姜洪領(lǐng)

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013 )

一類蜘蛛-昆蟲模型平衡態(tài)正解的存在性*

姜洪領(lǐng)

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013 )

研究一類單食餌-雙捕食者的蜘蛛-昆蟲模型。利用特征值變分原理和極值原理給出正解的先驗(yàn)估計(jì)及正解存在的必要條件。應(yīng)用空間分解和隱函數(shù)定理得到正解存在的充分條件。結(jié)果表明，在特定條件下, 系統(tǒng)共存態(tài)依賴于昆蟲的生長率。

蜘蛛-昆蟲模型；平衡態(tài)正解；存在性

利用特定物種進(jìn)行農(nóng)業(yè)生態(tài)系統(tǒng)管理是一個(gè)很有意義的課題[1-3]。文[4-5]討論了如下用ODE刻畫的Spider-insect系統(tǒng)

(1)

其中p(t)表示昆蟲密度，sw(t)，sc(t)表示兩類蜘蛛密度，r表示昆蟲p(t)的內(nèi)稟增長率，μw和μc分別表示sw(t)和sc(t)的死亡率。a，b分別表示sw(t)和sc(t)的捕食率。所有參數(shù)都是正常數(shù)，詳細(xì)生物意義見文[5]。文[4]研究了(1)含有時(shí)滯時(shí)平衡態(tài)正解的有界性，局部穩(wěn)定性以及其產(chǎn)生的Hopf分歧。文[5]研究了非時(shí)滯系統(tǒng)的持久性和全局穩(wěn)定性，同時(shí)也研究帶時(shí)滯系統(tǒng)的全區(qū)穩(wěn)定性及其Hopf分歧。需要注意的是，模型(1)是在忽略文獻(xiàn)[1-2]提出的蜘蛛會(huì)在其屬地(livinghabitats)內(nèi)遷移的情況下建立的。這種遷移會(huì)導(dǎo)致物種在空間的不均勻分布，并且這種不均勻分布可能影響系統(tǒng)的生態(tài)動(dòng)力學(xué)行為。因此利用擴(kuò)散來模擬這種行為[6-7]。為了便于后面的書寫，利用下列無量綱變量

并且沿用不帶‘-’的記號(hào)，(1)可化為如下帶有齊次Dirichlet邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程組

初值條件為

其平衡態(tài)系統(tǒng)為如下橢圓型方程組

(2)

其中u表示昆蟲的密度，v,w表示蜘蛛的密度，β表示昆蟲的內(nèi)稟生長率，γ,δ表示蜘蛛的死亡率。Ω為RN的具有光滑邊界的有界開區(qū)域，Δ項(xiàng)表示物種的擴(kuò)散項(xiàng)。顯然系統(tǒng)(2)中的參數(shù)都是正常數(shù)。本文與文 [8-10]有著明顯的不同。在文[8]中，作者研究的是一個(gè)捕食者兩個(gè)食餌情形，在文[9-10]中，作者研究的是三物種競(jìng)爭(zhēng)模型。

本文主要討論系統(tǒng)(2)正解的先驗(yàn)估計(jì)、存在正解的必要條件。同時(shí)利用空間分解結(jié)合隱函數(shù)定理給出正解存在的條件。

1 正解的先驗(yàn)估計(jì)和存在的必要條件

首先介紹兩個(gè)記號(hào)。

記λ1(q)為

(i) 若q1(x)≥q2(x)且q1(x) ?q2(x)，則λ1(q1)>λ1(q2)。

(ii)對(duì)任意實(shí)數(shù)m，λ1(m)=m+λ1，這里，λ1=λ1(0)。

記θβ為

(3)

定理1 若系統(tǒng)(2)存在非負(fù)解(u,v,w)使得u?0，則β>λ1，u<β。 進(jìn)而

證明 記φ1>0是對(duì)應(yīng)λ1的主特征函數(shù)，對(duì)系統(tǒng)(2)中第一式兩邊同乘φ1并積分可得

-∫Ωφ1Δudx=∫Ωφ1u(β-u-v-w)dx<β∫Ωφ1udx

由

得

從而β>λ1。

因此本文始終假設(shè)γ

定理2 任意系統(tǒng)(2)的正解(u,v,w) (若存在)必滿足

證明 由定理1知β>λ1，u<β，容易驗(yàn)證β，u分別是 (3) 式的有序上解和下解，從而利用標(biāo)準(zhǔn)的上下解方法結(jié)合θβ的惟一性即有u<θβ。

