徐　彬

(武昌首義學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部，湖北 武漢 430064)

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Matlab在復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)中的應(yīng)用

徐彬

(武昌首義學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部，湖北 武漢 430064)

摘要：在復(fù)變函數(shù)與積分變換的課堂教學(xué)中，為了讓教學(xué)內(nèi)容更容易被學(xué)生接受，提出將Matlab軟件引入到課堂教學(xué)中。利用Matlab軟件在繪圖和計(jì)算方面的優(yōu)勢(shì)，將該課程中抽象且復(fù)雜的學(xué)習(xí)內(nèi)容用可視化、動(dòng)態(tài)化的形式直觀地表現(xiàn)出來(lái)，同時(shí)簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得了良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：Matlab軟件；復(fù)變函數(shù)與積分變換；課堂教學(xué)

0引言

Matlab軟件是數(shù)值計(jì)算型的數(shù)學(xué)類(lèi)科技應(yīng)用軟件，由美國(guó)Mathworks公司于20世紀(jì)中期推出， Matlab軟件有諸多優(yōu)點(diǎn)：高效的數(shù)值計(jì)算功能可以使繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題得以快速解決；完備的圖形處理功能可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果或編程的可視化；豐富的應(yīng)用工具箱提供了大量方便、實(shí)用的處理工具；用戶(hù)界面清晰且操作簡(jiǎn)單。若將此軟件運(yùn)用于課堂教學(xué)中，勢(shì)必可以?xún)?yōu)化教學(xué)效果[1]。

筆者長(zhǎng)期從事復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)工作，在近幾年的課堂教學(xué)中，將Matlab軟件引入到課堂教學(xué)中，通過(guò)Matlab輔助教學(xué)，使學(xué)生加深了對(duì)知識(shí)難點(diǎn)的理解，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)拓了學(xué)生的視野。本文將結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)歷，探討Matlab軟件在復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)中的應(yīng)用效果。

1繪制復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)圖像

復(fù)變量的初等函數(shù)是實(shí)變量初等函數(shù)的推廣，它們?cè)谛再|(zhì)上有許多相似之處，但在教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)它們之間的區(qū)別，如：指數(shù)函數(shù)的周期性、對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性、正弦余弦函數(shù)的無(wú)界性。通過(guò)Matlab軟件的繪圖功能，繪出這些函數(shù)的圖形，便可直觀地觀察出函數(shù)的變換趨勢(shì)[2]，從而加深學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的理解。

1.1指數(shù)函數(shù)的圖像

復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)ez是以2kπi(k=0,±1,±2,…)為周期的周期函數(shù)[3]，為了讓學(xué)生更直觀地看到復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)具有周期性，可以利用Matlab里的“surf”函數(shù)，以XOY平面表示自變量所在的平面，以Z軸表示復(fù)變函數(shù)的實(shí)部，以顏色表示復(fù)變函數(shù)的虛部，畫(huà)出復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的四維表現(xiàn)圖[4]。具體的Matlab指令如下：

>>x=[0:pi/15:4*pi];

[x,y]=meshgrid(x);

z=x+i*y;

u=exp(z);

surf(x,y,real(u),imag(u));

title('u=exp(z)')

將Matlab程序運(yùn)行后得到的指數(shù)函數(shù)ez圖像如圖1所示，利用圖像中的旋轉(zhuǎn)功能，可將圖1中的函數(shù)圖像進(jìn)行360°旋轉(zhuǎn)，截得圖2、圖3。從圖1～3中可以清楚地看到復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)具有周期性。

圖1　指數(shù)函數(shù)ez的圖像

圖2　指數(shù)函數(shù)ez的旋轉(zhuǎn)圖像1

圖3　指數(shù)函數(shù)ez的旋轉(zhuǎn)圖像2

1.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像

復(fù)變量的對(duì)數(shù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，Lnz=ln|z|+iargz+2kπi(k=0,±1,±2,…)，復(fù)變量的對(duì)數(shù)函數(shù)是無(wú)窮多值函數(shù)，當(dāng)k取值不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也不同，且每2個(gè)值相差2πi的整數(shù)倍[3]。

對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性也可以通過(guò)Matlab作圖直觀地呈現(xiàn)出來(lái)。以Z軸表示復(fù)變函數(shù)的虛部，以顏色表示復(fù)變函數(shù)的實(shí)部，用極坐標(biāo)下的數(shù)據(jù)網(wǎng)格作圖，取k=0,1,…,5,即可得到準(zhǔn)確的函數(shù)圖像。具體的Matlab指令如下：

