孫方旭，劉樹勇，何其偉（海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430033）

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Holmes型Duffing系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性仿真及實(shí)驗(yàn)

孫方旭，劉樹勇，何其偉
（海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430033）

摘要：針對(duì)混沌研究中缺乏可進(jìn)行有效可重復(fù)性實(shí)驗(yàn)混沌振動(dòng)平臺(tái)問(wèn)題，設(shè)計(jì)混沌振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)架并開展實(shí)驗(yàn)研究。建立近似于在雙勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，并分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，觀察到系統(tǒng)出現(xiàn)的周期解和混沌解。利用系統(tǒng)響應(yīng)隨參數(shù)變化的分岔特性，得到系統(tǒng)混沌參數(shù)區(qū)。在實(shí)驗(yàn)研究中，進(jìn)一步確定混沌參數(shù)區(qū)間，并觀察到了Holmes型Duffing系統(tǒng)中初值敏感性現(xiàn)象以及在通往混沌過(guò)程中出現(xiàn)的對(duì)稱破缺分岔和倍周期分岔現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；混沌實(shí)驗(yàn)；Duffing系統(tǒng)；雙勢(shì)阱；分岔

目前針對(duì)混沌現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)研究主要集中在三個(gè)領(lǐng)域：高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械、柔性體結(jié)構(gòu)以及非線性電路。其中，梁山、鄭劍等[1]通過(guò)兩自由度非線性隔振系統(tǒng)模擬汽車懸架系統(tǒng)，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，系統(tǒng)通過(guò)伺服電機(jī)加載激勵(lì)，以空氣彈簧作為非線性元件，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果進(jìn)行比較，揭示該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性。劉凌，蘇燕辰等[2]通過(guò)改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)，建立一種新的混沌系統(tǒng)并通過(guò)仿真分析該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，通過(guò)振蕩電路系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了該類混沌系統(tǒng)，振蕩電路主要由運(yùn)算放大器、模擬乘法器、線性電阻、電容等組成。張雨、任成龍等[3]對(duì)汽車懸架系統(tǒng)中非線性振動(dòng)情況進(jìn)行研究，討論了在特定激勵(lì)下導(dǎo)致其混沌振動(dòng)的可能性。Shi Peiming、Liu Bin等[4]分析諧波激勵(lì)下一類扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)特性，通過(guò)Melnikov方法分析該系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌振動(dòng)現(xiàn)象，并進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)值仿真，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到該系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔走向混沌的道路，該研究可以指導(dǎo)路面機(jī)械的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。張小龍、東亞斌[5]對(duì)Duffing隔振系統(tǒng)的力傳遞率及跳躍現(xiàn)象進(jìn)行理論分析。在上述文獻(xiàn)中，針對(duì)Duffing系統(tǒng)的機(jī)械振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究相對(duì)很少。

1　全局動(dòng)力學(xué)特性研究

Duffing方程中，當(dāng)α1<0,α2>0時(shí)，此類型被稱為Holmes型Duffing方程。當(dāng)激勵(lì)為0時(shí)Holmes型Duffing方程對(duì)應(yīng)的保守系統(tǒng)勢(shì)能曲線如圖1所示。

可以直觀地看到，圖1中保守系統(tǒng)存在雙勢(shì)阱，其存在兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，故Holmes型Duffing系統(tǒng)在較小的激勵(lì)下就能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。這種混沌現(xiàn)象被歸結(jié)為在兩個(gè)平衡點(diǎn)之間的跳躍。

圖1　方程x¨+δx. -x+x3=0勢(shì)能曲線

典型Holmes型Duffing系統(tǒng)如圖2所示。圖2中一端帶質(zhì)量塊的有阻尼彎曲梁在自由端受到磁力作用，同時(shí)固定端受到框架運(yùn)動(dòng)帶給它的慣性力，其運(yùn)動(dòng)模式近似于在雙勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，可以用如下方程描述

其中δ為無(wú)量綱阻尼；ω為驅(qū)動(dòng)頻率；A為無(wú)量綱激勵(lì)力幅值。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為受這些參數(shù)的影響。

