張穎穎

[摘 要]數(shù)學(xué)概念教學(xué)的追求并非是使學(xué)生明白形式化的定義，而是讓學(xué)生真正從意義上理解和從本質(zhì)上把握概念。面積概念的建立是學(xué)生空間觀念形成過程中的一次重要飛躍，標(biāo)志著學(xué)生在認(rèn)識一維空間的基礎(chǔ)上開始認(rèn)識二維空間。因此，教學(xué)預(yù)案應(yīng)因生而設(shè)，教學(xué)過程要順學(xué)而導(dǎo)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、主動發(fā)現(xiàn)、深刻體會，以實現(xiàn)讓學(xué)生在“線”與“面”的行進(jìn)中明晰面積概念的目的。

[關(guān)鍵詞]概念教學(xué) 感知 理解 深化 升華 融會 面積

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）17-015

源起：概念，學(xué)生真的理解了嗎？

我偶然聽到幾位同事聊天：“現(xiàn)在的學(xué)生真是越來越差了，長度單位與面積單位老是亂用，怎么講都沒用！”“學(xué)生的作業(yè)也是錯得一塌糊涂?！薄笆前?，我們班學(xué)生也是這樣……”普遍問題的背后是否存在共性？我們的概念教學(xué)是否存在問題，導(dǎo)致學(xué)生根本沒有真正理解面積的含義？帶著這些問題，我走近學(xué)生。

我隨機(jī)走進(jìn)三年級的兩個班，拿起數(shù)學(xué)書讓學(xué)生指一指數(shù)學(xué)書封面的大小。此時，學(xué)生尚未認(rèn)識面積，但他們對數(shù)學(xué)書封面大小的表示驚人的統(tǒng)一：約90%的學(xué)生指周長，4%的學(xué)生茫然，6%的學(xué)生摸數(shù)學(xué)書部分的封面或點(diǎn)數(shù)學(xué)書封面的中心。此后，我陸續(xù)在兄弟學(xué)校進(jìn)行走訪，發(fā)現(xiàn)結(jié)果也基本相同?？梢?，此時學(xué)生的思維尚停留在一維空間，對面積的理解或表達(dá)都是貧乏的、蒼白的。

那么，學(xué)習(xí)面積概念后的學(xué)生是否真正理解了概念，實現(xiàn)一維空間向二維空間的發(fā)展呢？在教學(xué)此課后，我第一時間走近學(xué)生，就“一樣長的線，圍出的圖形面積是否相等”這一問題與他們進(jìn)行探討。遺憾的是，92%的學(xué)生依然“線”“面”混淆，將比線的長短等同于比面的大小。所以，單純的面積概念的教學(xué)可能很難使學(xué)生真正建立起面積的概念，更難以實現(xiàn)一維空間向二維空間的發(fā)展。

回想之前的對話與近段時間對學(xué)生的了解，我不斷思考著兩個問題：“線”與“面”如何真正辨析，有效溝通？“面”和“面積”的區(qū)別是什么，兩者又該如何有機(jī)銜接？

思考：概念，如何讓學(xué)生真正理解？

“面積的認(rèn)識”是小學(xué)數(shù)學(xué)中面積知識學(xué)習(xí)的開始，是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。面積概念的建立是學(xué)生空間觀念形成過程中的一次重要飛躍，標(biāo)志著學(xué)生在認(rèn)識一維空間的基礎(chǔ)上開始認(rèn)識二維空間。面和面積是兩個不同的概念，面是指有長有寬而沒有厚度的一種行跡，這種行跡有平面還有曲面；而面積是指一個物體表面或封面圖形所圍成的區(qū)域的度量。為此，本課教學(xué)應(yīng)該從知識的本質(zhì)入手，立足學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，圍繞物體表面、平面圖形將面與面積的知識科學(xué)銜接，并通過“線”與“面”的辨析活動，促進(jìn)學(xué)生對知識的深層思考，逐步感知面積的含義，獲得對知識本質(zhì)內(nèi)涵的理解。

實踐：概念，在“線”“面”辨析中行進(jìn)

一、在觀面中感知概念

1.了解學(xué)情

師：今天這節(jié)課，我們一起來研究“面積”。大家覺得什么是面積？

生1：物體表面是面積。

生2：長方形的面積是長乘寬。

生3：面積就是平方……

師：今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，就從同學(xué)們提到的對物體表面的研究開始。

