突出實(shí)踐性和創(chuàng)新性實(shí)現(xiàn)高考的選拔功能
——2016年高考數(shù)學(xué)試題評析

2016年高考數(shù)學(xué)試題體現(xiàn)了立德樹人的理念，關(guān)注社會和學(xué)生發(fā)展。加強(qiáng)對考生實(shí)踐應(yīng)用能力的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和在解決實(shí)際問題中的作用。在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，增強(qiáng)考核內(nèi)容的基礎(chǔ)性和綜合性。創(chuàng)設(shè)新穎情境和靈活多樣的設(shè)問方式，體現(xiàn)對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。各種題型相互配合，梯度合理，實(shí)現(xiàn)高考的選拔功能。

高考數(shù)學(xué)；考試內(nèi)容改革；考試招生制度改革；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

2016年高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持社會主義核心價(jià)值觀，堅(jiān)持立德樹人，關(guān)注社會發(fā)展，關(guān)注考生社會責(zé)任的培養(yǎng)，體現(xiàn)時(shí)代特征，很好地實(shí)現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱的內(nèi)容和要求，體現(xiàn)能力立意，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化。試卷在總體結(jié)構(gòu)、難易分布、考查內(nèi)容等方面保持相對穩(wěn)定，符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和認(rèn)知水平，并在基礎(chǔ)性、思想性、創(chuàng)新性等方面作出積極的探索。

2016年高考數(shù)學(xué)試題突出對創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查，深入考查考生的邏輯思維能力和實(shí)踐能力，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，注重對數(shù)學(xué)通性通法的考查，準(zhǔn)確區(qū)分考生。試卷有利于科學(xué)選拔人才、有利于深化課程改革、有利于促進(jìn)社會公平，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革有積極的導(dǎo)向作用。

1 突出實(shí)踐應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)與人類生活和社會發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)。2016年高考數(shù)學(xué)試題緊密結(jié)合社會實(shí)際和考生的現(xiàn)實(shí)生活，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的重要作用和應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)了高考改革中加強(qiáng)應(yīng)用性的特點(diǎn)。試題涉及公司班車、志愿者活動、旅游城市、續(xù)保人的保費(fèi)、高科技企業(yè)產(chǎn)品利潤、企業(yè)的成本控制、生活垃圾無害化處理量等背景，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會的密切聯(lián)系，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的巨大威力。試題情景豐富，貼近考生，貼近生活，具有濃厚的時(shí)代氣息，引導(dǎo)考生關(guān)注社會發(fā)展、關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

例1（全國Ⅲ卷理科第4題）：

某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖，如圖1所示.圖1中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是

（A）各月的平均最低氣溫都在0℃以上

圖1

（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

（D）平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)

本題引用新穎的統(tǒng)計(jì)圖，考查考生學(xué)習(xí)新知識、解決新問題的能力。試題選取考生熟知的實(shí)際生活問題，要求考生讀懂該統(tǒng)計(jì)圖并回答問題，以考查考生對新知識的學(xué)習(xí)和理解能力。試題通過給出課本中沒有出現(xiàn)過的統(tǒng)計(jì)圖——雷達(dá)圖，要求考生讀懂統(tǒng)計(jì)圖的內(nèi)容，并在此基礎(chǔ)上，對雷達(dá)圖提供的信息進(jìn)行加工、整理，分析、比較題目提供的各種結(jié)論，得出正確的判斷。

例2（全國Ⅱ卷理科第18題）：

某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如表1所示：

表1

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如表2所示：

表2

（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；

（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

本題以日常生活中車輛保險(xiǎn)問題為原型背景，精心編制與設(shè)問。試題第Ⅰ問設(shè)計(jì)為求一較為復(fù)雜的事件概率，考查考生處理較為實(shí)際問題的能力以及對事件的關(guān)系與運(yùn)算、概率性質(zhì)的理解與掌握；第Ⅱ問設(shè)計(jì)為求條件概率的問題，考查考生對條件概率概念的理解與掌握以及計(jì)算能力；第Ⅲ問設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)期望的問題，考查考生對隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的理解及運(yùn)算求解能力。本題具有較強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用背景，考查了統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識、基本思想和方法，考查考生對事件的關(guān)系、運(yùn)算的理解，利用簡單的事件表達(dá)較為復(fù)雜的事件的能力；對概率運(yùn)算性質(zhì)的理解與掌握，對條件概率、數(shù)學(xué)期望的理解和運(yùn)算求解能力。本題考查了考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，用時(shí)也感悟到數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。

2 突出基礎(chǔ)性、綜合性

國務(wù)院《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》明確指出深化高考考試內(nèi)容改革的方向，“依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)設(shè)計(jì)命題內(nèi)容，增強(qiáng)基礎(chǔ)性、綜合性，著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力”。2016年高考數(shù)學(xué)試題所考查的知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想與方法既有注重基礎(chǔ)，又有創(chuàng)新，注重從知識交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)，突出對基礎(chǔ)知識和基本能力的考查。

例3（全國Ⅱ卷理科第17題）：

Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且 a1=1，S7=28.記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和.

