)，因?yàn)檎齽t性保證了系統(tǒng)方程的解的存在性和唯一性.如果從PMD的角度，將一個(gè)多項(xiàng)式矩陣?yán)斫鉃橄到y(tǒng)的狀態(tài)系數(shù)矩陣，其零點(diǎn)(有限零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn))對(duì)應(yīng)于其所描述的系統(tǒng)的極點(diǎn)(有限極點(diǎn)和脈沖模).一個(gè)矩形多項(xiàng)式矩陣可以認(rèn)為是矩形系統(tǒng)狀態(tài)的系數(shù)矩陣，這樣的系統(tǒng)不滿(mǎn)足正則性條件，因而其狀態(tài)無(wú)解或不具有唯一解.將一個(gè)矩形系統(tǒng)補(bǔ)償成為一個(gè)正則系統(tǒng)相當(dāng)于將一個(gè)矩形矩陣補(bǔ)償為滿(mǎn)秩的方陣,因此研究矩形多項(xiàng)式矩陣的正則化及其零點(diǎn)配置問(wèn)題,相當(dāng)于研究矩形系統(tǒng)正則性與極點(diǎn)配置問(wèn)題.

在多項(xiàng)式矩陣及其描述的系統(tǒng)零極點(diǎn)的研究方面,文獻(xiàn)[1]介紹了PMD的基本理論；文獻(xiàn)[2]基于狀態(tài)映射研究了正則多項(xiàng)式矩陣的無(wú)窮遠(yuǎn)極零點(diǎn)個(gè)數(shù)；文獻(xiàn)[3]給出了正則多項(xiàng)式矩陣沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的一個(gè)充要條件.以上均為對(duì)正則多項(xiàng)式矩陣的研究,在與廣義系統(tǒng)相關(guān)研究方面,文獻(xiàn)[4-5]研究了矩形廣義系統(tǒng)的脈沖能控能觀(guān)及反饋問(wèn)題；文獻(xiàn)[6]研究了基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)木匦螐V義系統(tǒng)的正則化，能控能觀(guān)性與極點(diǎn)配置問(wèn)題；文獻(xiàn)[7]研究了任意一個(gè)多項(xiàng)式矩陣的特征結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[8]研究了使任意一個(gè)多項(xiàng)式矩陣最高次的系數(shù)矩陣滿(mǎn)秩的方法；文獻(xiàn)[9]研究了由任意一個(gè)行滿(mǎn)秩的矩形多項(xiàng)式矩陣構(gòu)造一個(gè)單模陣的方法.受文獻(xiàn)[9]啟發(fā),研究一個(gè)行滿(mǎn)秩的矩形多項(xiàng)式矩陣通過(guò)某種補(bǔ)償使其成為具有我們期望特性的矩陣，是一個(gè)值得研究的問(wèn)題.而通過(guò)增加矩形多項(xiàng)式矩陣的行數(shù)，將其擴(kuò)展成為一個(gè)方形滿(mǎn)秩矩陣，是一種有效和可行的補(bǔ)償方法.

筆者將基于多項(xiàng)式矩陣?yán)碚撆c廣義系統(tǒng)理論，對(duì)于一定條件下的行滿(mǎn)秩多項(xiàng)式矩陣，通過(guò)增加其行數(shù)將其補(bǔ)償成為滿(mǎn)秩方陣，使其沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)而實(shí)現(xiàn)有限零點(diǎn)的任意配置，且補(bǔ)償矩陣的次數(shù)低于原矩陣的次數(shù),這與正常系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制的觀(guān)點(diǎn)相統(tǒng)一,即補(bǔ)償部分相當(dāng)于線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋.特別地，為了對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可將其零點(diǎn)配置于左半復(fù)平面，即配置成一個(gè)Hurwitz矩陣.由于高次多項(xiàng)式矩陣的特征值配置過(guò)于復(fù)雜，筆者通過(guò)多項(xiàng)式矩陣的一種線(xiàn)性化表示[10]，即在保持其特征值及某些結(jié)構(gòu)特性不變的前提下，通過(guò)擴(kuò)大其維數(shù)將其轉(zhuǎn)化為一次多項(xiàng)式矩陣，然后借助于廣義系統(tǒng)理論，獲得其零點(diǎn)任意配置的充要條件與配置方法.按所給多項(xiàng)式矩陣的次數(shù)，將分為一次和任意次兩種情況進(jìn)行討論，分別給出對(duì)應(yīng)的方法和結(jié)果，最后通過(guò)數(shù)值算例說(shuō)明所得結(jié)果的合理性.