2.合作觀面

師：四人小組合作，交流討論對物體（如水杯、數(shù)學(xué)書等）表面的認(rèn)識。

課件出示合作要求：四人小組找一找、摸一摸物體的面，相互說說自己有什么發(fā)現(xiàn)。

3.匯報交流，豐富認(rèn)識

學(xué)生小組匯報有以下幾種情況：（1）從物體的材質(zhì)方面進(jìn)行匯報，如面是滑滑的、粗糙的；（2）從面的個數(shù)方面進(jìn)行匯報，如數(shù)學(xué)書有6個面等；（3）從物體面的形狀方面進(jìn)行交流，如紙盒有的面是長方形的，有的面是三角形的；（4）從物體面的特點(diǎn)方面進(jìn)行交流，如水杯上面是平平的、主體是彎彎的。

4.適時點(diǎn)評，抽象出平面與曲面

師在學(xué)生匯報時，均給予適時的點(diǎn)評，并引導(dǎo)學(xué)生從提到的“平平的面、彎彎的面”中及時抽象出平面與曲面這兩個概念。

5.小結(jié)

師：通過四人小組合作，我們發(fā)現(xiàn)了物體的面有平面，也有曲面，而且形狀各不相同。

……

面積的研究基于面大小的度量。生活中，“面”都是依附“體”存在的，而學(xué)生對一個事物的認(rèn)知往往都是先從整體感知，再到逐步觀察的。

基于此，我在全課的起始環(huán)節(jié)從整體感知導(dǎo)入，借助數(shù)學(xué)書、水杯、紙盒這三個物體，讓學(xué)生以小組為單位找一找、摸一摸物體的面。由于所提供的學(xué)具形狀具有代表性，學(xué)生自然而然地將觀察點(diǎn)聚焦到了“面”上，并能很快發(fā)現(xiàn)不同的物體，面的形狀會有所不同。同時，學(xué)生通過觸摸感受到了平面與曲面，有效完成了對“面”的整體感知。

二、在辯面中理解概念

（一）物體表面

1.辨析線與面，認(rèn)識面積

（1）請面。

課件動態(tài)演示，分別出示數(shù)學(xué)書封面、水杯頂面和紙盒側(cè)面。

（2）辨面（以數(shù)學(xué)書封面為例）。

①指。

師：這些面各有多大呢？現(xiàn)以數(shù)學(xué)書封面為例，同桌兩人指指它的大小。（大部分學(xué)生指的是周長，于是先請指周長的學(xué)生上臺演示，再通過學(xué)生間的辨析，引出不同的意見）

②刷。

師：如果真的如第一個同學(xué)所指的那樣，那指出的只是這個面的邊線，所以應(yīng)該要像第二個同學(xué)那樣指。（然后讓學(xué)生舉起小手，想象它就是一把神奇的帶顏色的刷子，一起刷出整個面的大小。同時，師邊說邊用課件動態(tài)呈現(xiàn)描數(shù)學(xué)封面邊線、里面部分消失的過程，再出示用刷子刷數(shù)學(xué)書封面的過程）

③描述。

師：現(xiàn)在你覺得數(shù)學(xué)書封面的大小指的是什么？

生1：整個面都是。

生2（指數(shù)學(xué)書封面）：就是這里面的一大片。

……

（3）說一說水杯頂面與紙盒側(cè)面的大小。

師（小結(jié)）：像這樣，物體表面的大小，就叫這個面的面積。

2.比較三個面面積的大小

師：找比數(shù)學(xué)書封面的面積大得多的面，比黑板面的面積小一點(diǎn)的面，比黑板面的面積大得多的面。

（二）封閉圖形

1.圍

師：剛才我們通過對物體表面的研究，知道了什么叫面積?，F(xiàn)在老師這里有這樣的四條線（如右圖），如果將它們分別圍成一個封閉圖形，想一想，會圍成什么圖形？（課件動態(tài)演示將四條線段圍成圓、正方形、長方形、三角形）