圖2　雙勢(shì)阱振動(dòng)模型

式（1）中取δ=0.1，對(duì)此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性做初步研究。

通過(guò)延拓算法，求得頻率從5 Hz逐漸增加到35 Hz情況下的系統(tǒng)全局分岔圖，如圖3所示，縱軸為輸出響應(yīng)幅值。當(dāng)激勵(lì)力幅值足夠大時(shí)，在頻率逐漸增加過(guò)程中，系統(tǒng)呈現(xiàn)出混沌解與周期解交錯(cuò)出現(xiàn)的特性，如圖3（a）所示；而當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)，兩個(gè)混沌參數(shù)區(qū)間變得很小，如圖3（b）所示。將頻率從35 Hz逐漸降低至5 Hz，通過(guò)延拓算法得出的全局分岔圖如圖4所示。

兩種不同迭代方式的區(qū)別在于在特定頻率處的初始條件不同，全局分岔圖也呈現(xiàn)出很大的差異，說(shuō)明此時(shí)Duffing系統(tǒng)的解和初始條件有很大的關(guān)系。以f =31 Hz為例，只改變系統(tǒng)的初值，可能得到如圖5所示的兩種截然不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。具體而言，Duffing系統(tǒng)的吸引域可以通過(guò)胞映射方法得到直觀驗(yàn)證。實(shí)際上，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，也觀察到了這種現(xiàn)象。

圖3　全局分岔圖

圖4　全局分岔圖

2　實(shí)驗(yàn)研究

2.1實(shí)驗(yàn)裝置及儀器

根據(jù)混沌產(chǎn)生的必要條件，在混沌振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)過(guò)程中，選擇合適的非線性元件作為實(shí)驗(yàn)臺(tái)的組成部分，主要利用元件的幾何非線性、結(jié)構(gòu)非線性、材料非線性或者電路的非線性等產(chǎn)生混沌。在此基礎(chǔ)上，編制混沌識(shí)別程序?qū)ο到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行識(shí)別，通過(guò)定性分析技術(shù)對(duì)采集的時(shí)間歷程圖進(jìn)行目視觀察；利用相空間重構(gòu)原理，獲得實(shí)測(cè)時(shí)間序列相平面圖，Poincaré截面圖；利用定量分析方法提取信號(hào)的特征，進(jìn)行Fourier分析得到信號(hào)頻譜特征；計(jì)算信號(hào)分形維數(shù)和LE指數(shù)等。調(diào)節(jié)系統(tǒng)不同參數(shù)，觀察到系統(tǒng)由周期進(jìn)入混沌狀態(tài)的途徑。

基于以上考慮，雙勢(shì)阱單端磁吸式混沌振動(dòng)裝置如圖6所示。裝置由如下部分組成：激振器、支座、薄彈片、磁鐵、小鐵片、外部固定框架、固定彈片裝置。實(shí)驗(yàn)采用的激光位移傳感器型號(hào)為CD 33-30 NV，最大測(cè)試位移為±4 mm，最大允許誤差為± 0.1 % F. S.；激光位移傳感器與梁的距離為30 mm；梁的長(zhǎng)與寬尺寸為155 mm×20 mm；磁鐵的長(zhǎng)、寬、高分別為11mm、6 mm、9 mm；磁鐵頂端到底面高度為24mm；質(zhì)量塊重量為5g。

實(shí)驗(yàn)本質(zhì)為正弦信號(hào)的慢速頻率掃描實(shí)驗(yàn)，掃描頻率范圍為5 Hz～25 Hz，步長(zhǎng)0.1 Hz，采樣頻率為2 kHz，數(shù)據(jù)采集時(shí)長(zhǎng)為5 s。不斷調(diào)節(jié)磁鐵距中心線的距離、無(wú)激勵(lì)時(shí)薄彈片距底端的距離，通過(guò)Labview觀察輸出響應(yīng)。

圖5　系統(tǒng)在不同初始條件下解的相圖(A=400，ω=31)

圖6　雙勢(shì)阱單端磁吸式混沌振動(dòng)裝置

2.2測(cè)定混沌區(qū)間

根據(jù)掃頻調(diào)試，發(fā)現(xiàn)當(dāng)激勵(lì)頻率大于10 Hz時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)呈現(xiàn)豐富的動(dòng)力學(xué)特征，因此，實(shí)驗(yàn)中將重點(diǎn)研究的頻率范圍限制在10 Hz到25 Hz之間。同時(shí)，考慮到功率放大器增益過(guò)大時(shí)，將對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置產(chǎn)生破壞性作用，因此增益范圍確定為0～1.5 V。