>>[r,theta]=meshgrid([0:0.1:1],[- pi:0.05*pi: pi]);

x=r.*cos(theta);

y=r.*sin(theta);

z=x+i*y;

u=log(z);

for k=0:5

subplot(2,3,k+1);

u=u+2*k*pi*i;

surf(x,y,imag(u),real(u));

caxis([0,100]);

title('u=Lnz');

end

對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz每一支的圖像如圖4所示。圖4中對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz每一支圖像的顏色相同，形狀不同，說(shuō)明每一分支的實(shí)部相同，虛部不同，對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性是由其虛部決定，將圖4中每一支的圖像利用“hold on”命令疊加在一起，疊加后對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的圖像如圖5所示，從圖5中可以看出圖形螺旋上升，形象地表現(xiàn)出復(fù)變量的對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)。

圖4　對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz每一支的圖像(k=0,1,…5)

圖5　疊加后對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的圖像

1.3三角函數(shù)的圖像

在復(fù)數(shù)域中|sinz|≤1，|cosz|≤1不成立[3]。為了形象說(shuō)明這一性質(zhì)，用Z軸表示sinz的模，用Matlab作出|sinz|的圖像，具體的Matlab指令如下：

>>x=[0:pi/5:7*pi];

[x,y]=meshgrid(x);

z=x+i*y;

u=sin(z);

surf(x,y,abs(u));

title('u=sinz模' )

|sinz|的圖像如圖6所示。從圖6中可以明顯看出，在復(fù)數(shù)域中|sinz|≤1不成立。關(guān)于余弦函數(shù)同理可得。

圖6　|sinz|的圖像

2有理函數(shù)的部分分式展開(kāi)及留數(shù)的計(jì)算

有理函數(shù)的部分分式展開(kāi)是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，用傳統(tǒng)方法分解比較繁瑣，學(xué)生容易遺忘且不易掌握。在課堂教學(xué)中可以利用Matlab工具箱中的“residue”函數(shù)[5]求有理函數(shù)展開(kāi)為部分分式后的展開(kāi)系數(shù)，巧妙的運(yùn)用該函數(shù)可以將有理函數(shù)展開(kāi)為部分分式，同時(shí)也可以求出有理函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。

利用Matlab求f(z)=

的部分分式展開(kāi)，Matlab調(diào)用格式為：[r,p,k]=residue(b,a)。

其中向量b為分子以z降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)，向量a為分母以z降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)，向量r是返回的留數(shù)，向量p是返回的極點(diǎn)，向量k由B(z)/A(z)的商的多項(xiàng)式系數(shù)組成，若length(b)

需要注意的是，當(dāng)函數(shù)有k重極點(diǎn)時(shí)，對(duì)k重極點(diǎn)-pi，存在幾個(gè)展開(kāi)系數(shù)ri,ri+1,…,ri+k-1。這幾個(gè)系數(shù)中只有第1個(gè)ri是負(fù)一次項(xiàng)的系數(shù)，此系數(shù)為-pi所對(duì)應(yīng)的留數(shù)。部分分式的展開(kāi)結(jié)果需要手動(dòng)寫(xiě)出：

從部分分式展開(kāi)式中，易得Res[f(z),-p1]=r1，Res[f(z),-pi]=ri等。

解Matlab輸入語(yǔ)句

>>b=[1,0,0];

a=[1,0,-3,-2];

[r,p,k]=residue(b,a);

[m,n]=rat(r);

[m,n,p]

其中r不一定是整數(shù)，可調(diào)用函數(shù)rat將其化為分?jǐn)?shù)展開(kāi)，m代表分子，n代表分母。

輸出第1列為r的分子，第2列為r的分母，第3列為極點(diǎn)。

運(yùn)行結(jié)果

ans =

4.000 09.000 02.000 0

5.000 09.000 0-1.000 0

-1.000 0 3.000 0-1.000 0

手寫(xiě)出部分分式展開(kāi)結(jié)果：

3傅里葉變換及繪制頻譜圖

積分變換是教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，除了要講授其基本定義和性質(zhì)之外，更重要的是需講清楚引入積分變換的意義及其應(yīng)用。

從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅里葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理；從物理效果來(lái)看，傅里葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成易于分析的頻域信號(hào)，可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行加工、處理；最后還可以利用傅里葉逆變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。

在課堂教學(xué)中可以利用Matlab求出函數(shù)的傅里葉變換，并繪制出時(shí)域圖和經(jīng)過(guò)傅里葉變換后的頻譜圖，讓學(xué)生了解到Fourier變換是信號(hào)頻譜分析的一種極有力的工具[6]，直觀地體會(huì)傅里葉變換的應(yīng)用，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

