江蘇省海門中學(xué)證大校區(qū) 黃衛(wèi)平 (郵編:226100)
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利用幾何畫板探索圓錐曲線試題題根的教學(xué)案例
江蘇省海門中學(xué)證大校區(qū)黃衛(wèi)平(郵編:226100)
對于一個試題,削弱其條件,加強其結(jié)論,追根溯源得到一個更加普遍性意義的結(jié)論,這就是這個試題的題根.如果我們對一個試題疑似它有一個有價值的題根,就應(yīng)該大膽進行猜測,探索論證其正確性.研究試題的題根,對教師而言,能夠有效提升業(yè)務(wù)素質(zhì),對命制試卷具有題庫作用;對學(xué)生而言,培養(yǎng)研究探索精神和推理論證能力大有益處.在圓錐曲線問題中,利用幾何畫板研究問題的一般性,探索結(jié)論的正確性具有特殊的優(yōu)勢.
下面以一道2015年江蘇高考學(xué)科基地秘卷(數(shù)學(xué)第十套)(江蘇人民出版社)上的試題為例,和大家分享利用幾何畫板探索圓錐曲線試題題根的教學(xué)案例.
(1)求該橢圓的方程;
(2)求證:直線MN恒過x軸上的一個定點.
通過幾何畫板演示發(fā)現(xiàn)(如圖3),結(jié)論是肯定的,下面進行證明.
①
②
下面證明,當(dāng)PM、PN斜率都存在時,直線MN也經(jīng)過點Q.
設(shè)直線PM的方程為y-y0=k(x-x0),與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得
(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0,由韋達(dá)定理可知,
所以yM=kxM+(y0-kx0)
將上述繁分式進行化簡,并將分子分母分別按k進行降冪排列,得到
探索2當(dāng)點P在橢圓上運動的時候,這個定點Q的軌跡有什么特征?
設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,y),則
這就是點Q的軌跡方程,軌跡為橢圓,而且這個橢圓和已知橢圓以原點為中心位似.
探索3如果將條件中的“垂直”改為“其它角度”,結(jié)論又會如何?
我們以直線PM、PN相交成30°為例,通過幾何畫板演示發(fā)現(xiàn),直線MN沒有過一個定點,但是得到一個有趣的結(jié)論:直線MN形成一個包絡(luò),這個包絡(luò)是橢圓(如圖4).這個結(jié)論利用微分幾何知識可以證明,在此就不證明了.
我們將上面的探索結(jié)果系統(tǒng)整理成以下結(jié)論:
且這個橢圓和已知橢圓以原點為中心位似.
(2)當(dāng)直線PM與PN不垂直時,直線MN不過定點,但是直線MN形成一個橢圓包絡(luò).
探索4對于雙曲線是否具有類似結(jié)論?
由雙曲線方程的特點可知,將結(jié)論1中的b2改為-b2就可以得到如下結(jié)論:
(2)當(dāng)直線PM與PN不垂直時,直線MN不過定點,但是直線MN形成一個雙曲線包絡(luò).
探索5對于拋物線是否也有上述類似的結(jié)論呢?
通過幾何畫板演示發(fā)現(xiàn),拋物線也有上述類似的結(jié)論.
結(jié)論3設(shè)P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上的任意一點,過P作兩條直線PM、PN交橢圓于M、N兩點.
(1)當(dāng)PM⊥PN時,直線MN恒過一個定點Q(x0+2p,-y0),若點P在拋物線上運動,則這個定點Q的軌跡為拋物線y2=2p(x-2p)(p>0),且這個拋物線是已知拋物線向右平移2p個單位所得.
(2)當(dāng)直線PM與PN不垂直時,直線MN不過定點,但是直線MN形成一個拋物線包絡(luò).
證明如圖5,設(shè)點M(x1,y1),N(x2,y2),
所以直線MN恒過定點Q(x0+2p,-y0).
當(dāng)點P在拋物線上運動,這個定點Q點軌跡為拋物線y2=2p(x-2p)(p>0),且這個拋物線是已知拋物線向右平移2p個單位所得.
(2)這個結(jié)論利用微分幾何知識可以證明,在此就不證明了.
以上的探索過程層層深入,將原試題對特殊曲線、特殊位置的結(jié)論推廣到一般圓錐曲線、一般位置的結(jié)論,得到了具有更加廣泛意義的題根.現(xiàn)代信息技術(shù)、幾何畫板的使用,使圖形的變化更為直觀,給探索問題提供方便,使課堂注入了新的活力,學(xué)生對這樣的課堂很有興趣,參與探索和研究的積極性很高,而且對橢圓和拋物線問題的證明,分別采取了不同的合理方法.這樣的課堂應(yīng)該多加嘗試、研究.
(收稿日期:2016-03-12)