王志南

摘要：研究表明，直覺思維能把埋藏在潛意識中的思維成果，同顯意識中所要解決的問題相溝通，從而使問題得到突發(fā)式、頓悟式的解決。本文闡述了教師引領(lǐng)學生在聯(lián)想中展開數(shù)學直覺思維的四種策略：激活已有經(jīng)驗，聯(lián)想中內(nèi)化數(shù)學方法：溝通比較情境，聯(lián)想中把握內(nèi)部結(jié)構(gòu)；借助直觀圖形，聯(lián)想中建構(gòu)數(shù)學意義：相機巧作延伸，聯(lián)想中拓展思維深度。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；直覺思維；聯(lián)想；數(shù)學方法；內(nèi)部結(jié)構(gòu)；直觀圖形

所謂聯(lián)想，是指以數(shù)學觀察為基礎(chǔ)，對研究的對象或問題的特點，聯(lián)系已有的知識和經(jīng)驗進行想象的思維方法。而直覺思維，是指憑借感性經(jīng)驗和已有知識對事物的性質(zhì)做出直接判斷或領(lǐng)悟的思維方式，它是一種以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題實質(zhì)的思維。在數(shù)學教學中，聯(lián)想是產(chǎn)生直覺思維的先導，是由此及彼的思維方式。面對陌生的問題情境，教師要善于引導學生聯(lián)想已有的認知經(jīng)驗進行直覺思維，拓展思維空間，尋找解決問題的新思路。那么，數(shù)學教師又該怎樣引導學生巧作聯(lián)想，誘發(fā)學生數(shù)學直覺思維呢？

一、激活已有經(jīng)驗，聯(lián)想中內(nèi)化數(shù)學方法

學生在解決問題的過程中，直覺不是憑空產(chǎn)生的，它與學生已有的認知儲備、認知結(jié)構(gòu)有著密切聯(lián)系。而這些已有的認知儲備及結(jié)構(gòu)，若教師在學生面對新的問題情境時引導學生聯(lián)想，激活已有的經(jīng)驗，則可以觸發(fā)學生的直覺思維，引發(fā)具有創(chuàng)造性的解題思路。

例如教學“圓的面積計算”時，練習中有這樣一道題：在圓內(nèi)畫最大的正方形，如圖1，若正方形的面積是18平方厘米，那么圓的面積是多少？顯然，若按常規(guī)思維，要求圓的面積，必須已知圓的半徑，而這里無法求得圓的半徑。此時教師引導學生聯(lián)想，由圖1你聯(lián)想到哪些已有的知識經(jīng)驗？學生聯(lián)想到探究圓的面積計算公式時，圓的面積是小正方形的面積π倍。進而直覺地發(fā)現(xiàn)，可以先求出以圓的半徑為邊長的小正方形的面積（圖3），即18÷4×2=9平方厘米，再用3.14×9即求得圓的面積。

事實上，教師引導學生在聯(lián)想中展開直覺思維，不僅在于引導學生由新的問題情境聯(lián)想與此相關(guān)的認知經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)解決問題的靈感和途徑；還在于引導學生在聯(lián)想中，對數(shù)學問題進行深入思考，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的聯(lián)系，進而內(nèi)化數(shù)學方法，獲得對問題更為本質(zhì)的認識。如上例中，引導學生進行深入思考后，則發(fā)現(xiàn)要求圓的面積，還可以用半徑的平方乘π求得，或者說圓的面積是“以圓的半徑為邊長的正方形面積”的π倍。

二、溝通比較情境，聯(lián)想中把握內(nèi)部結(jié)構(gòu)

作為“模式的科學”，數(shù)學并非各個具體事物或現(xiàn)象的直接研究，恰恰相反，它所反映的是具有相同數(shù)學結(jié)構(gòu)一類事物或現(xiàn)象在量上的共同特征。也就是說，數(shù)學知識之間存在著內(nèi)在的“結(jié)構(gòu)性”，存在著內(nèi)在的必然聯(lián)系。因而，教師在進行教學預設(shè)時，要引導學生進行聯(lián)想，直覺地把握問題情境內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，進而拓展思維的寬度。

如在蘇教版“列方程解決實際問題”的課后練習中，有這樣一道題：師徒兩人同時裝配計算機，師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺。經(jīng)過多少天師傅比徒弟多裝配72臺？同時練習中還有這樣一道思考題：盒子里裝有同樣數(shù)量的紅球和白球。每次取出6個紅球和4個白球，取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個。一共取了幾次？盒子里原來有紅球多少個？對于第一題，學生能很快地找到其中的數(shù)量關(guān)系“師傅加工的個數(shù)一徒弟加工的個數(shù)=72個”，而第二題，學生則普遍感到有困難。教師可在此時引導學生進行聯(lián)想，思考題與師徒加工零件的問題有聯(lián)系嗎？它們的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系一致嗎？進而學生發(fā)現(xiàn)，“取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個”，說明“取紅球的個數(shù)一取白球的個數(shù)=10個”，兩題的數(shù)量關(guān)系是一致的，其內(nèi)在的數(shù)學結(jié)構(gòu)也是相同的。