2.指

（請學(xué)生代表上臺指一指封閉圖形的面積在哪里）

師生（小結(jié)）：圓的大小，就是圓的面積；長方形的大小，就是長方形的面積；正方形的大小……

師：是啊，封閉圖形的大小，也叫封閉圖形的面積。

3.比較

師：這里圓、長方形、正方形、三角形的面積，誰大誰小呢？

生3：圓的面積最大，三角形的面積最小，長方形與正方形的面積相等。

生4：圓的面積最大，三角形的面積最小，正方形的面積比長方形的面積大。

4.辯

（請持不同意見的學(xué)生分別闡述理由，學(xué)生有的認(rèn)為圍兩個圖形的線一樣長，所以它們的面積一樣大；有的則認(rèn)為雖然圍的線一樣長，但是面積不一定相等）

師（提煉觀點(diǎn)并板書）：一樣長的線，圍出來的圖形，面積一定（不一定）相等。（然后給出兩根一樣長的線，邀請意見相反的兩個學(xué)生在操場上圍一圍，使學(xué)生通過動手操作，得出結(jié)論：一樣長的線，圍出來的圖形，面積不一定相等。

……

面積概念的建立標(biāo)志著二維空間認(rèn)識的開始。上述教學(xué)作為面積概念構(gòu)建的重要環(huán)節(jié)，我主要從物體表面與封閉圖形兩個方面引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識面積，并緊扣學(xué)情設(shè)計兩個“線”“面”的辨析活動。第一個活動為討論“面的大小指哪里”。受周長的負(fù)遷移影響，大部分學(xué)生通常用“指邊線”代替“摸面”，分析其背后的原因主要有兩個：一是學(xué)生確實不理解面的大小到底指哪里；二是學(xué)生懵懂知曉，但不知如何表達(dá)。可見，不論是哪種情況，都有必要讓學(xué)生經(jīng)歷“指邊線”與“摸面”的辨析活動，從本質(zhì)上實現(xiàn)他們對面積概念的有效構(gòu)建。第二個活動為討論“一樣長的線圍出的圖形面積是否一定相等”。大部分學(xué)生都認(rèn)為兩條一樣長的線所圍的圖形的面積一定相等，即將線的長短等同于面的大小。所以，在認(rèn)識封閉圖形面積這一環(huán)節(jié)中，我再一次引入“線”“面”的比較：用四根線段（其中兩根線的長度相等）圍封閉圖形，引導(dǎo)學(xué)生在比較所圍圖形面積的大小時展開討論，得出一樣長的線圍出的圖形面積一定相等與面積不一定相等兩個觀點(diǎn)。毋庸置疑，學(xué)生在經(jīng)歷了這樣兩個“線”“面”的辨析活動后，對面積概念的理解會更加深刻，一維空間向二維空間的發(fā)展也就水到渠成了。

三、在測面中深化概念

1.同桌合作，測量圖形面積的大小

課件出示大小不同的正方形、圓形、剪刀，要求學(xué)生同桌合作，選擇工具比較圖形面積的大小。

2.匯報交流，分享比較的方法

學(xué)生的比較方法主要有兩種，分別為剪拼法與擺圖形，作品如下圖。

接著，師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較長方形、正方形面積大小的方法，并讓學(xué)生思考：哪種方法最合理，為什么？然后使學(xué)生得出：用完全一樣的小正方形來量，是非常不錯的方法。在此基礎(chǔ)上，師引導(dǎo)學(xué)生理解只擺一行一列的這種情況，并讓學(xué)生介紹是怎樣比較圖形面積大小的。

……

顯而易見，上述環(huán)節(jié)是為學(xué)生進(jìn)一步理解面積概念而設(shè)計的，并為面積單位的教學(xué)埋下伏筆。

在通過擺圖形來比較圖形面積大小的過程中，體現(xiàn)了多個思維層次，即有的擺滿，有的只擺一行一列就能比較出圖形面積的大小了。而且，學(xué)生在比較中，有的選擇擺正方形比較，有的選擇擺圓形比較，有的統(tǒng)一了比較的標(biāo)準(zhǔn)，有的則沒有統(tǒng)一比較的標(biāo)準(zhǔn)。雖然方法各有不同，且有瑕疵，但學(xué)生均已由課始的比“線”到了如今自覺的比“面”，有效深化了所學(xué)的數(shù)學(xué)概念。