當(dāng)激振系統(tǒng)的增益為0.5 V時(shí)，不容易進(jìn)入混沌狀態(tài)，而是在單邊勢(shì)阱內(nèi)處于周期1運(yùn)動(dòng)；當(dāng)激振系統(tǒng)增益大于0.95 V時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為非常豐富，可以產(chǎn)生包括混沌在內(nèi)的不同振動(dòng)模式。為了證實(shí)該結(jié)論，在增益為0.5 V條件下，改變激勵(lì)頻率從10 Hz到20 Hz，系統(tǒng)響應(yīng)都為周期1模式。在頻率為15 Hz到17 Hz之間，加入小的外部擾動(dòng)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)暫態(tài)過(guò)程后，落入勢(shì)阱內(nèi)，處于周期1狀態(tài)。

為了觀察系統(tǒng)的混沌響應(yīng)并進(jìn)一步證實(shí)以上規(guī)律的準(zhǔn)確性，將激振系統(tǒng)的增益固定為1 V，由小到大增加系統(tǒng)的激勵(lì)頻率。當(dāng)頻率為5 Hz到10 Hz時(shí)，系統(tǒng)處于周期1狀態(tài)；當(dāng)激勵(lì)頻率大于10 Hz時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)特征非常豐富：在10 Hz～16 Hz時(shí)，產(chǎn)生混沌振動(dòng)；在16. 6Hz時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)周期2行為。在17 Hz到19 Hz頻率范圍內(nèi)時(shí)，又產(chǎn)生并保持穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)。而在高頻時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了切分岔，由混沌進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)，19 Hz時(shí)，產(chǎn)生周期3運(yùn)動(dòng)；在19.4 Hz時(shí)，產(chǎn)生單勢(shì)阱內(nèi)的多周期運(yùn)動(dòng)。此外，還觀察到了一些有趣現(xiàn)象，在23 Hz時(shí)，質(zhì)量塊穿越勢(shì)阱壁壘在兩個(gè)勢(shì)阱之間來(lái)回運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了大幅值的多周期振動(dòng)；在30 Hz激勵(lì)時(shí)，裝置出現(xiàn)轟鳴聲，該系統(tǒng)可能出現(xiàn)了共振現(xiàn)象。越過(guò)共振頻率后，振子在右勢(shì)阱內(nèi)呈周期1運(yùn)動(dòng)模式。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，初步得到系統(tǒng)不同響應(yīng)區(qū)域，以橫坐標(biāo)為激勵(lì)頻率，縱坐標(biāo)為激勵(lì)增益作出其示意圖如圖7所示。

由圖7，當(dāng)增益為1 V時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)出混沌、周期解交錯(cuò)出現(xiàn)的特性，這和仿真結(jié)果是相一致的。

2.3初值敏感性實(shí)驗(yàn)

激振器功率放大增益設(shè)為1 V，激勵(lì)頻率在22 Hz時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)為混沌狀態(tài)，在23 Hz時(shí)為周期狀態(tài)。那么在22 Hz～23 Hz之間的激勵(lì)條件下，系統(tǒng)的狀態(tài)是值得研究的。這種參數(shù)范圍內(nèi)，微小的改變能夠?qū)е孪到y(tǒng)響應(yīng)產(chǎn)生巨大的變化，可以為弱故障信號(hào)混沌檢測(cè)儀的研制、有害混沌的控制等提供最有效的參數(shù)區(qū)域。

激勵(lì)頻率在22 Hz時(shí)，以0.1 Hz為步長(zhǎng)增加頻率，系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)特性如表1所示。在實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)22.2 Hz系統(tǒng)處于混沌態(tài)；而在22.3 Hz時(shí)，發(fā)生了有趣的現(xiàn)象，系統(tǒng)在經(jīng)過(guò)2分鐘左右的混沌運(yùn)動(dòng)后，進(jìn)于周期狀態(tài)，而且是在兩個(gè)勢(shì)阱之間大幅值振蕩。

相反地，激勵(lì)頻率在23 Hz時(shí)，以0.1 Hz為步長(zhǎng)減小頻率。系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)特性如表2所示。在23 Hz時(shí)，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但減小到22.2 Hz時(shí)，系統(tǒng)有時(shí)處于穩(wěn)定的周期態(tài)，有時(shí)處于穩(wěn)定的混沌態(tài)。多次實(shí)驗(yàn)表明，處于周期運(yùn)動(dòng)的概率大，而處于混沌態(tài)的概率小。

