李新娜，陳　軻

(1.信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450002；2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南 鄭州450002)

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基于問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)探討

李新娜1，陳軻2

(1.信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450002；2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南 鄭州450002)

摘要：以問題為驅(qū)動(dòng)，數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)劃分為“離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義”、“數(shù)學(xué)期望的含義”、“連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義”和“數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用”4個(gè)層次.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望;問題驅(qū)動(dòng);離散;連續(xù)

0引言

數(shù)字特征能夠描述隨機(jī)變量或人們較關(guān)心的某些方面的重要特征，在理論上和應(yīng)用中都非常重要.尤其數(shù)學(xué)期望是其他數(shù)字特征的基礎(chǔ)，因此在教學(xué)過程中需要給予“數(shù)學(xué)期望”更多的關(guān)注.然而，在常見的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材[1-2]里，數(shù)學(xué)期望的引入是通過介紹離散型隨機(jī)變量按各種取值的概率大小所作的加權(quán)平均值進(jìn)行解釋的，而對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望則直接給出數(shù)學(xué)定義，使得學(xué)生很難對(duì)數(shù)學(xué)期望的概念獲得較深刻的認(rèn)識(shí)[3].

鑒于此，作者以問題為驅(qū)動(dòng)，將數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)劃分4個(gè)層次.首先，從簡(jiǎn)單的生活實(shí)際問題出發(fā)，通過組織學(xué)生討論，讓學(xué)生在討論中感受引入數(shù)學(xué)期望概念的必要性，再逐步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)和總結(jié)出離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義;其次，通過對(duì)離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的公式演化，清晰地看出數(shù)學(xué)期望的含義，進(jìn)而，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行離散化,自然地導(dǎo)出連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義；最后，通過對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的探討，引發(fā)學(xué)生層層思考來推動(dòng)知識(shí)點(diǎn)的展開，引導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)有知識(shí)解決實(shí)際問題.

1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義

通過引例分析，結(jié)合總結(jié)求解過程，引入離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義.

引例評(píng)判打靶水平.甲、乙兩個(gè)射手打靶，其命中環(huán)數(shù)X，Y的分布律如表1所示，試問哪個(gè)射手的射擊技術(shù)較好？

表1　X和Y的分布律

甲乙射擊水平的高低完全由其分布律決定，這是毋庸置疑的，但在比較分布律時(shí)遇到困難，針對(duì)不同環(huán)數(shù)甲、乙的高低水平不一樣.而實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此讓甲、乙各射擊n次，其命中情況如表2所示，比較他們射擊一次的平均命中環(huán)數(shù).

表2　甲、乙射擊的命中情況

乙射擊一次的平均命中環(huán)數(shù)近似為

對(duì)比9.3和9.1兩個(gè)結(jié)果，可以容易地看出甲的射擊水平高于乙的射擊水平.進(jìn)一步，總結(jié)該引例的求解過程，平均命中環(huán)數(shù)近似等于命中環(huán)數(shù)乘以相應(yīng)概率再進(jìn)行累加，因此得到離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義.

2數(shù)學(xué)期望的含義

從定義公式的整理形式還可以看出，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望本質(zhì)上就是以概率為權(quán)的隨機(jī)變量取值的平均值，反映了隨機(jī)變量的“平均方面”的特征，因此，數(shù)學(xué)期望構(gòu)成了進(jìn)行水平判定的重要依據(jù)，正如引例中利用數(shù)學(xué)期望評(píng)判射擊水平的高低.

3連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義

關(guān)于數(shù)學(xué)期望，現(xiàn)在只有離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，因此，落腳點(diǎn)還應(yīng)該在離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望上.這里采用數(shù)學(xué)上的一個(gè)典型思路“連續(xù)問題的離散化”.我們希望構(gòu)造一個(gè)合適的離散型隨機(jī)變量去近似一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量[3].問題就是這個(gè)離散型隨機(jī)變量應(yīng)該如何構(gòu)造呢？

4數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用

根據(jù)數(shù)學(xué)期望的含義，數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的“平均”特征，因此數(shù)學(xué)期望主要用于判定水平高低(在保險(xiǎn)等行業(yè)中也可以控制風(fēng)險(xiǎn)大小).數(shù)學(xué)期望被廣泛應(yīng)用于工業(yè)的質(zhì)量控制、農(nóng)業(yè)的農(nóng)田試驗(yàn)、醫(yī)學(xué)的療效檢驗(yàn)、國(guó)防的效能分析、氣象的災(zāi)害預(yù)報(bào)等[4].

