韓修品，蔣豐（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

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具有非線性減振器的彈性雙層隔振系統(tǒng)建模

韓修品，蔣豐
（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

摘要：運(yùn)用多體動(dòng)力學(xué)理論、動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法，同時(shí)考慮中間質(zhì)量彈性和隔振器剛度與阻尼非線性，建立一個(gè)彈性雙層隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)新模型。對(duì)所建模型進(jìn)行編程計(jì)算，求出其在沖擊激勵(lì)下響應(yīng)，并與有限元計(jì)算結(jié)果比較分析，驗(yàn)證所建力學(xué)模型正確性與合理性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析中間質(zhì)量彈性和非線性隔振器對(duì)雙層隔振系統(tǒng)沖擊響應(yīng)影響。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；雙層隔振系統(tǒng)；彈性板；非線性；沖擊響應(yīng)

艦船在沖擊作用下，由于隔振器本身剛度和阻尼的非線性，隔振系統(tǒng)可具有明顯非線性性質(zhì)。李紅鋼和彭旭[1]進(jìn)行了具有剛度非線性雙層隔振系統(tǒng)沖擊響應(yīng)數(shù)值分析研究。商孝鵬[2]通過(guò)實(shí)驗(yàn)，對(duì)隔振器的非線性剛度和阻尼進(jìn)行研究，總結(jié)隔振器在沖擊作用下的特性，并建立艦船機(jī)電設(shè)備非線性抗沖擊動(dòng)力學(xué)方程。曹利[3]進(jìn)一步使用具有非線性彈簧和非線性阻尼效應(yīng)的隔振器，建立一個(gè)雙層雙非線性抗沖隔振系統(tǒng)的數(shù)學(xué)力學(xué)模型。但只是將中間質(zhì)量假設(shè)為一個(gè)厚度可以忽略不計(jì)的剛體，而王志剛[4]建立了彈性浮筏線性隔振系統(tǒng)，研究表明中間質(zhì)量的彈性引起的橫向彎曲振動(dòng)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生很大影響。

鑒于目前建立的雙層隔振系統(tǒng)模型中鮮有同時(shí)涉及隔振器的剛度以及阻尼的非線性與中間質(zhì)量彈性的研究，結(jié)合多體動(dòng)力學(xué)理論[5]和動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法，建立一個(gè)同時(shí)考慮隔振器剛度、阻尼非線性，以及中間質(zhì)量彈性的雙層隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。結(jié)合具體工程算例，分析隔振器非線性特性和中間質(zhì)量彈性對(duì)隔振系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的影響。

1　彈性雙層隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

1.1力學(xué)模型

雙層隔振系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示。過(guò)筏架的質(zhì)心虛設(shè)一個(gè)剛性載體，記為B1；上層為機(jī)組設(shè)備，記為B2。隔振器安置方式為平置。

慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在質(zhì)量體的中垂線與地面的交點(diǎn)位置，x和y方向如圖2所示，z方向?yàn)榈孛娴闹写咕€方向，慣性基用表示。剛體Bm(m=1,2)的連體基，表示為；任一點(diǎn)i在慣性基下的坐標(biāo)用ρcmi表示，對(duì)應(yīng)其坐標(biāo)方陣。姿態(tài)坐標(biāo)用卡爾丹角θm表示，方向余弦陣。其中為θm的坐標(biāo)方陣。記為

圖1　雙層隔振系統(tǒng)力學(xué)模型

沿B1的中面建立局部坐標(biāo)系x-y，坐標(biāo)原點(diǎn)取在矩形薄板中面的中點(diǎn)，其中( ) x,y為質(zhì)量體B1中面上任一點(diǎn)坐標(biāo)，w為水平薄板中面的撓度。

1.2隔振器彈性力、阻尼力及其力矩的確定

在建模時(shí)，將隔振器元件簡(jiǎn)化為非線性彈簧和非線性阻尼并聯(lián)形式。下層隔振器ii'，總數(shù)為n1；上層隔振器jj'，總數(shù)為n2。

1.2.1隔振力數(shù)學(xué)模型

隔振器彈性力：主軸方向彈性力與位移的關(guān)系根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[6]用最小二乘法擬合，擬合公式（單位為N）為

將非線性彈性力和非線性阻尼力合并，形成了隔振器的非線性力，其數(shù)學(xué)模型為

1.2.2力矩的確定

（1）下層隔振器對(duì)B1質(zhì)心的力矩B1Mc1i

（2）上層隔振器對(duì)B1質(zhì)心的力矩和對(duì)B2質(zhì)心的力矩

1.3系統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)的自由振動(dòng)方程

牛頓方程

歐拉方程

其中

1.4中間質(zhì)量的彈性振動(dòng)方程

彈性變形函數(shù)為

當(dāng)矩形薄板的邊界條件為四邊自由時(shí)，板的振型函數(shù)可假設(shè)為[8]

其中a、b為B1的邊長(zhǎng)，并且參數(shù)ξ1滿足條件：

中間質(zhì)量的振動(dòng)方程為

其中D為中間質(zhì)量的抗彎剛度，E為楊氏彈性模量，μ為泊松比，h為厚度，ρ為密度，F(xiàn)為隔振力。式(10)的兩邊同時(shí)左乘振型函數(shù)Φ( ) x,y，然后在整個(gè)板平面內(nèi)進(jìn)行積分，最后整理可以得到B1的振動(dòng)方程