本題引入新概念取整函數(shù)[x]，與等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識有機(jī)相結(jié)合，考查考生閱讀數(shù)學(xué)素材的能力。題目中以“舉例說明”的方式，幫助考生理解新概念[x]。第（Ⅰ）問，要求考生求出3個(gè)具體項(xiàng)的值，既是對考生理解、應(yīng)用新概念[x]的考查，也是為考生解決第（Ⅱ）問時(shí)在知識、方法上做一點(diǎn)提示與鋪墊，同時(shí)也是要求考生將習(xí)得的解決問題的經(jīng)驗(yàn)，有效遷移到更為深入或更為復(fù)雜的問題情境中去。在求bn=f(n)的過程中，確定分段函數(shù)的“分段”節(jié)點(diǎn)，n=10，n=100，n=1 000不僅是對運(yùn)算求解能力的考查，更主要的是對推理能力和算理的考查。試題難度不大，但綜合地考查了考生的基礎(chǔ)知識、基本技能以及基本活動經(jīng)驗(yàn)。

一道數(shù)學(xué)試題往往考查多種能力、多種思想方法，并蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化。例如全國Ⅲ卷理科第9題給出了斜四棱柱的“三視圖”，要求考生由“三視圖”構(gòu)造出相應(yīng)的“幾何體”，在考查基本概念的同時(shí)，重點(diǎn)考查了空間想象能力和邏輯推理能力。又如全國Ⅱ卷理科第（21）題考查了化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論的思想方法，揭示了如何利用輔助函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的方法。再如全國Ⅱ卷第8題取材于我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶所著的數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中研究的“多項(xiàng)式值的算法”，將中國古代數(shù)學(xué)文化融入到試題中，引導(dǎo)考生傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、弘揚(yáng)愛國主義精神。

3 突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)

2016年高考數(shù)學(xué)試題體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)（包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析），對深化課程改革、引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)起到積極的導(dǎo)向作用。提升考生的核心素養(yǎng)，必須關(guān)注立德樹人，關(guān)注提升學(xué)習(xí)的能力，關(guān)注學(xué)生走向社會在未來發(fā)展中所需的知識和能力。因此，2016年的數(shù)學(xué)試卷注重創(chuàng)新題型設(shè)計(jì)，綜合、靈活地考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)。試題的問題情境更加豐富，設(shè)問方式更加新穎，既有利用應(yīng)用生活情境、素材和語言考查考生邏輯思維能力的邏輯題，也有利用數(shù)學(xué)原理說明所采用方法合理的說明題，還有利用數(shù)學(xué)知識建立模型解決實(shí)際問題的應(yīng)用題。

例4（全國Ⅰ卷理科第12題）：

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5

本題的題干設(shè)計(jì)，給出了正弦型三角函數(shù)的零點(diǎn)、對稱軸及一個(gè)單調(diào)區(qū)間，考生要建立正弦型三角函數(shù)各種性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)。在建立關(guān)聯(lián)的過程中，要把正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)用圖像直觀地表示出來。考生首先需要認(rèn)識到正弦型三角函數(shù)的對稱軸對應(yīng)的自變量取值就是正弦型三角函數(shù)的最值點(diǎn)，進(jìn)而利用已知的y=sinx中零點(diǎn)與最值點(diǎn)的幾何位置關(guān)系，推廣到一般正弦型函數(shù)中零點(diǎn)與最值點(diǎn)的幾何位置關(guān)系，把幾何位置關(guān)系用等式關(guān)系表示，再根據(jù)幾何直觀“正弦型三角函數(shù)的任意一個(gè)單調(diào)區(qū)間，都應(yīng)該在半個(gè)周期內(nèi)”，把這個(gè)結(jié)果用不等式表示出來，就可以得到ω的大致范圍。

例5（全國Ⅰ卷理科第16題）：

某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為____元.

