安徽省教育科學(xué)研究院　　李院德　　(郵編：230001)

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復(fù)習(xí)

2016年安徽省數(shù)學(xué)學(xué)科調(diào)研性試題分析與備考建議

安徽省教育科學(xué)研究院李院德(郵編：230001)

摘要為了加強對高考使用全國卷背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)，安徽省教科院組織學(xué)科專家研制了數(shù)學(xué)學(xué)科調(diào)研性測試題.根據(jù)測試情況，以及對具體試題的分析，就如何做好高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)進行了若干思考，對備考工作提出一些建議.

關(guān)鍵詞全國卷；調(diào)研試題；備考建議

2016年安徽省數(shù)學(xué)學(xué)科調(diào)研性試題分文、理科，各五道大題，分別是解答題第17題，第21題，以及選做題第22題，第23題和第24題，重點就數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、選修4-1、4-4和4-5等內(nèi)容進行了考查.

1試題的總體特點

此次安徽省數(shù)學(xué)調(diào)研性試題的命制，主要依據(jù)《2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》的要求，參照高考全國卷Ⅰ的命題風(fēng)格，充分考慮“安徽卷”與“全國卷”考查重點的不同，特別關(guān)注我省普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實際情況.

在題型與難度方面，試題兼顧了傳承與創(chuàng)新的關(guān)系.在確保科學(xué)性與規(guī)范性的前提下，試題注重基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力的考查.通過測試學(xué)校反饋的情況看，學(xué)生在答題過程中出現(xiàn)的錯誤和問題具有一定的共性，反映了我省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)存在著一些不足，這表明調(diào)研性試題具有很好的測試和反饋功能，既讓高三師生初步感知了“全國卷”的要求，又為下一步高考復(fù)習(xí)提升效益指引了方向.

2數(shù)據(jù)分析

2.1數(shù)據(jù)來源

為了確保數(shù)據(jù)的科學(xué)性、有效性和準確性，筆者隨機選取了一所普通高中使用調(diào)研性試題進行了測試，從該校698名理科學(xué)生中隨機抽取195人、262名文科學(xué)生中隨機抽取122人，對他們的答題情況進行了分析.

2.2數(shù)據(jù)統(tǒng)計

表1　理科測試情況

表2　文科測試情況

3試題分析

3.1對第17題的分析

圖1　理科第17題得分情況的頻率分布直方圖

試題分析第(Ⅰ)問可以通過函數(shù)的奇偶性確定零點，從而得到遞推公式.根據(jù)遞推公式可求通項公式.主要失分原因有：

(1)由于綜合考查了函數(shù)與數(shù)列的相關(guān)知識，不少學(xué)生不會分析解決問題的途徑；

(2)部分學(xué)生雖然得到了遞推公式，卻不會由遞推公式求通項公式，或者在求解過程中運算錯誤；

(3)幾乎沒有同學(xué)考慮到求出通項公式后還需要進行檢驗，反映出了思維的嚴密性有待提高.

第(Ⅱ)問失分的主要原因是：部分學(xué)生沒能發(fā)現(xiàn)新數(shù)列的特點(分子正好是分母中兩項的差)，這也是正確解決問題的關(guān)鍵.

圖2　文科第17題得分情況的頻率分布直方圖

試題分析第(Ⅰ)問根據(jù)

第(Ⅱ)問失分原因與理科相同.

復(fù)習(xí)建議從近五年高考全國Ⅰ卷看，理科2011、2014、2015和文科2011、2014年第(17)題均是數(shù)列題，主要考查了數(shù)列的定義、通項公式，以及特殊數(shù)列前n項和.建議二輪復(fù)習(xí)要夯實基礎(chǔ)，重點讓學(xué)生掌握好等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)，通項公式和前n項和公式.加強基本技能的訓(xùn)練，如利用遞推公式求數(shù)列通項公式的常見方法，以及常用的求和方法(如錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等).同時，要注重培養(yǎng)學(xué)生的運算求解和推理論證的能力.

3.2對第21題的分析

圖3　理科第21題得分情況的頻率分布直方圖

試題分析第(Ⅰ)問對函數(shù)求導(dǎo)，問題轉(zhuǎn)化為對含參方程在(0，+)內(nèi)有根的討論.暴露的問題有：(1)公式不熟，求導(dǎo)錯誤；(2)分類討論時出現(xiàn)錯誤；(3)僅僅說明函數(shù)單調(diào)區(qū)間，沒有指出極值點.