1　問(wèn)題的提出

設(shè)P(s)∈n×n[s]為任一正則的多項(xiàng)式矩陣,則P(s)可以表示為

(1)

其中：Pμ≠0，μ為P(s)元素中的最高次數(shù)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)P(s)的次數(shù)),Pi∈n×n,i=0,1,…,μ為各次數(shù)的系數(shù)矩陣.P(s)正則意味著detP(s)≠0.P(s)的零點(diǎn)(包括有限零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn))定義為使P(s)的秩下降的點(diǎn)[11]. 判定P(s)的無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的方法為：取變換λ=1/s，則Q(λ)=P(1/λ)在λ=0處的零點(diǎn)就是P(s)在s=處的零點(diǎn)，且二者零點(diǎn)重?cái)?shù)相同(按Smith-McMillan標(biāo)準(zhǔn)形定義[1]). 設(shè)

(2)

dP(s)=degdetP(s),

(3)

且設(shè)P(s)的無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為z,則z,rp(s)和dp(s)的關(guān)系為引理1.

引理1[2]z=rp(s)-dp(s).

引理1表明,P(s)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)rp(s)=dp(s).

考慮一個(gè)矩形多項(xiàng)式矩陣P1(s)∈p×n[s],其中p

(4)

沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)，且有限零點(diǎn)實(shí)現(xiàn)任意配置. 為了與線(xiàn)性系統(tǒng)反饋控制理論相對(duì)應(yīng)，要求P2(s)的次數(shù)小于P1(s)的次數(shù).由于多項(xiàng)式矩陣形式的系統(tǒng)極點(diǎn)配置問(wèn)題尚未有有效的解決方法，論文首先給出多項(xiàng)式矩陣的一種線(xiàn)性化形式，然后對(duì)其線(xiàn)性化形式，給出其零點(diǎn)任意配置的條件與方法.

2　主要結(jié)果

分兩種情況討論所得的結(jié)果：(1)P1(s)為一次多項(xiàng)式矩陣的情形，此時(shí)P1(s)可以認(rèn)為是矩形廣義系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，利用廣義系統(tǒng)理論給出相應(yīng)的結(jié)果；(2) P1(s)為(大于1次的)任意次多項(xiàng)式矩陣的情形，首先給出其線(xiàn)性化表示，然后利用上一種情形的結(jié)果，給出一般性的結(jié)果及P2(s)的構(gòu)造方法.

2.1P1(s)為一次多項(xiàng)式矩陣的情形

首先考慮P1(s)=P1s+P0∈p×n[s],P

(5)

(6)

時(shí),廣義系統(tǒng)(E,A,B)脈沖能控.

引理4[4]P1(s)=P1s+P0沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)(6)成立.

定理1給定一個(gè)P1(s)=P1s+P0∈p×n[s],p

證明由廣義系統(tǒng)中的反饋和極點(diǎn)配置理論,按分解式(5),存在一個(gè)反饋矩陣F∈(n-p)×p，使閉環(huán)系統(tǒng)(E,A+BF,B)無(wú)脈沖且有限極點(diǎn)可任意配置,進(jìn)而，矩陣sE-(A+BF)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)且有限零點(diǎn)可任意配置當(dāng)且僅當(dāng)(E,A,B)R-能控和脈沖能控，即(6)成立.又因?yàn)?/p>

(7)

(8)

推論1對(duì)于P1(s)=P1s+P0∈p×n[s]，下面幾個(gè)表述是等價(jià)的:

1) P1(s)=P1s+P0沒(méi)有有限零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn).

2) 廣義系統(tǒng)(E,A,B)是R-能控和脈沖能控的，其中E,A,B由(5)給出.

3) rank(P1s+P0)=P，?s∈且).

2.2P1(s)∈p×n[s]為任意次多項(xiàng)式矩陣的一般情形

考慮任意的矩形多項(xiàng)式矩陣P1(s)∈p×n[s],P

(9)

其中：Pμ≠0,μ>1,Pi∈p×n為各次數(shù)的系數(shù)矩陣,i=0,1,…,μ.