美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)組織的美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽[5](American Mathematics Competition，AMC)始于1950年，是為所有喜愛數(shù)學(xué)的學(xué)生所開發(fā)的，還可以篩選出具有特殊天賦者.AMC試題簡(jiǎn)難兼具，使任何程度的學(xué)生都能感受到挑戰(zhàn).試題由25道選擇題構(gòu)成，每道題有5個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)正確答案.它的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是答對(duì)一題得6分，答錯(cuò)不扣分，但是未答得1.5分.將評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)做個(gè)整體平移，相當(dāng)于答對(duì)一題得4.5分，答錯(cuò)扣1.5分，未答得0分,而我們一般遇到的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是答對(duì)一題得4.5分，答錯(cuò)和未答得0分.下面從數(shù)學(xué)期望的角度論證評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的合理性.

根據(jù)考試經(jīng)驗(yàn)，遇到不會(huì)的題目，很多人不會(huì)空著，而是隨便猜個(gè)選項(xiàng)，那么就假設(shè)某人憑運(yùn)氣猜題，記X=“在AMC評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)下，他的題目得分”，Y=“在一般評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)下，他的題目得分”.顯然，X和Y都是隨機(jī)變量，其中X的取值和對(duì)應(yīng)概率只有兩種情況，猜對(duì)了得4.5分，猜錯(cuò)了得-1.5分，并且猜對(duì)的概率為1/5，猜錯(cuò)的概率為4/5.通過數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可知，他的平均得分為

類似地，Y的取值和對(duì)應(yīng)概率也只有兩種情況，猜對(duì)了得4.5分，猜錯(cuò)了得0分，并且猜對(duì)的概率為1/5，猜錯(cuò)的概率為4/5，因此，Y的數(shù)學(xué)期望為

可以看出，在不同的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)下，一個(gè)胡亂猜答案的人的平均收益是不同的，在AMC評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)下胡亂猜答案者不但沒收益，還有損失，而在一般評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)下胡亂猜答案者總是有收益的.這說明了在AMC評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)下鼓勵(lì)學(xué)生按照自己的實(shí)際能力進(jìn)行答題，即所謂“知之為知之，不知為不知”，因此也更能考察出學(xué)生的實(shí)際水平.通過這個(gè)簡(jiǎn)單題目的求解，讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用場(chǎng)合.

5小結(jié)

實(shí)踐證明，通過把數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)分解為4個(gè)問題的解決，不僅能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和知識(shí)遷移的能力.

參考文獻(xiàn)

[1]盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．北京：高等教育出版社，2008:90-91.

[2]熊歐，仇海全，武潔. 數(shù)學(xué)期望的教學(xué)方法新探[J]. 科技信息,2010(8):12.

[3]華劍. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義探析[J].考試周刊,2008(30):44.

[4]苗慧. 論概率中數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用研究[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2013(29):24-27.

[5]百度百科.美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽[EB/OL].[2015-09-12]. http://baike.baidu.com/view/6910868.htm.

Discussion on Teaching the Definition of Mathematical Expectation Based on Problem-driven

LI Xinna1, CHEN Ke2

(1.School of Science, Information Engineering University, Zhengzhou 450002, China;2.InstitutionofNavigationandAerospaceEngineering,InformationEngineeringUniversity,

Zhengzhou450002,China)

Abstract:Based on the problems, the teaching procession of the definition of mathematical expectation is divided into four layers： the definition of discrete random variable mathematical expectation, the meaning of mathematical expectation, the definition of continuous random variable mathematical expectation and the application of mathematical expectation.

Key words:mathematical expectation; problem-driven; discrete; continuous

收稿日期：2015-11-28

基金項(xiàng)目：信息工程大學(xué)教育教學(xué)項(xiàng)目(XD6201513C)

作者簡(jiǎn)介：李新娜(1982—)，女，河南確山人，信息工程大學(xué)理學(xué)院講師，博士，主要研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)．

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.016

中圖分類號(hào)：G642.0;O211.67

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-0834(2016)02-0067-03