丁勇

摘 要 通過第二重要極限的課堂教學(xué)設(shè)計，將行動導(dǎo)向法應(yīng)用于獨(dú)立院校高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，以行動導(dǎo)向驅(qū)動為主要方式，發(fā)揮教師為主導(dǎo)和學(xué)生為主體作用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及分析解決問題的能力，從而實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞 行動導(dǎo)向教學(xué)法 高等數(shù)學(xué) 第二重要極限 學(xué)習(xí)興趣

中圖分類號：G424?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.01.060

Application of Action-oriented Method in the

Second Most Important Limit Teaching

DING Yong

Abstract Through classroom teaching design of the second most important limit， action-oriented method will be applied to independent institutions "Higher Mathematics" in the teaching process， action-oriented drive as the main way to play teacher-led and student-centered， and improve students' interest in learning and analytical problem-solving skills in order to achieve teaching objectives.

Key words action-oriented teaching method; advanced mathematics; the second most important limit; learning interest

1 行動導(dǎo)向教學(xué)法背景與必要性

行動導(dǎo)向教學(xué)法起源于上世紀(jì)八十年代德國的職業(yè)教育，本世紀(jì)被引進(jìn)中國，并主要在國內(nèi)高職院校中逐步推行并廣泛應(yīng)用。行動導(dǎo)向教學(xué)是以“行動導(dǎo)向驅(qū)動”為主要形式，在教學(xué)過程中充分發(fā)揮學(xué)生的主體和教師的主導(dǎo)作用，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，采用以目標(biāo)為導(dǎo)向的行為活動模式，如問題導(dǎo)向法、項目導(dǎo)向法、角色扮演法、過程教學(xué)法、模擬訓(xùn)練法、大腦風(fēng)暴法、思維導(dǎo)圖法和卡片展示法等，注重對學(xué)生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)，理論與實踐相結(jié)合，從完成某一方面任務(wù)著手，并引導(dǎo)學(xué)生完成任務(wù)，從而實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造力。

高等數(shù)學(xué)是一門邏輯性強(qiáng)且比較抽象的學(xué)科，在國內(nèi)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，普遍存在著一些問題：如照本宣科式的教學(xué)，或傳統(tǒng)的傳授法，學(xué)生被動接收知識較多，而主動討論思考的情況較少，抑制了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)動力不足，到課率不高，課堂教學(xué)枯燥，教室氛圍缺乏生機(jī)與活力，教學(xué)效果不好，同時也忽視了學(xué)生主動探究能力的培養(yǎng)。行動導(dǎo)向教學(xué)法簡單地說，就是給學(xué)生先定位一個學(xué)習(xí)目標(biāo)，然后讓學(xué)生自己行動起來，通過完成這個目標(biāo)項目自主地去思考與學(xué)習(xí)，從而在實踐中愉悅地掌握所學(xué)知識。把行為導(dǎo)向教學(xué)法引入到獨(dú)立院校的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅能開闊學(xué)生的視野、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，而且也可提高了學(xué)生分析和解決實際問題的實踐能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。因此，教師可以嘗試在實際課堂教學(xué)中通過設(shè)計行為導(dǎo)向的目標(biāo)方法引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。

2 行動導(dǎo)向法教學(xué)設(shè)計

下面筆者根據(jù)自己的實際教學(xué)，以第二重要極限這個內(nèi)容來談?wù)勑袆訉?dǎo)向教學(xué)法在獨(dú)立院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

2.1 第二重要極限的引入與證明

師：在第一章第六節(jié)大家學(xué)習(xí)了數(shù)列極限與單調(diào)有界定理，請大家思考如何用此定理證明數(shù)列 = 當(dāng)→時極限存在。

生：證明該數(shù)列單調(diào)并且有界。

師：那么 = 是單調(diào)遞增還是遞減呢？如果單調(diào)遞增，那么它的上界找哪一個數(shù)值？大家動手觀察一下隨逐漸增大，對應(yīng)項的值得變化。請一班同學(xué)在下面通過列表法觀察，二班同學(xué)考慮用數(shù)學(xué)軟件作圖觀察數(shù)列變化。