四、在想象中升華概念

1.猜一猜

師（多媒體動態(tài)呈現(xiàn)下圖）：哪個長方形的面積大？

通過猜一猜使學(xué)生明確：要想象一個長方形的面積，至少要知道兩個元素，即長與寬。

2.估計（多媒體出示下圖）

根據(jù)已知的長與寬，想象是什么學(xué)習(xí)用品的哪個面，并估計這個面的面積有幾個小正方形這么大。（此題有橡皮上面、學(xué)生尺表面、鉛筆盒上面三組學(xué)習(xí)用品，圖例僅為其中的一組）

……

小學(xué)階段是人的一生中空間觀念發(fā)展的重要時期，而“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容無疑是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的最佳載體。誠然，這節(jié)課的“線”“面”辨析已為發(fā)展學(xué)生的空間觀念提供了較好的平臺。于此，我還想從空間想象這個維度加以落實與升華，逐步引領(lǐng)學(xué)生實現(xiàn)一維空間到二維空間的發(fā)展。

在此課的練習(xí)環(huán)節(jié)中，我借助空間想象設(shè)計了“猜一猜”的活動，在鞏固新知的同時再次發(fā)展學(xué)生的空間觀念，引導(dǎo)學(xué)生從“看到一行一列想象長方形的面積”到“看到一條長和一條寬想象長方形的面積”再到“只看到一條邊能不能想象一個長方形的面積”，使學(xué)生直觀而又深刻地感悟到：要想象一個長方形的面積，至少要知道長與寬兩個元素。基于此，我再讓學(xué)生根據(jù)提供的一條長與一條寬想象長方形的面積，并與生活中實際物體的面加以聯(lián)系，借助小正方形估測面積。在這層層深入的猜測和想象中，學(xué)生的參與熱情被點(diǎn)燃，更是由具象到抽象，再由抽象回到具象，形象直觀地實現(xiàn)一維空間向二維空間的發(fā)展。

五、在溝通中融會概念

1.以線量線

師：還記得我們量線段長度時，是用什么量的嗎？（學(xué)生回答后，課件演示用尺子測量線段的長度，如下圖）

2.以面量面

師（課件動態(tài)演示線變成面的過程）：現(xiàn)在，我們知道了可以用小正方形去量面積。

3.以體量體

師（課件動態(tài)演示面變成體的過程）：如果我們以后要測量立體圖形面積的大小，會用什么量？

……

在“圖形與幾何”內(nèi)容中，長度、面積、體積是刻畫圖形大小的度量概念，根據(jù)圖形的維數(shù)，它們的內(nèi)涵表述是有差異的。長度、面積和體積是一組從一維空間至二維空間再到三維空間的度量概念，三者在要素構(gòu)成中具有邏輯關(guān)系，經(jīng)歷了“點(diǎn)——線——面——體積”的過程。本節(jié)課“面積的認(rèn)識”，打破了學(xué)生用線度量長度的單一思維，開始接觸以面度量面積大小的知識，而單位的匹配性會是我們教學(xué)中關(guān)注的重點(diǎn)。

課末，我從單位匹配性的溝通比較與拓展延伸入手，設(shè)計了“以線量線”“以面量面”“以體量體”的環(huán)節(jié)，使學(xué)生在回憶、思考與推論中融會貫通。在數(shù)形結(jié)合的直觀演示中，學(xué)生形成了認(rèn)知表象，使長度與面積的表征于潛移默化中記憶深刻，而對體積的感悟也逐漸加深。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計不僅是全課的知識回顧，更是“圖形與幾何”領(lǐng)域知識脈絡(luò)的橫向溝通與縱向深入。相信有了以上的教學(xué)，學(xué)生濫用單位的現(xiàn)象會得到明顯改變。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的追求并非是使學(xué)生明白形式化的定義，而是讓學(xué)生真正從意義上理解和從本質(zhì)上把握概念。課堂教學(xué)設(shè)計有多種方法，但無論是掌握概念，還是滲透思想方法都非教師的一廂情愿，而應(yīng)該是因生而設(shè)、順學(xué)而導(dǎo)。朱永新教授曾說過：“要想把學(xué)生引領(lǐng)到你需要的地方，你得知道學(xué)生現(xiàn)在在哪里?！贝苏n教學(xué)從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，在“線”與“面”的一觀一辯、一測一想之間層層深入，引導(dǎo)學(xué)生積極探索、主動發(fā)現(xiàn)、深入體會，使學(xué)生的思維在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中得到發(fā)展。

（責(zé)編 藍(lán) 天）