以上案例表明，數(shù)學教學中教師不能囿于具體的某一問題情境的解答，而要善于引導學生自主地對看似不同的問題情境進行比較和溝通，誘發(fā)學生的直覺，發(fā)現(xiàn)不同問題情境間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的一致性，進而學生對數(shù)學問題的分析和理解由關(guān)注“表層結(jié)構(gòu)”到關(guān)注“深層結(jié)構(gòu)”，由外在的具體問題情境的分析走向內(nèi)在的數(shù)量間的關(guān)系的把握。

三、借助直觀圖形，聯(lián)想中建構(gòu)數(shù)學意義

直覺思維是一種形象化思維，是思維者在視覺化或感覺的具象化中覺察事物。正是這種以視覺化的方式再現(xiàn)并處理事物，使人能把握問題的整個情境，從而導致理解的直覺性。因而，在學生展開聯(lián)想的過程中，教師要善于引導學生以直觀圖形再現(xiàn)問題要素，觸發(fā)學生直覺思維的觸角，并在聯(lián)想中構(gòu)建數(shù)學意義。

如在梯形面積計算的練習中，有這樣一道題：鋼管如圖4所示堆成，最上層有9根，最下層有18根，并且下面一層比上面一層多1根，這堆鋼管一共有多少根？許多教師在教學這一問題時，往往是直接讓學生套用梯形面積計算公式，而對于為什么可以用梯形面積計算公式計算鋼管的根數(shù)，則感覺有些說不清道不明。筆者在教學中，引導學生借助直觀圖形進行思考，由鋼管堆成的圖形是梯形，聯(lián)想梯形面積計算公式的推導過程，誘發(fā)學生的直覺思維，學生發(fā)現(xiàn)，這些鋼管的截面是梯形，也可以把它轉(zhuǎn)化為平行四邊形。（如圖5）這樣，9+18=27求得每層的根數(shù)，27×10得到兩堆鋼管的總根數(shù)，再除以2則得到一堆鋼管的根數(shù)。

在此案例中，學生對鋼管根數(shù)計算方法的理解不再是機械地套用梯形面積計算公式，而是在借助直觀圖形，聯(lián)想梯形面積計算推導過程中，直覺地發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)造兩堆同樣的鋼管，求得總根數(shù)，再求一堆鋼管的根數(shù)，這樣的教學，扎根于數(shù)學問題內(nèi)在意義的理解，教學目標指向?qū)W生對數(shù)學意義的自主建構(gòu)。

四、相機巧作延伸，聯(lián)想中拓展思維深度

研究表明，直覺思維對解決問題的促進，不僅在思維者分析和解決問題的起始階段，也可引導學生將已有的直覺或靈感進行合理的遷移和延伸，讓直覺思維的應(yīng)用更具有拓展性，進而發(fā)揮直覺思維在解題問題中的更大的作用。同時，教師通過對題目的變式處理，使得問題更具延伸性，而拓展題與原題中的內(nèi)在結(jié)構(gòu)是一致的，學生能直覺地發(fā)現(xiàn)已有的靈感對新問題同樣適用，有助于拓展學生的思維深度。

如在教學轉(zhuǎn)化策略時，在引領(lǐng)學生利用數(shù)形結(jié)合，借助正方形圖，學生直覺地發(fā)現(xiàn)1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=5/16后，筆者進行了如下拓展：

①你能很快地算出1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的結(jié)果嗎？說說你的思考過程。

②16+8+4+2+1+1/2+1/4+1/8+1/16，你能很快計算出這道題的結(jié)果嗎？你能結(jié)合圖形說說你是怎樣思考的嗎？

在第2題的教學中，引導學生借助正方形圖，聯(lián)想計算1/2+1/4+1/8+1/16的過程，展開直覺思維，進而領(lǐng)悟到，如果把正方形看做是32的話（如圖6），在正方形中分別可以找到16、8、4、2、1…….1/8、1/16，分別將它們涂色，就會發(fā)現(xiàn)32+16+8+…+1/8+1/16的結(jié)果可以表示為32-1/16=31（15/16）。

事實上，通過聯(lián)想展開問題的變式處理方式是多樣的，既可以是相同情境的延伸與拓展，也可以是內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似的問題情境的溝通與比較。同時，“求變”又正是為了“不變”，也就是說，我們希望通過恰當?shù)淖兓ㄅc必要的比較、對照）以突出其中的不變因素，從而幫助學生通過直覺思維更好地把握數(shù)學問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

伊思·斯圖爾特這樣說：“數(shù)學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙地結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”因此，在數(shù)學教學中，教師要誘發(fā)學生通過聯(lián)想，激活已有經(jīng)驗，展開直覺思維，獲得解決問題的新思路、新方法，創(chuàng)造性地解決問題。同時，需指出的是，由于直覺思維是憑借經(jīng)驗和已有知識對事物的性質(zhì)做出直接判斷的思維方式，未經(jīng)過邏輯思維的論證，有其局限性。因此，在依靠直覺判斷選擇解題思路或方法后，仍需要運用分析思維進行邏輯推理和論證以使認識進一步深入。