通過問題導(dǎo)向法引導(dǎo)學(xué)生分析，思考，經(jīng)項目教學(xué)法分組讓學(xué)生動手操作解決問題。在學(xué)生思考討論的過程中，教師下講臺，引導(dǎo)學(xué)生解決此任務(wù)。

師：請大家展示一下你們的結(jié)果？發(fā)現(xiàn)什么問題？

大部分同學(xué)基本完成了此項任務(wù)，此時可以與教師操作結(jié)果進(jìn)行比較。通過列表法結(jié)果見表1。

結(jié)合Matlab數(shù)學(xué)軟件繪制數(shù)列圖像，給出當(dāng)從1開始，以步長1逐漸增大到100時，數(shù)列 = 圖像演示結(jié)果見圖1。在軟件命令窗口鍵入：

>> x=1：1：100;y=（1+1./x）.^x ;plot（x，y，'ro'）

師：由表1及圖1可見，當(dāng)增大時，對應(yīng)項的值也在增大，并且不超過3。從直觀演示結(jié)果看，數(shù)列 = 是單調(diào)遞增、有界數(shù)列，根據(jù)單調(diào)有界定理知該數(shù)列極限存在。但這種方法不嚴(yán)密，下面請大家證明之，提示單調(diào)性用定義法，用歸納法證明有界性時可利用二項式定理。

證明：設(shè) = ，根據(jù)二項式展開式，

=

= 1+ · + · + … + ·

= 1 + 1 + （1） + … + ?（1） （1）…（1）

<1 + 1 + ?+ … +

<1 + 1 + ?+ … +

= 3<3

同樣也可類似得到：

= 1 + 1 + （1） + … + ?（1）（1） … （1） + （1）（1）…（1）

可見：>故數(shù)列{}單調(diào)遞增的且有界，根據(jù)數(shù)列單調(diào)有界定理，知數(shù)列 = ?極限存在。記作 = ，其中 ?= 2.71828…。

師：大家知道數(shù)列是特殊的整函數(shù)，其實數(shù)列 = ?的極限還可以推廣到更一般的情形： = 。我們同樣可以通過Matlab軟件來演示一下函數(shù)隨自變量變化而變化的過程，請大家自己先動手操作繪制 = 在區(qū)間[-18， -0.01]和[0.01， 18]的圖形，觀察變化趨勢，寫出具體實現(xiàn)命令。

走下講臺指導(dǎo)學(xué)生具體操作，下面給出從0.01開始，以0.01為步長增大而趨近于100時， = 的圖象的動畫演示及在區(qū)間[-18， -0.01]和[0.01， 18]函數(shù) = 的靜態(tài)圖形。在Matlab軟件命令窗口鍵入：

t=0.01：0.01：100; comet（t，（1+1./t）.^t） % 運(yùn)行后生成動態(tài)圖

fplot（'（1+1./x）.^x '，[0.01 18 -3 ?6 ]）;gtext（' （1+1./x）.^x '）;hold on;

fplot（'（1+1./x）.^x '，[ -18 0.01 -3 ?6 ]）;hold off;hold on

fplot（'exp（1） '，[ -18 18 ?-3 ?6 ]，' r：'）;gtext（' y=e'）;hold off;

grid;xlabel（'自變量x'）;ylabel（'因變量y'）;title（'函數(shù)y=（1+1./x）.^x的曲線'）

legend（'函數(shù)y = （1+1./x）.^x '） ?% 靜態(tài)圖

運(yùn)行結(jié)果見圖2。

師：通過動態(tài)及靜態(tài)演示猜想結(jié)果，由圖2可見，當(dāng)增大時，對應(yīng)項的值也在增大，當(dāng)時 = ，下面由 = 及函數(shù)迫斂性給出 = 的證明過程。