1.5系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

綜合系統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)和中間質(zhì)量的彈性振動(dòng)，可以得到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，可以寫為

P是非線性項(xiàng)，包含了彈性力、阻尼力以及沖擊力的部分。

2　工程算例分析

2.1系統(tǒng)參數(shù)及隔振器安裝

上層機(jī)組選擇船舶用4135 G柴油機(jī)，其主要參數(shù)：質(zhì)量m2=870 kg，長(zhǎng)為1.205 m，寬為0.777 m，高度為1.198 m；中間質(zhì)量的主要參數(shù)：密度為7 800 kg/m3，E=2.1×1011N/m2，μ=0.3，質(zhì)量m1=522 kg，長(zhǎng)為1.5 m，寬為1.0 m，厚度為44.6 mm。隔振器個(gè)數(shù)：n1=6，n2=4，其分布位置如圖2和圖3所示。

圖2　B1上表面隔振器分布示意圖

圖3　B1下表面隔振器分布示意圖

2.2沖擊激勵(lì)

0

0.009

t>0.022 5 s為沖擊后階段，系統(tǒng)的初位移和初速度為沖擊階段0.022 5 s的位移和速度，從0.022 5 s開始，系統(tǒng)作自由振動(dòng)。

2.3沖擊響應(yīng)計(jì)算與分析

根據(jù)前面建立的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，可以求出系統(tǒng)在沖擊載荷作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，如表1所示。

對(duì)比有限元軟件和數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算的響應(yīng)，可以看出最大誤差為4.05 %，最小誤差為1.55 %，即相對(duì)誤差比較小，故可以說(shuō)明建模理論是合理的。

根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)[9]，中間質(zhì)量第2階及以上高階彈性模態(tài)對(duì)系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于第1階模態(tài)。因此，計(jì)算時(shí)只考慮了中間質(zhì)量的第1階模態(tài)，從表1中可以發(fā)現(xiàn)中間質(zhì)量簡(jiǎn)化為剛體時(shí)的系統(tǒng)沖擊響應(yīng)，與考慮中間質(zhì)量的彈性變形時(shí)相比較，最大誤差可以達(dá)到11.93 %，可以說(shuō)明中間質(zhì)量的彈性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有一定影響。

在考慮中間質(zhì)量彈性振動(dòng)的前提下，計(jì)算了線性隔振器系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，并和非線性隔振器的沖擊響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比，從表1中可以看出最大誤差為9.46 %，故非線性隔振器對(duì)雙層隔振系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)有一定的影響。

表1　系統(tǒng)最大沖擊響應(yīng)

若中間質(zhì)量的彈性與隔振器的非線性均不考慮時(shí)，計(jì)算得到系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)與這兩方面因素均考慮時(shí)的結(jié)果對(duì)比，最大誤差可以達(dá)到22.30 %，故可以說(shuō)明，在雙層隔振系統(tǒng)中，同時(shí)考慮隔振器剛度非線性和阻尼非線性，以及中間質(zhì)量的彈性時(shí)，數(shù)值更為精確。

3　結(jié)語(yǔ)

以多體動(dòng)力學(xué)理論、動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法為基礎(chǔ)，同時(shí)考慮中間質(zhì)量的彈性和隔振器剛度與阻尼的非線性，建立了一個(gè)彈性雙層隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)工程算例分析，求出系統(tǒng)在沖擊激勵(lì)下的響應(yīng)，并將其結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果相比較，證明了所建力學(xué)模型的正確性與合理性。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了中間質(zhì)量的彈性和隔振器的非線性對(duì)雙層隔振系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的影響，可以看出當(dāng)同時(shí)考慮中間質(zhì)量的彈性和隔振器剛度以及阻尼的非線性時(shí)，計(jì)算所得到的沖擊響應(yīng)數(shù)值更精確。但是在工程實(shí)踐中，精度往往不是唯一的目標(biāo)，還要考慮復(fù)雜程度、工程效益等方面，所以還要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選擇。有關(guān)結(jié)論可以為隔振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算，提供一定的參考。

參考文獻(xiàn)：

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Modeling for an Elastic Double-stage Vibration Isolation System with Nonlinear Shock Absorbers

HAN Xiu-pin , JIANG Feng
( School of AerospaceEngineeringandApplied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:Based on multi-body dynamics theory and dynamic substructure method, with the elasticity of the medium mass, nonlinear stiffness and nonlinear damping of the vibration isolators considered, the dynamic model of an elastic double-stagevibration isolation system wasestablished. Program calculation wasdonefor themodel and itsshock response wasobtained. Theresultswerecompared with thefiniteelement calculation results, and thecorrectnessand rationality of the established mechanical model were proved. On this basis, the influence of the elasticity of the medium mass and the nonlinearity of thevibrationisolatorsontheshock responseof thedouble-stagevibrationisolationsystemwasanalyzed.

Key words:vibrationandwave; double-stagevibrationisolationsystem; elasticplate; nonlinear; shock response

通訊作者：蔣豐，男，高級(jí)工程師，碩士生導(dǎo)師。E-mail:jiangfeng@#edu.cn

作者簡(jiǎn)介：韓修品(1990- )，男，山東菏澤人，碩士生，主要研究方向?yàn)閯?dòng)力學(xué)建模與優(yōu)化。

收稿日期：2015-09-18

文章編號(hào)：1006-1355(2016)02-0031-04

中圖分類號(hào)：TB123

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.007