芮金芳

摘要：很多教師在運(yùn)算律單元教學(xué)中習(xí)慣按照教材的邏輯序列，從單個(gè)知識出發(fā)展開“點(diǎn)狀”教學(xué)，學(xué)生獲得知識的“重復(fù)疊加”。然而，在張老師的課堂中，他借助“加法交換律和結(jié)合律”作為一個(gè)研究觸點(diǎn)，用全局的視野統(tǒng)整運(yùn)算律單元內(nèi)容，整體架構(gòu)知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從結(jié)構(gòu)化的視角設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生后續(xù)整體學(xué)習(xí)運(yùn)算律提供研究方法，累積研究經(jīng)驗(yàn)和研究范式。

關(guān)鍵詞：單元統(tǒng)整：經(jīng)歷過程：模型抽象

常見尷尬場面——形似神散

“加法交換律和結(jié)合律”是學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算律單元中的一節(jié)起始課，也是一節(jié)典型課。很多教師都習(xí)慣沿襲傳統(tǒng)做法“猜測——列舉——驗(yàn)證——概括”的教學(xué)環(huán)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。一旦學(xué)生能初步感知發(fā)現(xiàn)“兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變”的運(yùn)算律，就立刻呈現(xiàn)現(xiàn)成結(jié)論，作為學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的重要學(xué)習(xí)成果展示出來。很多學(xué)生在這樣的課堂組織下，獲得的往往是一個(gè)抽象的定律，而對它包含的具體內(nèi)涵和深刻意義可能還不深入，甚至尚未觸及。

讓學(xué)生用自己個(gè)性化的語言或符號來抽象表示加法交換律時(shí)，會出現(xiàn)如下的尷尬場面，有學(xué)生模仿呈現(xiàn)“糖+水=水+糖”的一般形式。表面上與加法交換律尚無差異，深究其內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)其只是形似而非神似。學(xué)生理解的更多傾向于加法交換律非本質(zhì)的外在表現(xiàn)形式，即交換兩個(gè)量的位置，沒有真正體會到加法交換律的本質(zhì)屬性即量的守恒上。“交換位置”只是外在一種形式，而“和不變（即量守恒）”才是它的核心本質(zhì)，所以教師需要讓學(xué)生真正領(lǐng)會并深刻體會這一深層含義，而非僅僅停留在表層的模仿與形式的相似上面。

回望重構(gòu)教學(xué)一結(jié)構(gòu)統(tǒng)整

在參閱學(xué)習(xí)張齊華老師執(zhí)教的“交換律”一課后，對運(yùn)算律單元的教學(xué)思路有了新的思考和重新厘定。運(yùn)算律教學(xué)中涉及諸多概念定律，如果單以簡化的活動形式告知學(xué)生，他們只能簡單接受并模仿，如何改變、豐富數(shù)學(xué)活動本身，實(shí)現(xiàn)活動過程的語言化，同時(shí)達(dá)到活動本質(zhì)的概念化？應(yīng)成為我們教師教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)主要思考的問題。皮亞杰曾說：“以表象或思維的形式把活動內(nèi)化，就是改變或豐富活動本身，實(shí)現(xiàn)活動概念化?！彼裕谶\(yùn)算律單元學(xué)習(xí)中，教師不僅要讓學(xué)生獲得具體豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)抽象概括，實(shí)現(xiàn)具體經(jīng)驗(yàn)的符號化、抽象化、模型化、結(jié)構(gòu)化。

【精彩片段再現(xiàn)】

一、活動引入，喚醒經(jīng)驗(yàn)

1.快速搶答。

8+5，5+8，19+5，5+19，36+24，24+36。

除了會算，還發(fā)現(xiàn)這幾道題有什么規(guī)律？

2.初步感知。

出示三組等式：8+5=5+8.

19+5=5+19.

36+24=24+36。

質(zhì)疑：把兩個(gè)加數(shù)交換位置，和怎樣？（不變）

猜一猜像這樣交換兩個(gè)加數(shù)位置和不變的例子，會有多少？（無數(shù)個(gè)）

二、猜想驗(yàn)證，抽象運(yùn)算律

1.提出猜想。

那是不是“任意兩個(gè)數(shù)相加.交換它們的位置，和都不變？”有什么辦法知道對不對？（舉例證明）

問：“任意”是什么意思？

看來光靠這三組算式還不夠.還要再舉一些這樣的例子。

2.舉例驗(yàn)證。

學(xué)生舉例，展示學(xué)生舉例作品。

生1：舉的都是一位數(shù)加一位數(shù)的例子。

生2：有一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)的例子。

問：比一比喜歡誰舉的例子？為什么？

生3：喜歡第二個(gè)同學(xué)，舉例要全面。

生4：舉例要簡單，有代表性。

質(zhì)疑：光舉整數(shù)例子，就能一定說明“任意兩個(gè)數(shù)相加，交換它們的位置，和不變嗎？”