第(Ⅱ)問可以說是調(diào)研性試題的壓軸一小問.許多學(xué)生對其敬而遠之，主要原因是學(xué)生思維的抽象能力不強，理性思維深度不夠，難以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).另外，也與時間不夠和畏難情緒有關(guān).

文科第21題已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax2.

(Ⅰ)若f(x)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1、x2,證明：x1·x2>e2.

圖4　文科第21題得分情況的頻率分布直方圖

試題分析第(Ⅰ)問利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出實數(shù)a的取值范圍，是常見的恒成立問題，采用分離變量構(gòu)造新函數(shù)很容易求出正確結(jié)果.需要注意的是，一定要在定義域內(nèi)討論.主要失分原因有：(1)求導(dǎo)出現(xiàn)錯誤；(2)思維的靈活性不夠，沒有想到用分離常數(shù)的辦法.

第(Ⅱ)問對欲證不等式作等價變形，再構(gòu)造函數(shù)解決問題.第(Ⅱ)問要求學(xué)生能夠靈活運用所學(xué)的知識，對學(xué)生的創(chuàng)新意識要求較高.與理科的情形相似，絕大多數(shù)的同學(xué)沒有解答.

復(fù)習(xí)建議2011-2015年，全國Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)試題(除2013年文科卷是第20題)所處的位置和難度非常穩(wěn)定，綜合性較強，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求.建議在復(fù)習(xí)中要做好以下幾點：

(1)重視導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的突出地位.不僅要讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)的概念和背景，更重要的是要讓學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)的基本知識解決問題(如圖象、單調(diào)性、最值、恒成立等問題以及函數(shù)的零點) 的一般方法，體會導(dǎo)數(shù)的通法作用.

(2)加強運用，培養(yǎng)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決問題的能力.如高考中經(jīng)常出現(xiàn)的切線問題、含參問題、不等式問題、恒成立等問題.同時注重滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等思想，著重提升學(xué)生的抽象概括、推理論證、運算求解能力，以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識(尤其是構(gòu)造函數(shù)的能力).

3.3選做題分析

對于“三選一”(第22、23和24題)的選做題，絕大多數(shù)學(xué)生選擇了第23題，反映了學(xué)生整體對選修4—4專題掌握較好，也反映出一些學(xué)校對選修部分教學(xué)存在著一定的偏好，與使用全國卷的有關(guān)省份高考選做題情況基本吻合.

第22題(選修4-1：幾何證明選講)如圖，AB是圓O的一條直徑，弦CD垂直于AB,垂足為點G,E是劣弧BD上一點，點E處的切線與CD的延長線交于點P,連接AE,交CD于點F.

(Ⅰ)求證：PE=PF；

(Ⅱ)求證：DF·CF=2GF·PF.

圖6　第22題理科學(xué)生得分情況的頻率分布直方圖

圖7　第22題文科學(xué)生得分情況的頻率分布直方圖

試題分析整體來說，這道題得分率比較高.出現(xiàn)的問題主要是：基本定理不太熟悉，不會構(gòu)造輔助線，或者是對幾何證明有畏難情緒.對于幾何證明選講專題的考查，全國Ⅰ卷近五年來主要考查了四點共圓的判定和性質(zhì)、射影定理、相交弦定理、弦切角、三角形相似的性質(zhì)與判定等內(nèi)容，主要是考查學(xué)生的幾何思維與邏輯推理能力，考查學(xué)生的幾何直觀與空間觀念.

(Ⅰ)求曲線C1與曲線C3交點的直角坐標(biāo)；

(Ⅱ)若P是曲線C2上的動點，Q是曲線C3上的動點，求|PQ|的最小值.

圖8　第23題理科學(xué)生得分情況的頻率分布直方圖

圖9　第23題文科學(xué)生得分情況的頻率分布直方圖

試題分析本題考查直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，求直線與圓的交點坐標(biāo)，利用點到直線的距離求最值問題，考查轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合思想.主要失分原因有：

第(Ⅰ)問部分同學(xué)可能是審題不清，漏看了還要求兩條曲線的交點坐標(biāo)，導(dǎo)致失分；

第(Ⅱ)問部分同學(xué)說理不清，僅有數(shù)學(xué)符號沒有必要的文字加以說明.

近五年來，全國Ⅰ卷對于極坐標(biāo)與參數(shù)方程，主要考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程，與極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化，軌跡的參數(shù)方程，兩點間的距離公式等問題，目的是為了讓學(xué)生掌握曲線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)，以及它們之間的相互聯(lián)系，有利于學(xué)生未來的學(xué)習(xí)與發(fā)展，難度適中.