(10)

其中：Pi,a∈p×p,i=0,1,…,μ；Pj,b∈p×(n-p),j=0,1,…,μ-1.利用文獻(xiàn)[9-10]，將(9)擴(kuò)展成一種廣義系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)，可以認(rèn)為是由(9)導(dǎo)出的一種線(xiàn)性化表示，令

(11)

定理2對(duì)于(9)中的P1(s)及其導(dǎo)出的線(xiàn)性化形式(11)，存在一個(gè)反饋矩陣F∈(n-p)×μp，使閉環(huán)系統(tǒng)(E,A+BF,B)無(wú)脈沖且有限極點(diǎn)可任意配置的充要條件是

(12)

進(jìn)而，如果(12)成立，可求出一個(gè)次數(shù)小于μ的多項(xiàng)式矩陣P2(s)，使(4)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)且有限零點(diǎn)可以任意配置，其中P2(s)的表達(dá)式將在定理證明中給出.

下面構(gòu)造P2(s). 從上面證明得到，系統(tǒng)(E,A+BF,B)無(wú)脈沖且有限極點(diǎn)可任意配置等價(jià)于矩陣

(13)

沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)且有限零點(diǎn)可任意配置.設(shè)單模陣

(14)

則

(15)

其中

Pa(s)=Pμ,asμ+Pμ-1,asμ-1+…+P0,a,Pb(s)=Pμ-1,bsμ-1+Pμ-2,bsμ-2+…+P0,b,

(16)

(17)

(18)

(19)

其中

(20)

且P2(s)∈(n-p)×n,即P2(s)取矩陣的前n-p行,即

(21)

detP(s)=αdet[sE-(A+BF)],

(22)

其中：α為非零系數(shù),故P(s)與矩陣[sE-(A+BF)]有相同的有限零點(diǎn),因?yàn)閇sE-(A+BF)]的有限零點(diǎn)可以任意配置，故P(s)的有限零點(diǎn)可以任意配置.

接下來(lái)證明P(s)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn).因?yàn)榫仃嘯sE-(A+BF)]沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn),由引理1及(22),有

dP(s)=degdet[sE-(A+BF)]=rank(E)=(μ-1)P+rank(Pμ)，

(23)

由(2)和(21)可得

(24)

則由(23)和(24)得rP(s)≤dP(s),又rp(s)≥dp(s),所以rp(s)=dp(s).故由引理1,P(s)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn).

綜上,P(s)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)且有限零點(diǎn)可任意配置.故存在一個(gè)次數(shù)小于μ的多項(xiàng)式矩陣P2(s)∈(n-p)×n[s]，使P(s)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)且有限零點(diǎn)可任意配置，等價(jià)于存在一個(gè)反饋矩陣F∈(n-p)×μp，使閉環(huán)系統(tǒng)(E,A+BF,B)無(wú)脈沖且有限極點(diǎn)可任意配置,又等價(jià)于(12)成立.P2(s)的表達(dá)式由(21)給出.證畢.

3　數(shù)值算例

則

則

4　結(jié)束語(yǔ)

筆者分別給出了一次和高次矩形多項(xiàng)式矩陣補(bǔ)償成一個(gè)沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)且有限零點(diǎn)可以任意配置的方法,并利用其導(dǎo)出的線(xiàn)性化形式，分別推導(dǎo)了充要條件.實(shí)際上,按線(xiàn)性(廣義)系統(tǒng)理論，論文方法不僅可以實(shí)現(xiàn)矩形多項(xiàng)式矩陣任意極點(diǎn)配置,也可以實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定或其他需要的特性.而從非正則多項(xiàng)式矩陣本身出發(fā)，給出通過(guò)補(bǔ)償多項(xiàng)式矩陣使其正則且具有期望零點(diǎn)的條件和方法，是值得進(jìn)一步研究的課題.

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(責(zé)任編輯朱夜明)

Regularization and zero assignment of rectangular polynomial matrices

ZHANG Guoshan, LIN Zhuyu

(School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

For a given rectangular polynomial matrix with full row rank, the problem that how to compensate it to a square polynomial matrix by adding another rectangular polynomial matrix was investigated, which made the square polynomial matrix have no infinite zeros and achieve arbitrary finite zero assignment. The problem could be named as the regularization problem. It could be transformed into an equivalent problem about pole assignment of descriptor systems. By using polynomial matrix and descriptor system theories, the necessary and sufficient condition were obtained for the existence of the compensated matrix, and a method of constructing such a compensated matrix was presented.

rectangular polynomial matrices; compensation; regularization; infinite zeros; descriptor system

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.05.001

2016-01-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61473202)

張國(guó)山(1961-),男,吉林農(nóng)安人，天津大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,博士.

O231

A

1000-2162(2016)05-0001-07