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非負(fù)相依隨機(jī)變量和的尾部概率一致漸近估計*

2016-06-05 15:19:23唐風(fēng)琴
關(guān)鍵詞:風(fēng)琴相依淮北

唐風(fēng)琴

(1. 蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730000;2. 淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000)

非負(fù)相依隨機(jī)變量和的尾部概率一致漸近估計*

唐風(fēng)琴1,2

(1. 蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730000;2. 淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000)

假設(shè){Xi}i≥1為一列非負(fù)不同分布的隨機(jī)變量,其分布函數(shù)屬于重尾子族-C族且聯(lián)合分布滿足多元FGMcopula函數(shù)。探討了序列{Xi}i≥1的部分和及隨機(jī)和的一致漸近估計,推廣了相依結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量尾部漸近概率的相應(yīng)結(jié)果.。

精細(xì)大偏差;FGM;C族

1 預(yù)備知識及主要結(jié)果

(1)

下面介紹著名的Farlie-Gumbel-Morgenstern(FGM)copula函數(shù)。n維FGM分布具有如下形式:對所有實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn有

(2)

其中Fi(x)是Xi的分布函數(shù),ajk為實(shí)數(shù)。若對任意的j,k,ajk=0,則序列x1,x2,…,xn是獨(dú)立的,本文假設(shè)至少存在一個ajk≠0。由Tang等[14]知若Fi(x)是連續(xù)的,則有

(3)

進(jìn)一步地,定義序列x1,x2,…,xn的生存函數(shù)為

(4)

β∈[-1,1]。注意到β=0時,Xi和Xj是獨(dú)立的。同時可得

(5)

滿足這種關(guān)系的序列又稱為尾上漸近獨(dú)立的(uppertailasymptoticindependent)。 因此,F(xiàn)GM包含了很多的相依結(jié)構(gòu),如正(負(fù))相依等?,F(xiàn)在給出本文的主要結(jié)果。

定理2 設(shè)隨機(jī)變量序列{Xi}i≥1滿足定理1中條件且對于任意的i,j,存在0

(6)

假設(shè)隨機(jī)過程{N(t),t≥0}與{Xi}i≥1獨(dú)立,且對任意小的δ>0,{N(t),t≥0}滿足

(7)

則對任意的γ>0,當(dāng)x≥γλ(t),t→∞時一致成立

2 主要結(jié)果的證明

首先給出在證明部分和大偏差的下界時一個非常重要的結(jié)論。

(8)

引理3得證。

其中第二個不等式由(4)式得到。

上界估計。對任意的0<υ<1,沿用引理3中的記號,有

(9)

同引理3的證明類似,令

(10)

其中C為常數(shù),倒數(shù)第三步用到引理2的結(jié)論。聯(lián)立(9)和(10)式,由υ的任意性及引理1可得當(dāng)x≥γn,n→∞時,上界估計得證。

I1+I2+I3

(11)

由δ的任意性,(6)式及定理1可得,當(dāng)x≥γλ(t),t→∞時有

(12)

其中C1=C1(c)為正常數(shù)。

與I1處理類似,當(dāng)x≥γλ(t),t→∞時,

(13)

同理可得

(14)

將(12)-(14)式代入(11)式,定理2得證。

[1] 陳傳勇. 關(guān)于任意同分布隨機(jī)變量序列最大值不等式及其應(yīng)用[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015, 52(2): 59-61.

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[14]TANGQ,VERNICR.Theimpactonruinprobabilitiesoftheassociationstructureamongfinancialrisks[J].StatisticsandProbabilityLetters, 2007, 77(14): 1522-1525.

The uniformly asymptotic estimate for the tail probability of the sums of nonnegative and dependent random variables

TANGFengqin1,2

(1. School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China;2. School of Mathematics Sciences, Huaibei Normal University, Huaibei 235000, China)

Suppose that {Xi}i≥1isasequenceofnonnegativeandnon-identicallydistributedrandomvariableswhichbelongtothesubclassofheavy-taileddistributions-classC.ThemultivariatedistributionfunctionoftherandomvariablesisgovernedbytheFGMcopulafunction.Theuniformlyasymptoticestimateforthepartialsumsandrandomsumsofthesequence{Xi}i≥1arestudied,respectively.Theobtainedresultsextendthecorrespondingasymptoticestimateofthetailprobabilityofthedependentrandomvariables.

precise large deviations; FGM; consistently varying

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.009

2015-11-30

安徽省高校自然科學(xué)研究一般資助項目(KJ2014B15)

唐風(fēng)琴(1983年生),女;研究方向:概率論極限理論;E-mail:tfq05@163.com

O211.65;O

A

0529-6579(2016)03-0055-04

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