證明：當(dāng)≥1時，有[]≤≤[] + 1，≤≤

其中，

= ·，

= ·，

根據(jù)函數(shù)迫斂性知， = 。再令 = 則

=

=

=

= ，

綜上，故 = 。

根據(jù)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則，通過變量代換法，由 = ，令 = ，可得另外一種形式： = ?，而且更為一般情形為：

=

及 = 。

2.2 第二重要極限典型例題

通過例題，舉一反三，靈活運(yùn)用第二重要極限求類型的極限。先讓學(xué)生自己做，教師講解例1～例3，然后例4讓個別同學(xué)上臺演板，通過角色扮演法讓學(xué)生講解解題思路，這樣便于了解學(xué)生掌握情況及易錯地方，做到查漏補(bǔ)缺。

（1）解：

原式 = ?= ? =

（2）解：

原式 = ?= ?= ?=

（3）解：

原式 = ? =

（4）解：

原式 = ?=

= ?=

2.3 第二重要極限在銀行存款連續(xù)復(fù)利中的應(yīng)用

問題提出：目前銀行活期存款年利率為，如果你有元壓歲錢，打算存活期，一年后，你可以得到多少錢？如果想通過復(fù)利獲得更多利息，你可以先將存滿半年的錢取出，然后再連本息再存半年，此時你又可以獲得多少現(xiàn)金呢？

學(xué)生很感興趣，很易算出若直接存一年，獲得（1 + ）元，若采取第二種方案，每半年結(jié)算一次，獲得（1 + ）2 = （1 + ?+ ）>（1 + ）。

師：發(fā)現(xiàn)利用復(fù)利每半年結(jié)算一次比一年結(jié)算一次多，那么請大家討論如果每季度，每月，每天結(jié)算一次，結(jié)果會如何？如若結(jié)算越頻繁即存期越短獲利越多的話，假如銀行允許復(fù)利可以按小時，甚至可按分鐘結(jié)算，目前活期存款利率為0.3%，你有本金10000元，若一年內(nèi)不斷地取款再連本帶息存款會發(fā)財嗎？

提示學(xué)生利用今天所學(xué)第二重要極限來將此實際問題數(shù)學(xué)化。按復(fù)利原理，假如一年可以結(jié)算次，則每期利率為，第一次結(jié)算本息為（1 + ），第二次為（1 + ）2，依次類推可得全年本息應(yīng)該為（1 + ），若→，每時每刻計算利息，即一年內(nèi)結(jié)算無數(shù)次，則通過連續(xù)復(fù)利全年本息將變?yōu)椋? +）。利用今天所學(xué)第二重要極限較容易得出

（1 +） = ?=

將 = 10000， ?= 0.3%代入，即使一年結(jié)算無數(shù)次本息也存在極限10000，比一年結(jié)算一次只多出1000010000（1 + 0.3%）≈ 0.0450元，可見通過這種方式是發(fā)不了財?shù)摹?/p>

銀行復(fù)利的計算，是一個實際生活中常見問題，與實際相結(jié)合利用項目導(dǎo)向法教學(xué)，讓學(xué)生親身體會到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)還是有用的，而且也可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，既可活躍課堂教學(xué)氣氛，又可鞏固所學(xué)知識，故可將復(fù)利問題提出作為本節(jié)應(yīng)用。

3 行動導(dǎo)向法教學(xué)設(shè)計小結(jié)

通過第二重要極限，詳細(xì)講解了行動導(dǎo)向教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用，在具體教學(xué)過程中，分別用到問題導(dǎo)向法、角色扮演法、項目導(dǎo)向法、圖像演示法等。根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)適時引導(dǎo)和幫助學(xué)生完成任務(wù)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與參與度，激發(fā)學(xué)習(xí)動力;給予學(xué)生思索的機(jī)會，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力;將課本的知識應(yīng)用到生活中，加強(qiáng)學(xué)生實踐能力?？傊?，利用行動導(dǎo)向法能收到更好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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