劉洪辰，林春丹，周廣剛，楊振清，張萬松

(中國石油大學(北京) a.化學工程學院；b.理學院 物理系，北京102249)

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圓周運動加速度演示儀

劉洪辰a，林春丹b，周廣剛b，楊振清b，張萬松b

(中國石油大學(北京) a.化學工程學院；b.理學院 物理系，北京102249)

摘要：基于自然坐標下曲線運動的全加速度方程，設計了圓周運動加速度綜合演示儀. 該演示儀通過手動、電動及制動可分別演示圓周運動中切向加速度(包括正負加速度)和法向加速度，還可以直觀地觀察到圓周半徑對切向和法向加速度的影響,角速度對法向加速度的影響及角加速度對切向加速度的影響.

關鍵詞：圓周運動；切向加速度；法向加速度

研究質點的曲線運動時，需要用切向加速度at和法向加速度an共同來描述質點運動狀態(tài)的變化，這是因為作曲線運動的質點，除了速度大小變化以外，還有方向的變化，切向加速度描述速度大小變化,法向加速度用于描述速度方向的變化，因此加速度可以表示為

a=at+an=att+ann.

(1)

初學者往往難以理解圓周運動加速度是切向加速度和法向加速度合成的結果，更難以理解切向加速度與法向加速度的區(qū)別以及共同點. 目前已有的加速度演示儀可以演示法向加速度的存在，但是不能全面演示法向加速度、切向加速度及各參量(角速度、角加速度、曲率半徑)對其產生的影響,為此筆者制作了圓周運動加速度演示儀. 該演示儀能夠直觀、定性地演示切向加速度和法向加速度的存在、二者區(qū)別及各參量(如角速度、角加速度、曲率半徑等)對2種加速度的影響.

1設計原理與方法

曲線運動中切向加速度與法向加速度可以分別表示為[1-3]

(2)

(3)

其中:ω是角速度,ω′是角加速度,ρ是曲率半徑.

圓周運動加速度綜合演示儀俯視圖及結構圖分別如圖1和2所示，在直徑為50 cm的圓盤上固定有沿著徑向放置的透明L形彎管(A管和B管)和沿著圓周方向放置的透明U形彎管(C管和D管)，L形彎管的直立部分皆位于外側.OA長度為20 cm，OB長度為15 cm，透明管內徑為8 mm. 2個L形彎管管內分別放置不同顏色的小球，小球的直徑為6 mm，A管和B管內均置有20個小球. 2個L形管水平部分長度不同，以便顯示曲率半徑不同導致的法向加速度大小不同的情況.

圖1　加速度演示儀俯視圖

圖2　加速度演示儀結構圖

圖1中，2個U形彎管(C管和D管)的水平部分為圓弧，圓弧半徑不同(C管和D管圓弧段的曲率半徑不同即可，大小不做特別要求)，用于顯示曲率半徑對切向加速度的影響，U形彎水平段放置相同數(shù)量的2種顏色玻璃球以便顯示正負切向加速度，U形管內徑為8 mm，帶顏色的小球直徑為6 mm，內置小球數(shù)量為20個.

圓盤可以在電機帶動下旋轉，A和B管內小球將作法向運動，C和D管內小球作切向運動.

根據式(2)，如果圓盤變速轉動，角加速度不為零，則at≠0(可正可負)，U形圓弧管里面的玻璃球受到切向加速度作用，在管內將沿著圓弧運動致使球向某一垂直管上升,而根據切向加速度方向不同所上升球的顏色不同，可以顯示當時切向加速度的正負方向；如果圓盤勻速轉動則角加速度為零，即at=0，U形圓弧管內的玻璃球將保持相對靜止. 根據式(3)，只要圓盤轉動，不論是勻速轉動，還是變速轉動，法向加速度an≠0，L形彎管垂直段里面始終存在上升到一定高度的玻璃球.

圖3為制作完成的加速度綜合演示儀，可以直觀地演示出切向加速度和法向加速度的存在、區(qū)別及共同點：區(qū)別是切向加速度大小與角加速度成正比，法向加速度大小與角速度平方成正比；共同點則是都與曲率半徑成正比.

圖3　加速度綜合演示儀實物圖

2實驗結果與討論

1)抓住圓盤上的轉動桿，緩慢地來回轉動圓盤時，無論是U形圓弧管還是L形彎管，因加速度過小，其管內玻璃球都保持靜止. 當轉動速度稍微加快時，由于切向作用力增大導致外側U形圓弧管內的玻璃球開始移動. 再增大轉動速度時內側U形圓弧管內的玻璃球也開始移動，外側U形圓弧管內的玻璃球運動幅度加大. 此時，2個L形彎管中的玻璃球因法向加速度小而幾乎都保持靜止.

2)按下起動開關，電機帶動圓盤加速旋轉，角加速度ω′>0，切向加速度at>0，U形圓弧管(C管和D管)內的玻璃球作加速運動，并沿著垂直管上升；an>0，L形彎管(A管和B管)里面玻璃球向法線方向運動，并沿著垂直管上升.