生：我舉的分?jǐn)?shù)相加的例子。

生：我還會舉小數(shù)的例子。

3.總結(jié)提升。

揭示加法交換律——任意兩數(shù)相加，交換它們的位置，和都不變。

通過剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上要得出一個(gè)結(jié)論.必須要經(jīng)歷一個(gè)完整、全面的分析思考過程，舉例要全面、典型，有代表性，只有這樣才能得出正確結(jié)論。

4.拓展規(guī)律。

剛才我們研究“任意兩個(gè)數(shù)相加.交換它們的位置……”，如果進(jìn)一步聯(lián)想你想到什么？

生：任意兩數(shù)相減……

生：任意兩數(shù)相乘、相除……

大家通過聯(lián)想，提出了這么多有價(jià)值的問題，是不是合理呢？

小組內(nèi)合作研究。

活動要求：（1）舉例研究這些結(jié)論正確嗎？

（2）組內(nèi)交流自己的想法。

學(xué)生匯報(bào)交流。

重點(diǎn)交流減法、除法中舉反例說明結(jié)論錯(cuò)誤的方法.

5.符號抽象。

數(shù)學(xué)家研究時(shí)不光舉例，還通過其他途徑幫我們更深入地認(rèn)識加法交換律。

左邊出示若干紅色小點(diǎn)，右邊出示若干黃色小點(diǎn)，現(xiàn)在把紅色和黃色小點(diǎn)合到一起來，（出示點(diǎn)子集合圈），你們覺得最后是用紅色加黃色總數(shù)多，還是用黃色加紅色的總數(shù)多呢？（一樣多）

加法交換律在數(shù)學(xué)家眼里就可以用這樣一種直觀的方式表達(dá)出來。

三、豐富經(jīng)驗(yàn)，反芻運(yùn)算律

今天我們研究發(fā)現(xiàn)了加法、乘法中的交換律，在以前的學(xué)習(xí)中有沒有接觸到這樣的加法、乘法交換律問題。

1.出示5的分與合畫面。4和1合成5，交換一下位置，還是合成5。

2.出示一圖二式的加法畫面.如2+4和4+2，和相等。

3.出示一圖二式的乘法畫面，如2×4和4×2，積相等。

4.加法、乘法計(jì)算中的驗(yàn)算都可以用交換律進(jìn)行驗(yàn)算。

看來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)前后之間有非常密切的聯(lián)系。

從整節(jié)課來看，張老師敢于打破教材分塊編排體系所帶來的“零散式”點(diǎn)狀學(xué)習(xí)的藩籬，因?yàn)榻滩牡木幣朋w系不一定是教學(xué)展開的唯一起點(diǎn)，知識的邏輯體系也可能不是學(xué)生思維的邏輯。所以，張老師勇做教材的創(chuàng)造者，用全局的視野統(tǒng)整運(yùn)算律整個(gè)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，整體架構(gòu)知識結(jié)構(gòu)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生從“加法交換律”作為引子觸點(diǎn)，逐漸延伸至“減法中是否也有交換律？”“乘法、除法中呢？”以點(diǎn)帶面，牽一發(fā)而動全身將學(xué)習(xí)的觸點(diǎn)延伸出一個(gè)個(gè)新的研究生長點(diǎn)。學(xué)生的學(xué)習(xí)視角也不再局限于教材中某一狹窄的知識點(diǎn)上，深刻體驗(yàn)到數(shù)學(xué)研究中“變與不變”的辯證關(guān)系、經(jīng)歷“猜想——實(shí)驗(yàn)——驗(yàn)證”的思考路徑，感受由“此知”到“彼知”的數(shù)學(xué)聯(lián)想的思考魅力，這些顯然成為超越于知識之上的凸顯思想價(jià)值的數(shù)學(xué)課堂目標(biāo)追求。

深刻領(lǐng)悟本質(zhì)——參悟思想

一、立足長遠(yuǎn)，從整體把握研讀教材

從長遠(yuǎn)角度看教材是指不僅僅從一節(jié)課來看教學(xué)知識點(diǎn)的內(nèi)容。在以往，由于我們只關(guān)注知識的傳遞，試圖通過每一節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生能圍繞一個(gè)知識點(diǎn)進(jìn)行知識理解、方法掌握、規(guī)律發(fā)現(xiàn)，然后運(yùn)用知識、方法、規(guī)律來解決問題，最終獲得對這個(gè)知識的牢固習(xí)得。通過一節(jié)節(jié)課的“點(diǎn)狀”教學(xué)，學(xué)生只能獲得知識的“重復(fù)疊加”，并不能真正促進(jìn)學(xué)生長遠(yuǎn)學(xué)習(xí)能力的獲得和發(fā)展。