例2求f(t)=sin(12πt)+sin(6πt)的傅里葉變換，并繪制此正弦疊加信號(hào)變換前后的時(shí)域、頻域圖。

解Matlab輸入語(yǔ)句

>> syms t;

f=sin(12*pi*t)+ sin(6*pi*t)

F=fourier(f)

運(yùn)行結(jié)果

F =i*pi*(dirac(w+6*pi)-dirac(w-12*pi)-dirac(w-6*pi)+dirac(w+12*pi))

即：F(ω)=πi[δ(ω+12π)-δ(ω-12π)+δ(ω+6π)-δ(ω-6π)]

編寫(xiě)信號(hào)并繪制圖形，Matlab輸入語(yǔ)句：

>>t=linspace(-10,10,2^8);

a=sin(2*pi*6*t);

b=sin(2*pi*3*t);

c=a+b;

plot(t,c);

cftbyfft(c,t);

正弦疊加信號(hào)時(shí)域圖如圖7所示，圖7中的信號(hào)由2個(gè)三角函數(shù)波合成，但是在時(shí)域表示下，很難對(duì)圖7進(jìn)行分析，于是，對(duì)圖7進(jìn)行傅里葉變換，轉(zhuǎn)換到頻域表示，正弦疊加信號(hào)頻域圖如圖8所示，觀察圖8可得知：頻率在3和6的位置對(duì)應(yīng)的幅值較大，標(biāo)記出這2個(gè)頻譜峰值對(duì)應(yīng)的頻率分量，說(shuō)明信號(hào)是由頻率為3和6的2個(gè)正弦函數(shù)疊加而成。

傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗地理解即是將看似雜亂無(wú)章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦(余弦)組合而成的信號(hào)，傅里葉變換的目的是找出這些基本正弦(余弦)信號(hào)中振幅較大信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無(wú)章的信號(hào)中主要振動(dòng)頻率的特點(diǎn)，以解決一些實(shí)際問(wèn)題。這樣在課堂教學(xué)中作進(jìn)一步引導(dǎo)，學(xué)生對(duì)傅里葉變換的理解會(huì)更加透徹。

圖7　正弦疊加信號(hào)時(shí)域圖

圖8　正弦疊加信號(hào)頻域圖

4結(jié)束語(yǔ)

在復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)中，將Matlab軟件引入課堂教學(xué)，利用Matlab軟件在繪圖和計(jì)算方面的優(yōu)勢(shì)，可以將抽象復(fù)雜的學(xué)習(xí)內(nèi)容，用可視化、動(dòng)態(tài)化的形式直觀地表現(xiàn)出來(lái)，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)深入理解，同時(shí)還可以簡(jiǎn)化繁瑣的計(jì)算過(guò)程，讓學(xué)生有更多時(shí)間和精力去體會(huì)和掌握課程的精髓，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng)有趣。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]茹靜．《復(fù)變函數(shù)與積分變換》實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐和探討[J].吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，32(10)：5-9.

[2]韓英，陳佳旗．復(fù)變函數(shù)的可視化問(wèn)題研究[J].北京石油化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，20(4)：61-64.

[3]華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系．復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].2版．北京：高等教育出版社，2003：42-49.

[4]王正林，龔純，何倩.精通MATLAB科學(xué)計(jì)算[M].2版．北京：電子工業(yè)出版社，2007：278-297.

[5]薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解[M].2版．北京：清華大學(xué)出版社，2008：144-151.

[6]張延華，姚林泉，郭瑋．?dāng)?shù)字信號(hào)處理—基礎(chǔ)與應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005：1-22.

(責(zé)任編輯高嵩)

收稿日期：2016-01-08

基金項(xiàng)目：武昌首義學(xué)院校級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：2014Y16)。

作者簡(jiǎn)介：徐彬，碩士，講師。

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.03.015

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-4565(2016)03-0068-05

Matlab Application in Class Teaching of Complex Variables and Integral Transform

Xu Bin

(Department of Basic Science,Wuchang Shouyi University，Wuhan Hubei 430064)

Abstract：In order to make the teaching content more easily accepted by the students,this paper proposes introducing the application of Matlab software into the class teaching of complex variables and integral transform.Based on the software Matlab,the abstract and complicated contents have been displayed in the visual and dynamic form,and at the same time the computation process has been simplified,which can deepen the students' understanding,stimulate the students' learning interest and help achieve better teaching effects.

Key words：Matlab;complex variables and integral transform;class teaching