因此，22.2 Hz和22.3 Hz這兩個(gè)頻率點(diǎn)是值得重點(diǎn)關(guān)注的參數(shù)，因?yàn)橄到y(tǒng)沿著不同的方向改變參數(shù)時(shí)，在這兩個(gè)點(diǎn)有多種可能的工作狀態(tài)。在不同的初始狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)可以進(jìn)入不同的狀態(tài)。這種性態(tài)可以為弱信號(hào)檢測(cè)提供參考。例如，當(dāng)檢測(cè)信號(hào)中包含了早期弱故障信號(hào)時(shí)，混沌系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性將發(fā)生劇烈變化，從而給出明確的報(bào)警信號(hào)，預(yù)報(bào)故障的發(fā)生。

表1中說(shuō)明了當(dāng)頻率以不同的方式改變時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。

圖7　系統(tǒng)不同響應(yīng)的參數(shù)區(qū)域示意圖

表1　激勵(lì)頻率變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為特征

2.4對(duì)稱破缺分岔實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

另一方面，在實(shí)驗(yàn)中，還觀測(cè)到了Duffing系統(tǒng)中當(dāng)激勵(lì)頻率不斷變化時(shí)，系統(tǒng)解出現(xiàn)對(duì)稱破缺分岔、倍周期分岔并最終走向混沌的過(guò)程。

當(dāng)激勵(lì)增益為0.92 V，激勵(lì)頻率從25 Hz逐漸降低，通過(guò)相空間重構(gòu)得出的相圖見圖8。

從圖8中可以看到，當(dāng)激勵(lì)頻率f =22.5 Hz開始出現(xiàn)對(duì)稱破缺，由于系統(tǒng)產(chǎn)生對(duì)稱破缺分岔必成對(duì)出現(xiàn)，在實(shí)驗(yàn)中，取激勵(lì)頻率為21.9 Hz時(shí)，通過(guò)給系統(tǒng)一個(gè)擾動(dòng)改變初始條件，觀察到了圖8（e）和圖8 （f）中成中心對(duì)稱的兩個(gè)對(duì)稱破缺分岔相圖。進(jìn)一步降低激勵(lì)頻率，當(dāng)f=21.5 Hz，系統(tǒng)產(chǎn)生了混沌運(yùn)動(dòng)，如圖9所示。

圖8　激勵(lì)頻率改變時(shí)的相平面圖

(3)基于組合結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納參數(shù)模型，可以分析各子結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞特性的影響規(guī)律，作為發(fā)動(dòng)機(jī)艙聲學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李海飛.圓柱殼體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分頻段建模研究[D].西安：西北工業(yè)大學(xué)，2012.

[2] Ming R S, Pan J, Norton M P. The mobility functions and their application in calculating power flow in coupled cylindrical shells[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1999, 105(3):1702-1713.

[3]趙芝梅，盛美萍，陳永輝.板殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的等效機(jī)械導(dǎo)納法[J].噪聲與振動(dòng)控制，2011，31(6)：20-23.

[4]杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學(xué)基礎(chǔ)[M].南京：南京大學(xué)出版社，2001.

[5]盛美萍，王敏慶，孫進(jìn)才.噪聲與振動(dòng)控制技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[6]郜立煥，唐曉陽(yáng)，李言芝，等.齒數(shù)對(duì)齒輪泵流量脈動(dòng)特性影響的分析[J].機(jī)床與液壓，2011，39(6)：71-72.

[7]蘇爾敦，王敏慶.梁板耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流特性研究[J].噪聲與振動(dòng)控制，2009，29(4)：6-9.

Simulation and Experimental Study on the Dynamic Characteristics of the Holmes Duffing System

SUN Fang-xu , LIU Shu-yong , HE Qi-wei
( School of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract:Currently, thereisthedeficiency of repeatablechaotic vibration experimentsin chaotic study. In thispaper, a chaotic vibration experiment platform was designed and researched. The model of approximate particle motion in double potential well was established and its dynamic characteristics were analyzed. As a result, the periodic solutions and chaotic solutions were observed. In experimental study, parameter interval of the chaos was determined. In addition, the sensitivity of initial value in Holmes Duffing system was observed. Symmetry breaking bifurcation and period doubling bifurcation wereall observedintheDuffingsystem.

Key words:vibrationandwave; chaoticexperiment; Duffingsystem; doublepotential well; bifurcation

作者簡(jiǎn)介：孫方旭（1992-），男，內(nèi)蒙古赤峰市人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樵肼暸c振動(dòng)控制。E-mail:sunfx2013@hotmail.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51179197）

收稿日期：2015-08-14

文章編號(hào)：1006-1355(2016)02-0017-04+26

中圖分類號(hào)：O322

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.004