定理3 對(duì)任意給定的a，b>0，存在β0>λ1，使得β>β0時(shí)，

證明 由文[11]中第二章論述可知

對(duì)任意的x∈Ω0??Ω。

因此利用主特征值性質(zhì)有

從而對(duì)任意給定的a，b，存在β0>λ1，當(dāng)β>β0時(shí)使得左端成立。利用性質(zhì)(i)和(ii)以及θβ<β可知

同理可得-λ1(-bθβ)

2 正解的存在性

令

其中

記L為(2)在(γ*,δ*,θβ,0,0)處關(guān)于(u,v,w)的線性化算子，這里γ*，β*由定理3給出。直接計(jì)算可知

L=

(4)

則L(φ,ψ,χ)=0等價(jià)于

簡(jiǎn)單計(jì)算可知

(5)

這里

(6)

(7)

設(shè)L*為算子L的伴隨算子，則L*(φ,ψ,χ)=0等價(jià)于

注意到λ1(2θβ-β)>0，有φ≡0。所以

(8)

其中

(9)

利用Fredholm選擇公理結(jié)合(8)式可知

(10)

綜合(5) 式，(8) 式有

dimN(L)=codimR(L)=2

所以不能應(yīng)用基于單重特征值的Crandall-Rabinowitz分歧定理。受文獻(xiàn)[13]的啟發(fā)，我們應(yīng)用空間分解和隱函數(shù)定理來討論系統(tǒng)(2)發(fā)自點(diǎn)(γ*,δ*,θβ,0,0)處的分歧解，即就是下面的定理。

定理 4 對(duì)給定的a,b,c,d，當(dāng)β>β0時(shí)，(γ*,δ*,θβ,0,0)是系統(tǒng)(2)的一個(gè)分歧點(diǎn)，即在(γ*,δ*,θβ,0,0)的鄰域內(nèi)系統(tǒng)(2)存在正解

(11)

其中

則(u,v,w)是系統(tǒng)(2)的正解等價(jià)于(u-θβ,v,w)是H(γ,δ,U)=0的滿足u-θβ<0，v>0，w>0的解。容易驗(yàn)證

H(γ,δ,0)≡0，對(duì)任意的γ，δ∈R；

HU(γ*,δ*,0)=L，L由(4)式給出

現(xiàn)將空間X，Y做如下正交分解

其中N(L)，N(L*)，R(L)分別由(5)式，(8)式，(10)式給出；Φ1，Φ2由(6)式給出。故可將任意的U∈X寫成

(12)

利用(11)式簡(jiǎn)單計(jì)算可得

其中

以及

i) 當(dāng)τ1=τ2=s=0，Z=(0,0,0)時(shí)，

由(7)式可知上式為零。同理計(jì)算可得

所以我們有H1(0,0,0,0)=0。

ii) 令D(Z,τ1,τ2)H1(0,0,0,0)為算子H1在(0,0,0,0)處關(guān)于(Z,τ1,τ2)的導(dǎo)算子, 則

(13)

代回到(12) 式可知

是H(γ,δ,U)=0的解。

注1 定理4表明，在蜘蛛的捕食率(即參數(shù)a,b)確定的條件下，存在常數(shù)β0>λ1，使得昆蟲的生長率β大于β0時(shí)，只要蜘蛛的生長率γ，δ分別在γ*，δ*附近，系統(tǒng)存在共存態(tài)。由于γ*=-λ1(-aθβ)，δ*=-λ1(-bθβ)。所以在上述條件下，系統(tǒng)的共存態(tài)最終依賴于昆蟲的生長率。

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The existence of steady-state positive solutions for a spider-insect model

JIANGHongling

(Baoji University of Arts and Sciences, Institute of Mathematics and Information Science,Baoji 721013, China)

A one-prey-two-predator spider-insect model is studied. By the variational principle of eigenvalue and the Maximum principle, priori estimates and the necessary conditions of existence for positive solutions are given. Applying the method of space decomposition and implicit function theorem, a sufficient condition of existence of positive solutions is obtained. The results show that, under certain conditions, the coexistence depends on the growth rate of insects.

spider-insect model; steady-state positive solution; existence

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.011

2015-11-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401356,11501496);寶雞文理學(xué)院重點(diǎn)科研資助項(xiàng)目(ZK15038)

姜洪領(lǐng)(1978年生)，男；研究方向：應(yīng)用偏微分方程；E-mail:jhonglings@163.com

O

A

0529-6579(2016)03-0064-05