張老師在進(jìn)行運(yùn)算律教學(xué)時(shí)就打破了常規(guī)點(diǎn)狀課堂的備課模式，借助“交換律”這一線索將學(xué)生已有的加、減、乘、除法四種運(yùn)算有機(jī)穿插成一條知識鏈，讓學(xué)生先從加法作為引子開啟探究之門，逐步延伸到減法、乘法、除法的學(xué)習(xí)歷程中。這樣的運(yùn)算律學(xué)習(xí)有機(jī)地幫學(xué)生建構(gòu)起一張富有張力的學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生不再獲取零散、瑣碎的知識點(diǎn)，而是架構(gòu)一張完整的知識結(jié)構(gòu)，同時(shí)參悟其中滲透的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生的猜想、推理、驗(yàn)證、歸納、比較能力在多樣化、開放的活動中不斷豐富、提升、拓展。

所以，一節(jié)課的成功與否并非僅僅在于這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)是否完成，更重要的是它的學(xué)習(xí)對整個(gè)知識體系的建構(gòu)有沒有貢獻(xiàn)。有人認(rèn)為：教學(xué)是導(dǎo)致學(xué)習(xí)活動發(fā)生、系統(tǒng)持續(xù)的交流活動。要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)活動系統(tǒng)持續(xù)的發(fā)生作用，教師必須立足學(xué)生長遠(yuǎn)的發(fā)展，著眼整體，從結(jié)構(gòu)化的視角設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動，這樣才能讓學(xué)生真正獲得以后發(fā)展的持續(xù)動力。

二、把握核心，從本質(zhì)入手經(jīng)歷過程

交換律這節(jié)課的核心是什么？抓住什么就能幫助學(xué)生理解交換律的本質(zhì)內(nèi)涵？交換律中“交換位置”只是一種外在形式，而“結(jié)果不變（即量的守恒）”才是其本質(zhì)。要充分認(rèn)識這一本質(zhì)意義，對學(xué)生來說過于抽象，是有困難的。那么，應(yīng)該借助什么幫助學(xué)生理解這深層含義呢？學(xué)生已有的加、減、乘、除法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，以及整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的認(rèn)識都是深刻認(rèn)識“交換律”的重要資源。

張老師開門見山就讓學(xué)生觀察一組加法算式的特征，并初步提出自己的猜想。這些都是學(xué)生基于已有計(jì)算經(jīng)驗(yàn)自然生發(fā)的一些數(shù)學(xué)想法，通過這些初步猜想，引領(lǐng)學(xué)生逐步經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的層層遞進(jìn)的思辨過程，從整數(shù)的加法例子，到分?jǐn)?shù)的加法補(bǔ)充，再到小數(shù)加法的加入等等，讓學(xué)生采取不完全歸納法提煉出加法交換律的本質(zhì)特征。學(xué)生完整經(jīng)歷從特殊到一般、從個(gè)別到全面、從散點(diǎn)到結(jié)構(gòu)的全面驗(yàn)證認(rèn)識過程，這樣的學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)、學(xué)習(xí)方法的累積、研究問題的視角為后面深入探究減法、乘法、除法中的運(yùn)算律累積相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)和思想方法，提供了很好的研究范式。

三、模型抽象，從思想深處完成建構(gòu)

符號是數(shù)學(xué)抽象化的標(biāo)志。利用數(shù)學(xué)符號有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化。建立交換律的基本模型不可能一蹴而就，需要逐層抽象，逐步建立。

張老師在幫助學(xué)生建立“加法交換律”基本模式時(shí)，安排了三個(gè)層次展開。第一，先初步感知加法算式中交換律的存在。重點(diǎn)讓學(xué)生觀察三個(gè)等式，提出自己的初步感受，發(fā)現(xiàn)這三組算式的結(jié)果都是相等的，這是交換律的核心本質(zhì)，也是學(xué)生從局部向整體認(rèn)識的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。第二，提出猜想，并舉例驗(yàn)證。學(xué)生初次感知“交換兩個(gè)加數(shù)位置，和不變”的特征，嘗試舉例驗(yàn)證符合這樣規(guī)律的等式，學(xué)生依據(jù)已有的加法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，可以初步得到結(jié)論。第三，完善猜想，豐富例證。如果僅憑借一類例子就說明定律的正確性，還缺少完備性。繼續(xù)調(diào)用已有計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，補(bǔ)充“分?jǐn)?shù)、小數(shù)”中類似的例子說明定律的合理性、全面性。第四，符號概括，抽象定律。在學(xué)生充分感知各類題組算式特征的基礎(chǔ)上，學(xué)生用符號表示出符合這類算式特征的規(guī)律，a+b=b+a，△+□=□+△……

這樣由具體算式到抽象符號，有效促進(jìn)學(xué)生對交換律經(jīng)驗(yàn)的抽象化，揭示了交換律的本質(zhì)意義，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展，同時(shí)凸顯符號化思想的價(jià)值作用，以簡潔濃縮的數(shù)學(xué)模型表達(dá)運(yùn)算律豐富的深刻內(nèi)涵。交換律的研究模式為后續(xù)進(jìn)一步深入研究結(jié)合律、分配律，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，架構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)體系，建立良好的數(shù)學(xué)感受，彰顯了真正意義上的深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。