3)當電機帶動圓盤勻速轉動，則角加速度ω′=0，切向加速度at=0，圓弧管里的玻璃球受到的切向作用力Ft=mat=0，在重力作用下，已經上升到圓弧端部垂直管內的玻璃球會下落；勻速轉動階段，an>0且保持恒定，L形彎管的玻璃球在垂直管內保持一定高度.

4)向右推下圖3中紅圈內的制動桿，角速度減小，則ω′<0，即at<0，圓弧管里的玻璃球向相反方向運動；在制動時，隨著角速度減小an減小，F(xiàn)n=man減小，導致L形彎管中垂直管里的玻璃球開始下降.

5)由于U形圓弧管內底部中心兩側分別放置不同顏色的玻璃球，則電機加速階段，玻璃球向一個方向運動并沿著圓弧管端部垂直管上升；制動階段，玻璃球向相反方向運動并沿著反向垂直管上升. 借助于圓弧管內2側不同顏色的玻璃球能夠很清楚地演示出正負切向加速度.

6)2個U形圓弧(C管和D管)半徑不同，加速旋轉階段玻璃球的切向加速度at=ω′ρ不同，玻璃球受到的切向作用力也不同，半徑大的D管中玻璃球由于受到切向作用力更大，因而在垂直管中上升得更高.

7)2個直管(A管和B管)徑向半徑OA>OB，勻速旋轉階段玻璃球的法向加速度大小與半徑成正比，A管中玻璃球比B管玻璃球受到的法向作用力大，因此A管中玻璃球在垂直管中上升的高度更高.

從上述演示過程可以看出：在起動、加速、勻速過程中，法向加速度和切向加速度是不同步的. 初始時刻切向加速度很大，但法向加速度很小. 由于法向加速度與角速度有關，與角加速度無關，因此法向加速度隨著角速度的增加而增大；而切向加速度與角加速度有關，與角速度無關，所以隨著角加速度的減小而減小，即隨著角速度趨于穩(wěn)定而減小至零.

從開始起動后多次間歇提速過程中，法向加速度始終表現(xiàn)為先增加而后穩(wěn)定，但切向加速度始終表現(xiàn)為正且多次為突然增加而后慢慢減少. 當借助剎車桿進行輕剎車，由穩(wěn)定的角速度開始多次間歇減速過程中，法向加速度始終表現(xiàn)為減少而后穩(wěn)定，但切向加速度始終表現(xiàn)為負，且多次顯示為突然增加而后慢慢減小. 急剎車的瞬間可觀察到切向加速度為負值(玻璃球運動方向相反)且急劇增加，但法向加速度卻急劇減小. 在此過程中，還可以演示速度與加速度的區(qū)別.

3結束語

使用該演示儀觀察運動規(guī)律，能夠很好地理解切向加速度和法向加速度的產生原因及二者區(qū)別，同時還可以直觀地演示圓周半徑、角速度、角加速度對切向和法向加速度的影響. 演示儀中演示出的結果是定性，透明管的內徑、小球數(shù)量對演示結果沒有實質影響.

參考文獻：

[1]鐘錫華，陳熙謀. 大學物理通用教程(力學)[M]. 北京：北京大學出版社，2010.

[2]張三慧. 大學物理學[M]. 北京：清華大學出版社，1999.

[3]哈爾濱工業(yè)大學理論力學教研室編. 理論力學(Ⅰ)[M]. 北京：高等教育出版社，2009.

[責任編輯：尹冬梅]

收稿日期：2016-01-01；修改日期：2016-03-01

作者簡介：劉洪辰(1996-),男，中國石油大學(北京)化學工程與工藝專業(yè)2014級本科生. 指導教師：林春丹(1968-)，女，吉林延吉人，中國石油大學(北京)理學院物理系副教授，博士，研究方向為水聲通信及信號處理方向.

中圖分類號：O311

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)07-0017-03

Demonstration instrument for acceleration of circular motion

LIU Hong-chena, LIN Chun-danb, ZHOU Guang-gangb,YANG Zhen-qingb, ZHANG Wan-songb

(a.College of Chemical Engineering; b.Physics Department,Science College, China University of Petroleum-Beijing, Beijing 102249， China)

Abstract:Based on the total acceleration equation of curvilinear motion under natural coordinates, a demonstration instrument for acceleration of circular motion was designed to demonstrate tangential acceleration (including deacceleration) and normal acceleration, respectively. Not only the effects of curvature radius on both tangential and normal acceleration, but also the effects of angular velocity on normal acceleration and angular acceleration on tangential acceleration were observed directly.

Key words:circular motion; tangential acceleration; normal acceleration

資助項目：中國石油大學(北京)科技創(chuàng)新訓練項目(No.201611414048);中國石油大學(北京)教學培育團隊項目(No.00001115)