本題是帶有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，題目的背景帶有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義，即企業(yè)的生產(chǎn)安排使得利潤最大。為了問題的簡單化，本題僅以企業(yè)的利潤為生產(chǎn)安排的唯一決策依據(jù)。假設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的數(shù)量分別為x和y，本題除明顯給出關(guān)于x和y的約束條件（甲材料和乙材料的數(shù)量以及工時(shí)限制）之外，還有自然約束條件x≥0和y≥0。通過確定可行區(qū)域，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y在可行區(qū)域邊界所對應(yīng)的四個(gè)交點(diǎn)處的函數(shù)值，即可以求得目標(biāo)函數(shù)的最大值。

4 突出選拔性

2016年高考數(shù)學(xué)試題注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在關(guān)注學(xué)生未來發(fā)展、關(guān)注選拔功能方面進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)。高考數(shù)學(xué)是為高校選拔合格的新生，必須測試其必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也要測試考生已有的和潛在的學(xué)習(xí)能力。2016年試題延續(xù)了由易到難的排列順序，各種題型相互配合，全面考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。多數(shù)試題設(shè)置了2～3個(gè)問題，第1問較容易，后面的問題則對考生能力要求較高，第1問為后面幾問構(gòu)建基礎(chǔ)、做好鋪墊，體現(xiàn)入手容易深入難的特點(diǎn)，增強(qiáng)考生信心，讓考生在考場上以平和的心態(tài)進(jìn)入最佳狀態(tài)，同時(shí)為能力強(qiáng)的考生提供發(fā)揮的空間，為高水平大學(xué)選拔新生提供有效的依據(jù)。

例6（全國Ⅲ卷理科第12題）：

定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：{} an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意k≤2m,a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有

（A）18個(gè) （B）16個(gè) （C）14個(gè) （D）12個(gè)

本題通過給出“規(guī)范01數(shù)列”這一新概念，既考查考生對新知識的認(rèn)知能力，也考查考生在遇到陌生、復(fù)雜的問題時(shí)，所具有的分析問題和解決問題的能力。試題以組合數(shù)學(xué)中“卡塔蘭數(shù)”這一著名數(shù)列為背景，設(shè)計(jì)巧妙，避開解題套路與現(xiàn)成的公式，深入考查了邏輯推理能力和創(chuàng)新能力，對不同層次的考生特別是高水平考生進(jìn)行了區(qū)分。

例7（全國Ⅰ卷理科第21題）：

已知函數(shù) f(x)=(x-2) ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)x1，x2是 f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+ x2＜2.

本題將函數(shù)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)與不等式知識結(jié)合，考查函數(shù)零點(diǎn)的概念，考查導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，考查考生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析和解決問題的能力，綜合考查考生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力以及分類討論的思想。本題分步設(shè)問，第（Ⅰ）問討論函數(shù) f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)的條件，為第（Ⅱ）問作鋪墊，逐步推進(jìn)。第（Ⅱ）問將函數(shù)與不等式有機(jī)結(jié)合，為考生解答提供廣闊的想象空間。試題的設(shè)置需要考生打破常規(guī)思路，利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，將 x1+x2＜2轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(2-x2)，進(jìn)而通過構(gòu)造輔助函數(shù)、研究輔助函數(shù)的單調(diào)性得到問題的證明。本題由淺入深，對計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高，考查層次分明，區(qū)分度較高，使考生充分展示理性思維的廣度和深度，突出選拔功能。

2016年數(shù)學(xué)試題很好地體現(xiàn)了“立德樹人”的理念，關(guān)注考生的社會責(zé)任感、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力；很好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性、應(yīng)用性和創(chuàng)造性；體現(xiàn)了對“核心素養(yǎng)”的考查，有效區(qū)分了各類考生，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，對引領(lǐng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的作用。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京:人民教育出版社，2003.

[2]國務(wù)院.國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見[EB/OL].（2014-09-04）[2016-06-12].http://www.gov.cn/zhengce/content/ 2014-09/04/content_9065.htm.

（責(zé)任編輯：周黎明）

Carrying out the Selection Mission of the College Entrance Examination while Emphasizing Practicality and Innovation:An Evaluation of the Math Papers of the 2016 College Entrance Examination

Upholding the principle of fostering morality and cultivating talent,the math papers of the 2016 College Entrance Examination show their concern for both the social development and the students’growth through enhanced assessment of practical skills,illustrating the practicality of math in real life.Designing tasks at the interface of different areas,these papers enhance their assessment of fundamental and comprehensive knowledge and skills.Also these papers focus on assessment of math literacy through creative scenarios and questions of multiple types.As a matter of fact,while supplementing each other,the different types of tasks at different difficulty levels have successfully carried out the selection mission for the College Entrance Examination.

Math Papers of the College Entrance Examination;Examination Content Reform;Examination and Admission System Reform;Math Literacy

G405

A

1005-8427（2016）07-0012-5

本文由教育部考試中心供稿。