(Ⅰ)試比較f(-1)與f(a)的大小；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象和x軸圍成一個三角形，求實數(shù)a的取值范圍.

圖10　第24題理科學(xué)生得分情況的頻率分布直方圖

試題分析本題考查含絕對值的函數(shù)值的大小比較，絕對值函數(shù)圖象的特征等基礎(chǔ)知識，以及分類討論思想和運算求解能力.

第(Ⅰ)問比較大小可以考慮作差法，有的同學(xué)說理不清楚，直接說是顯然的，而沒有進行作差說明.

第(Ⅱ)問對函數(shù)圖象和x軸圍成一個三角形作等價轉(zhuǎn)化，從而求出a的取值范圍.有的同學(xué)分類不清楚，無法找到合適的方法.

近五年來，對于不等式選講，全國Ⅰ卷在2011年、2012年、2013年2015年均考查了含有參數(shù)的絕對值不等式，2014年考查了均值不等式，涉及分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸思想等，難度適中.

復(fù)習(xí)建議(1)根據(jù)學(xué)生情況，凸顯選修特色.對于選修內(nèi)容，教師可根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，既可以選擇集中教學(xué)，也可以結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平分層教學(xué).教學(xué)中應(yīng)突出“選修”的特色，賦予學(xué)生“選”的權(quán)利，尊重他們的興趣選擇.在復(fù)習(xí)時段上可以和必修內(nèi)容復(fù)習(xí)相結(jié)合，適當(dāng)把選修內(nèi)容穿插在必修內(nèi)容之間， 同時復(fù)習(xí)過程中要根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容、學(xué)生反饋的情況靈活調(diào)整，適當(dāng)處理.

(2)豐富教學(xué)形式，重視探究性學(xué)習(xí).選修部分內(nèi)容不多，專題感強，有很好的探究價值.教師在教學(xué)和復(fù)習(xí)中可以分成多個小組，做一些探究性學(xué)習(xí)活動.

(3)重視考題特點，加強有效訓(xùn)練.教師要注重高考真題的研究價值和指導(dǎo)意義，可以對歷年的真題進行測驗、講解.在此過程中，要根據(jù)學(xué)生情況和高考要求，避免過多過難過偏，防止增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān).

4對高三教學(xué)的幾點思考

4.1夯實基礎(chǔ)，構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)

以《考試大綱》為引領(lǐng)，重視對基本知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)方法的教學(xué)，充分發(fā)揮教材在高考復(fù)習(xí)備考中的作用，幫助學(xué)生準確理解數(shù)學(xué)知識，了解知識間的邏輯關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，建構(gòu)完整、有序的知識網(wǎng)絡(luò)，注重從知識整體的高度理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，形成良好的認知結(jié)構(gòu).

4.2加強高考研究，把握備考方向

安徽卷與全國卷在試題風(fēng)格、考查范圍、試卷結(jié)構(gòu)、知識點分布、考查側(cè)重點以及能力要求上有一定的差異(可參考安徽省教育廳關(guān)于印發(fā)《2015-2016年度高三語文等九個學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》)，但安徽省高考試卷自主命題的指導(dǎo)思想與全國卷保持一致，命題始終遵循《考試大綱》，著重考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，這個本質(zhì)是不變的.因此，我們要認真研讀《考試大綱》，不僅要重視把握知識考查的范圍與要求，更要重視對能力的要求，只有這樣，才能使培養(yǎng)學(xué)生的能力落到實處.另外，我們還要研究全國卷的真題，重視解題方法和策略的研究，要善于幫助學(xué)生在解題過程中總結(jié)解題方法，積累解題經(jīng)驗.

4.3突出數(shù)學(xué)思想，注重提升能力

主要做好兩個方面的工作：一要重視數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)與應(yīng)用.到了復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)該對數(shù)學(xué)基本思想、方法進行梳理、總結(jié)，逐個認清它們的本質(zhì)特征和相互聯(lián)系，自覺、靈活地應(yīng)用于所要解決的問題中；二要重視思維能力的培養(yǎng).復(fù)習(xí)教學(xué)要在重視基礎(chǔ)知識掌握的同時，更加注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升.空間想象、抽象概括、推理論證等思維能力的培養(yǎng)應(yīng)滲透日常教學(xué)和復(fù)習(xí)備考的全過程，要讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展、應(yīng)用和解題過程中，感悟數(shù)學(xué)思想方法.要注意挖掘例題所蘊含的內(nèi)在的教學(xué)價值，重視一題多解、一題多變、多題一解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

(收稿日期：2016-02-18)

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